Triangulovaná kategorie - Triangulated category

v matematika, a trojúhelníková kategorie je kategorie s dodatečnou strukturou „překladatelského funktoru“ a třídou „přesných trojúhelníků“. Významnými příklady jsou odvozená kategorie z abelianská kategorie, stejně jako stabilní kategorie homotopy. Přesné trojúhelníky zobecňují krátké přesné sekvence v kategorii abelian, stejně jako sekvence vláken a sekvence z vláken v topologii.

Hodně z homologická algebra je objasněn a rozšířen jazykem trojúhelníkových kategorií, důležitým příkladem je teorie svazek kohomologie. V 60. letech bylo typickým použitím trojúhelníkových kategorií rozšíření vlastností snopů v prostoru X na komplexy snopů, považované za objekty odvozené kategorie snopů X. Více nedávno se trojúhelníkové kategorie samy staly předmětem zájmu. Bylo prokázáno nebo domýšleno mnoho rovnocenností mezi trojúhelníkovými kategoriemi různého původu. Například homologická zrcadlová symetrie domněnka předpovídá, že odvozená kategorie a Rozdělovač Calabi – Yau je ekvivalentní s Kategorie Fukaya jeho „zrcadla“ symplektické potrubí.

Dějiny

Triangulované kategorie zavedly nezávisle Dieter Puppe (1962) a Jean-Louis Verdier (1963), i když Puppeovy axiomy byly méně úplné (chybí oktaedrický axiom (TR 4)).^[1] Puppe byla motivována kategorií stabilní homotopy. Verdierovým klíčovým příkladem byla odvozená kategorie abelianské kategorie, kterou také definoval, rozvíjející myšlenky Alexander Grothendieck. Rané aplikace odvozených kategorií zahrnuty koherentní dualita a Vernější dualita, který se rozšiřuje Poincaré dualita do singulárních prostorů.

Definice

A posun nebo překladový funktor na kategorii D je aditivní automorfismus (nebo pro některé autoryrovnocennost ) ${ displaystyle Sigma}$ z D na D. Je běžné psát ${ displaystyle X [n] = Sigma ^ {n} X}$ pro celá čísla n.

A trojúhelník (X, Y, Z, u, proti, w) se skládá ze tří objektů X, Y, a Z, spolu s morfismy ${ displaystyle u dvojtečka X až Y}$, ${ displaystyle v dvojtečka Y až Z}$ a ${ displaystyle w dvojtečka Z až X [1]}$. Trojúhelníky jsou obecně psány rozluštěnou formou:

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu u}} Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}} X [1],}$

nebo

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu u}} Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}}}$

v krátkosti.

A trojúhelníková kategorie je kategorie přísad D s funktorem překladu a třídou trojúhelníků, tzv přesné trojúhelníky^[2] (nebo rozlišovací trojúhelníky), splňující následující vlastnosti (TR 1), (TR 2), (TR 3) a (TR 4). (Tyto axiomy nejsou zcela nezávislé, protože (TR 3) lze odvodit od ostatních.^[3])

TR 1

• Pro každý objekt X, následující trojúhelník je přesný:

${ displaystyle X { přesahující { text {id}} { to}} X až 0 až X [1]}$

• Pro každý morfismus ${ displaystyle u dvojtečka X až Y}$, existuje objekt Z (volal a kužel nebo cofiber morfismu u) zapadající do přesného trojúhelníku

${ displaystyle X { xrightarrow {{} nahoře u}} Y až Z až X [1]}$

Název „cone“ pochází z kužel mapy města řetězové komplexy, který byl zase inspirován mapovací kužel v topologii. Z ostatních axiomů vyplývá, že přesný trojúhelník (a zejména objekt) Z) je určen až k izomorfismu morfismem ${ displaystyle X až Y}$, i když ne vždy až do jedinečného izomorfismu.^[4]

• Každý trojúhelník isomorfní s přesným trojúhelníkem je přesný. To znamená, že pokud

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu u}} Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}} X [1]}$

je přesný trojúhelník a ${ displaystyle f dvojtečka X až X '}$, ${ displaystyle g dvojtečka Y až Y '}$, a ${ displaystyle h dvojtečka Z až Z '}$ jsou tedy izomorfismy

${ displaystyle X '{ xrightarrow {guf ^ {- 1}}} Y' { xrightarrow {hvg ^ {- 1}}} Z '{ xrightarrow {f [1] wh ^ {- 1}}} X „[1]}$

je také přesný trojúhelník.

