Kategorie kvocientu - Quotient category - Wikipedia

v matematika, a kategorie kvocientu je kategorie získané z jiného identifikováním souborů morfismy. Formálně je to kvocientový objekt v kategorie (místně malých) kategorií, analogický k a kvocientová skupina nebo kvocientový prostor, ale v kategorickém nastavení.

Definice

Nechat C být kategorií. A kongruenční vztah R na C je dáno vztahem: pro každou dvojici objektů X, Y v C, an vztah ekvivalence R_X,Y na Hom (X,Y), takže vztahy ekvivalence respektují složení morfismů. To je, pokud

${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}: X až Y ,}$

jsou příbuzní v Hom (X, Y) a

${ displaystyle g_ {1}, g_ {2}: Y až Z ,}$

jsou příbuzní v Hom (Y, Z), pak G₁F₁ a G₂F₂ jsou příbuzní v Hom (X, Z).

Vzhledem ke shodnému vztahu R na C můžeme definovat kategorie kvocientu C/R jako kategorie, jejíž objekty jsou C a jejichž morfismy jsou třídy ekvivalence morfismů v C. To znamená

${ displaystyle mathrm {Hom} _ {{ mathcal {C}} / R} (X, Y) = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, Y) / R_ {X, Y }.}$

Složení morfismů v C/R je dobře definované od té doby R je vztah shody.

Vlastnosti

Existuje přirozený kvocient funktor z C na C/R který posílá každý morfismus do jeho třídy ekvivalence. Tento funktor je bijektivní k objektům a surjektivní k Hom-množinám (tj. Je a plný funktor ).

Každý funktor F : C → D určuje kongruenci na C říkat F ~ G iff F(F) = F(G). Funktor F pak faktory přes kvocient funktoru C → C/ ~ jedinečným způsobem. To lze považovat za „první věta o izomorfismu "pro funktory.

Příklady

• Monoidy a skupiny lze považovat za kategorie s jedním objektem. V tomto případě se kategorie kvocientu shoduje s pojmem a kvocient monoid nebo a kvocientová skupina.
• The homotopy kategorie topologických prostorů hTop je kvocient kategorie Horní, kategorie topologických prostorů. Třídy ekvivalence morfismů jsou třídy homotopy spojitých map.
• Nechat k být pole a zvažte abelianská kategorie Mod (k) ze všech vektorové prostory přes k s k-lineární mapy jako morfismy. Abychom „zabili“ všechny konečně-dimenzionální prostory, můžeme zavolat dvě lineární mapy F,G : X → Y shodné, pokud má jejich rozdíl konečně trojrozměrný obraz. Ve výsledné kategorii kvocientu jsou všechny konečné trojrozměrné vektorové prostory izomorfní k 0. [Toto je ve skutečnosti příklad kvocientu kategorií aditiv, viz níže.]

Související pojmy

Kvocienty aditivních kategorií modulo ideálů

Li C je kategorie přísad a požadujeme kongruenční vztah ~ on C být aditivní (tj. pokud F₁, F₂, G₁ a G₂ jsou morfismy z X na Y s F₁ ~ F₂ a G₁ ~G₂, pak F₁ + F₂ ~ G₁ + G₂), poté kategorii kvocientu C/ ~ bude také aditivní a kvocientový funktor C → C/ ~ bude doplňkovým funktorem.

Koncept vztahu aditivní kongruence je ekvivalentní konceptu a oboustranný ideál morfismů: pro libovolné dva objekty X a Y dostaneme aditivní podskupinu Já(X,Y) z Hom_C(X, Y) takové, že pro všechny F ∈ Já(X,Y), G ∈ Hom_C(Y, Z) a h∈ Hom_C(Ž, X), my máme gf ∈ Já(X,Z) a fh ∈ Já(Ž,Y). Dva morfismy v Hom_C(X, Y) jsou shodné, pokud je jejich rozdíl v Já(X,Y).

Každý jednotný prsten lze zobrazit jako kategorii aditiv s jediným objektem a podíl kategorií aditiv definovaných výše se v tomto případě shoduje s pojmem a kvocientový kroužek modulo oboustranný ideál.

Lokalizace kategorie

The lokalizace kategorie zavádí nové morfismy, které mění několik morfismů původní kategorie na izomorfismy. To má tendenci zvyšovat počet morfismů mezi objekty, spíše než snižovat to, jako v případě kategorií kvocientů. Ale v obou konstrukcích se často stává, že se dva objekty stanou izomorfními, které v původní kategorii nebyly izomorfní.

Serre kvocienty abelianských kategorií

The Serreův kvocient z abelianská kategorie podle a Podkategorie Serre je nová abelianská kategorie, která je obdobou kvocientové kategorie, ale v mnoha případech má charakter lokalizace kategorie.

Reference

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (Druhé vydání.). Springer-Verlag.