Produkt zdarma - Free product

v matematika konkrétně teorie skupin, produkt zdarma je operace, která trvá dva skupiny G a H a vytvoří nový skupina G ∗ H. Výsledek obsahuje obojí G a H tak jako podskupiny, je generováno prvky těchto podskupin a je „univerzální „Skupina, která má tyto vlastnosti, v tom smyslu, že z jakýchkoli dvou homomorfismů G a H do skupiny K. faktor jedinečně prostřednictvím homomorfismu z G ∗ H na K.. Pokud jedna ze skupin G a H je triviální, bezplatný produkt je vždy nekonečný. Konstrukce bezplatného produktu je v duchu podobná konstrukci a volná skupina (univerzální skupina s danou sadou generátorů).

Produkt zdarma je koprodukt v kategorie skupin. To znamená, že bezplatný produkt hraje stejnou roli v teorii skupin disjunktní unie hraje v teorie množin, nebo že přímý součet hraje v teorie modulů. I když jsou skupiny komutativní, jejich bezplatný produkt není, pokud jedna ze dvou skupin není triviální skupina. Bezplatný produkt proto není koproduktem v kategorie abelianských skupin.

Bezplatný produkt je důležitý v algebraická topologie kvůli van Kampenova věta, ve kterém se uvádí, že základní skupina z svaz ze dvou spojeno s cestou topologické prostory jehož průsečík je také spojen s cestou, je vždy sloučený produkt zdarma základních skupin prostorů. Zejména základní skupina klínový součet dvou prostorů (tj. prostor získaný spojením dvou prostorů v jednom bodě) je jednoduše volným produktem základních skupin prostorů.

Bezplatné produkty jsou také důležité v Teorie Bass – Serre, studium skupin herectví automatizovanými způsoby stromy. Konkrétně lze sestavit jakoukoli skupinu působící s stabilizátory konečných vrcholů na stromu konečné skupiny pomocí sloučených bezplatných produktů a HNN rozšíření. Pomocí akce modulární skupina na jisté mozaikování z hyperbolická rovina, z této teorie vyplývá, že modulární skupina je izomorfní na bezplatný produkt cyklické skupiny řádů 4 a 6 sloučených do cyklické skupiny řádu 2.

Konstrukce

Li G a H jsou skupiny, a slovo v G a H je produktem formy

{ displaystyle s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n},}

kde každý s_i je buď prvek G nebo prvek H. Takové slovo může být snížena pomocí následujících operací:

Odebrat instanci prvku identity (buď G nebo H).
Vyměňte dvojici formuláře G₁G₂ podle jeho produktu v Gnebo pár h₁h₂ podle jeho produktu v H.

Každé redukované slovo je střídavým součinem prvků G a prvky H, např.

{ displaystyle g_ {1} h_ {1} g_ {2} h_ {2} cdots g_ {k} h_ {k}.}

The produkt zdarma G ∗ H je skupina, jejíž prvky jsou redukovaná slova G a Hv rámci operace zřetězení následované redukcí.

Například pokud G je nekonečná cyklická skupina ${ displaystyle langle x rangle}$ , a H je nekonečná cyklická skupina ${ displaystyle langle y rangle}$ , pak každý prvek G ∗ H je střídavým produktem pravomocí X s pravomocemi y. V tomto případě, G ∗ H je izomorfní s volnou skupinou generovanou X a y.

Prezentace

Předpokládejme to

{ displaystyle G = langle S_ {G} mid R_ {G} rangle}

je prezentace pro G (kde S_G je sada generátorů a R_G je sada vztahů), a předpokládejme, že

{ displaystyle H = langle S_ {H} mid R_ {H} rangle}

je prezentace pro H. Pak

{ displaystyle G * H = langle S_ {G} cup S_ {H} mid R_ {G} cup R_ {H} rangle.}

To znamená, G ∗ H je generován generátory pro G společně s generátory pro H, se vztahy sestávajícími ze vztahů G společně se vztahy z H (Předpokládejme zde žádné notační střety, aby to ve skutečnosti bylo disjunktní odbory ).