TR 2

Li

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu u}} Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}} X [1]}$

je přesný trojúhelník, stejně tak dva otočené trojúhelníky

${ displaystyle Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}} X [1] { xrightarrow {-u [1]}} Y [1]}$

a

${ displaystyle Z [-1] { xrightarrow {-w [-1]}} X { xrightarrow {{} nahoře u}} Y { xrightarrow {{} nahoře v}} Z. }$

S ohledem na poslední trojúhelník, objekt Z[-1] se nazývá a vlákno morfismu ${ displaystyle X až Y}$.

Druhý rotovaný trojúhelník má složitější tvar, když ${ displaystyle [1]}$ a ${ displaystyle [-1]}$ nejsou izomorfismy, ale pouze vzájemně inverzní ekvivalence kategorií, protože ${ displaystyle -w [-1]}$ je morfismus z ${ displaystyle Z [-1]}$ na ${ displaystyle (X [1]) [- 1]}$, a získat morfismus na ${ displaystyle [X]}$ člověk musí skládat s přirozenou transformací ${ displaystyle (X [1]) [- 1] { xrightarrow {}} X}$. To vede ke složitým otázkám o možných axiomech, které je třeba vnutit vytváření přirozených transformací ${ displaystyle [1]}$ a ${ displaystyle [-1]}$ do dvojice inverzních ekvivalentů. Vzhledem k této otázce se předpokládá, že ${ displaystyle [1]}$ a ${ displaystyle [-1]}$ jsou vzájemně inverzní izomorfismy je obvyklou volbou v definici trojúhelníkové kategorie.

TR 3

Vzhledem k tomu, že máme dva přesné trojúhelníky a mapu mezi prvními morfizmy v každém trojúhelníku, existuje morfismus mezi třetími objekty v každém ze dvou trojúhelníků, který tvoří všechno dojíždět. To znamená v následujícím diagramu (kde dva řádky jsou přesné trojúhelníky a F a G jsou takové morfismy gu = u'f), existuje mapa h (není nutně jedinečný) nutit všechny čtverce dojíždět:

TR 4: Osmiboký axiom

Nechat ${ displaystyle u colon X to Y}$ a ${ displaystyle v dvojtečka Y až Z}$ být morfismy a zvážit složený morfismus ${ displaystyle vu colon X to Z}$. Vytvořte přesné trojúhelníky pro každý z těchto tří morfismů podle TR 1. Octahedrální axiom uvádí (zhruba), že tři mapovací kužele mohou být vytvořeny do vrcholů přesného trojúhelníku, takže „vše dojíždí“.

Více formálně, vzhledem k přesným trojúhelníkům

${ displaystyle X { xrightarrow {u ,}} Y { xrightarrow {j}} Z '{ xrightarrow {k}} X [1]}$

${ displaystyle Y { xrightarrow {v ,}} Z { xrightarrow {l}} X '{ xrightarrow {i}} Y [1]}$

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu vu}} Z { xrightarrow {m}} Y '{ xrightarrow {n}} X [1]}$,

existuje přesný trojúhelník

${ displaystyle Z '{ xrightarrow {f}} Y' { xrightarrow {g}} X '{ xrightarrow {h}} Z' [1]}$

takhle

${ displaystyle l = gm, quad k = nf, quad h = j [1] já, quad ig = u [1] n, quad fj = mv.}$

Tento axiom se nazývá „oktaedrický axiom“, protože kresba všech objektů a morfismů dává kostru znaku osmistěn, jehož čtyři tváře jsou přesné trojúhelníky. Prezentace je zde Verdierova vlastní a objeví se, spolu s oktaedrickým diagramem, v (Hartshorne1966 ). V následujícím diagramu u a proti jsou dané morfismy a primovaná písmena jsou kužely různých map (zvoleny tak, aby každý přesný trojúhelník měl X, a Ya Z dopis). Různé šipky byly označeny [1], což znamená, že mají „stupeň 1“; např. mapa z Z′ Až X je ve skutečnosti z Z′ Až X[1]. Oktaedrický axiom pak tvrdí existenci map F a G tvořící přesný trojúhelník, a tak F a G tvoří komutativní trojúhelníky na ostatních plochách, které je obsahují:

Objevují se dva různé obrázky (Beilinson, Bernstein a Deligne1982 ) (Gelfand a Manin (2006 ) také představit první). První představuje horní a dolní pyramidy výše uvedeného osmistěnu a tvrdí, že vzhledem k dolní pyramidě lze vyplnit horní pyramidu tak, aby obě cesty z Y na Y′ A od Y′ Až Y, jsou si rovni (tato podmínka je z prezentace Hartshorne vynechána, možná chybně). Trojúhelníky označené + jsou komutativní a trojúhelníky označené „d“ jsou přesné:

Druhý diagram je inovativnější prezentace. Přesné trojúhelníky jsou prezentovány lineárně a diagram zdůrazňuje skutečnost, že čtyři trojúhelníky v „oktaedru“ jsou spojeny řadou map trojúhelníků, kde jsou tři trojúhelníky (jmenovitě ty, které doplňují morfismy z X na Y, z Y na Za od X na Z) jsou uvedeny a je nárokována existence čtvrtého. Jeden prochází mezi prvními dvěma otočením X, do třetího otočením kolem Za ke čtvrtému otočením kolem X′. Všechny přílohy v tomto diagramu jsou komutativní (trigony i čtverec), ale druhý komutativní čtverec, který vyjadřuje rovnost dvou cest z Y′ Až Y, není zřejmé. Všechny šipky směřující „od okraje“ jsou stupně 1:

Tento poslední diagram také ilustruje užitečnou intuitivní interpretaci oktaedrického axiomu. V trojúhelníkových kategoriích hrají trojúhelníky roli přesných sekvencí, a proto je vhodné tyto objekty považovat za „kvocienty“, ${ displaystyle Z '= Y / X}$ a ${ displaystyle Y '= Z / X}$. V těchto pojmech existence posledního trojúhelníku vyjadřuje na jedné straně

${ displaystyle X '= Z / Y }$ (při pohledu na trojúhelník ${ displaystyle Y až Z až X ' to}$ ), a

${ displaystyle X '= Y' / Z '}$ (při pohledu na trojúhelník ${ displaystyle Z ' až Y' až X ' to}$ ).

Když je spojíme dohromady, osmiboký axiom tvrdí „teorém třetího izomorfismu“:

${ displaystyle (Z / X) / (Y / X) cong Z / Y.}$

Pokud je triangulovaná kategorie odvozenou kategorií D(A) abelianské kategorie A, a X, Y, Z jsou objekty A považovány za komplexy koncentrované ve stupni 0 a mapy ${ displaystyle X až Y}$ a ${ displaystyle Y až Z}$ jsou monomorfismy v A, pak kužele těchto morfismů v D(A) jsou ve skutečnosti izomorfní s kvocienty výše v A.

Nakonec Neeman (2001 ) formuluje oktaedrický axiom pomocí dvourozměrného komutativního diagramu se 4 řádky a 4 sloupci. Beilinson, Bernstein a Deligne (1982 ) také dát zevšeobecnění oktaedrického axiomu.

Vlastnosti

Zde jsou některé jednoduché důsledky axiomů pro trojúhelníkovou kategorii D.

• Vzhledem k přesnému trojúhelníku

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu u}} Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}} X [1]}$

v D, složení jakýchkoli dvou po sobě jdoucích morfismů je nulové. To znamená, vu = 0, wv = 0, u[1]w = 0 atd.^[5]

• Vzhledem k morfismu ${ displaystyle u dvojtečka X až Y}$„TR 1 zaručuje existenci kuželu Z dokončení přesného trojúhelníku. Jakékoli dva kužele u jsou izomorfní, ale izomorfismus není vždy jednoznačně určen.^[4]

• Každý monomorfismus v D je zahrnutí přímého součtu, ${ displaystyle X až X oplus Y}$a všechny epimorfismus je projekce ${ displaystyle X oplus Y až X}$.^[6] Souvisejícím bodem je, že pro morfismy v trojúhelníkové kategorii by se nemělo mluvit o „injektivitě“ nebo „surjektivitě“. Každý morfismus ${ displaystyle X až Y}$ to není izomorfismus má nenulovou „koksovnu“ Z (což znamená, že existuje přesný trojúhelník ${ displaystyle X až Y až Z až X [1]}$) a také nenulové „jádro“, jmenovitě Z[−1].