Příklady

Předpokládejme například, že G je cyklická skupina řádu 4,

{ displaystyle G = langle x mid x ^ {4} = 1 rangle,}

a H je cyklická skupina řádu 5

{ displaystyle H = langle y mid y ^ {5} = 1 rangle.}

Pak G ∗ H je nekonečná skupina

{ displaystyle G * H = langle x, y mid x ^ {4} = y ^ {5} = 1 rangle.}

Protože ve volné skupině neexistují žádné vztahy, bezplatným produktem volných skupin je vždy volná skupina. Zejména,

{ displaystyle F_ {m} * F_ {n} cong F_ {m + n},}

kde F_n označuje volnou skupinu na n generátory.

Dalším příkladem je modulární skupina ${ displaystyle PSL_ {2} ( mathbf {Z})}$ . Je izomorfní s volným produktem dvou cyklických skupin^[1]

{ displaystyle PSL_ {2} ( mathbf {Z}) = ( mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) ast ( mathbf {Z} / 3 mathbf {Z}).}

Zevšeobecnění: Produkt zdarma se sloučením

Obecnější konstrukce bezplatný produkt se sloučením je odpovídajícím způsobem zvláštním druhem vystrčit ve stejné kategorie. Předpokládat ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ jsou uvedeny jako dříve spolu s monomorfismy (tj. injekční skupinové homomorfismy ):

{ displaystyle varphi: F rightarrow G ,}

a

{ displaystyle , psi: F pravá šipka H,}

kde ${ displaystyle F}$ je libovolná skupina. Začněte s produktem zdarma ${ displaystyle G * H}$ a sousedí jako vztahy

{ displaystyle varphi (f) psi (f) ^ {- 1} = 1}

pro každého ${ displaystyle f}$ v ${ displaystyle F}$ . Jinými slovy, vezměte nejmenší normální podskupina ${ displaystyle N}$ z ${ displaystyle G * H}$ obsahující všechny prvky na levá strana výše uvedené rovnice, o nichž se mlčky uvažuje ${ displaystyle G * H}$ prostřednictvím zahrnutí ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ ve svém bezplatném produktu. Bezplatný produkt se sloučením ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ , s ohledem na ${ displaystyle varphi}$ a ${ displaystyle psi}$ , je kvocientová skupina

{ displaystyle (G * H) / N. ,}

Sloučení si vynutilo identifikaci mezi ${ displaystyle varphi (F)}$ v ${ displaystyle G}$ s ${ displaystyle psi (F)}$ v ${ displaystyle H}$ , prvek po prvku. Toto je konstrukce potřebná k výpočtu základní skupiny dvou propojených prostorů spojených podél cesty propojeného podprostoru s ${ displaystyle F}$ převzetí role základní skupiny podprostoru. Vidět: Věta Seifert – van Kampen.

Karrass a Solitar uvedli popis podskupin bezplatného produktu se sloučením.^[2] Například homomorfismy z ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ do skupiny kvocientů ${ displaystyle (G * H) / N}$ které jsou vyvolány ${ displaystyle varphi}$ a ${ displaystyle psi}$ jsou oba injekční, stejně jako indukovaný homomorfismus z ${ displaystyle F}$ .

Bezplatné produkty se sloučením a úzce souvisejícím pojmem Rozšíření HNN jsou základní stavební kameny v Bass – Serreově teorii skupin působících na stromy.

V jiných odvětvích

Jeden může podobně definovat volné produkty jiných algebraických struktur než skupin, včetně algebry nad polem. Zdarma produkty algeber z náhodné proměnné hrát stejnou roli při definování "volnost "v teorii bezplatná pravděpodobnost že Kartézské výrobky hrát při definování statistická nezávislost v klasice teorie pravděpodobnosti.

Viz také

Poznámky

^ Alperin, Roger C. (duben 1993). „PSL₂(Z) = Z₂ * Z₃". Amer. Matematika. Měsíční. 100: 385–386. doi:10.1080/00029890.1993.11990418.
^ A. Karrass a D. Solitar (1970) Podskupiny bezplatného produktu dvou skupin se sloučenou podskupinou, Transakce Americké matematické společnosti 150: 227–255.

Reference

[1] Alperin, Roger C. (duben 1993). „PSL₂(Z) = Z₂ * Z₃". Amer. Matematika. Měsíční. 100: 385–386. doi:10.1080/00029890.1993.11990418.

[2] A. Karrass a D. Solitar (1970) Podskupiny bezplatného produktu dvou skupin se sloučenou podskupinou, Transakce Americké matematické společnosti 150: 227–255.

[1]

[2]