Nefunkčnost konstrukce kužele

Jednou z technických komplikací u trojúhelníkových kategorií je skutečnost, že konstrukce kužele není funkční. Například daný prsten ${ displaystyle R}$ a částečná mapa rozlišovacích trojúhelníků

${ displaystyle { begin {matrix} R & to & 0 & to & R [+1] & to downarrow && downarrow &&& 0 & to & R [+1] & to & R [+1] & to end {matrix}}}$

v ${ displaystyle D ^ {b} (R)}$, tento diagram doplňují dvě mapy. Může to být mapa identity nebo nulová mapa

${ displaystyle { begin {aligned} { text {id}}: & R [+1] až R [+1] 0: & R [+1] až R [+1] end {zarovnáno} }}$

oba jsou komutativní. Skutečnost, že existují dvě mapy, je stínem skutečnosti, že trojúhelníková kategorie je nástroj, který kóduje limity homotopy a colimit. Jedno řešení tohoto problému navrhla Grothendieck kde se uvažuje nejen odvozená kategorie, ale odvozená kategorie diagramů v této kategorii. Takový objekt se nazývá a Derivátor.

Příklady

Existují lepší axiomy?

Někteří odborníci mají podezření^{[11]str. 190} (viz například (Gelfand & Manin2006, Úvod, Kapitola IV)), že triangulované kategorie nejsou ve skutečnosti „správným“ pojmem. Podstatným důvodem je, že kužel morfismu je jedinečný pouze do a nejedinečný izomorfismus. Zejména kužel morfismu obecně nezávisí funkčně o morfismu (všimněte si například jedinečnosti v axiomu (TR 3)). Tato nejedinečnost je potenciálním zdrojem chyb. Axiomy však v praxi fungují adekvátně a jejich studiu je věnováno velké množství literatury.

Derivátory

Jedním z alternativních návrhů je teorie deriváty navrženo v Pursuing stacks od Grothendiecka v 80. letech^{[11]str. 191}, a později vyvinut v 90. letech ve svém rukopisu na toto téma. V podstatě se jedná o systém kategorií homotopy daných kategoriemi diagramů ${ displaystyle I to M}$ pro kategorii se třídou slabých ekvivalentů ${ displaystyle (M, W)}$. Tyto kategorie jsou pak spojeny morfismem diagramů ${ displaystyle I to J}$. Výhodou tohoto formalizmu je schopnost obnovit limity homotopy a kolimity, které nahrazují konstrukci kužele.

Stabilní ∞-kategorie

Další alternativou je teorie stabilní ∞-kategorie. Kategorie homotopy stabilní kategorie ∞ je kanonicky triangulovaná a navíc se mapovací kužely stávají v zásadě jedinečnými (v přesném homotopickém smyslu). Stabilní kategorie naturally navíc přirozeně kóduje celou hierarchii kompatibilit pro svou kategorii homotopie, na jejímž konci sedí oktaedrický axiom. Je tedy striktně silnější dát data stabilní ∞ kategorie, než dát data triangulace její homotopické kategorie. Téměř všechny trojúhelníkové kategorie, které v praxi vznikají, pocházejí ze stabilních ∞ kategorií. Podobným (ale zvláštnějším) obohacením trojúhelníkových kategorií je pojem a dg-kategorie.

V některých ohledech fungují stabilní ∞-kategorie nebo dg-kategorie lépe než trojúhelníkové kategorie. Jedním z příkladů je představa přesného funktoru mezi trojúhelníkovými kategoriemi, která je popsána níže. Pro hladký projektivní rozmanitost X přes pole k, omezená odvozená kategorie koherentní snopy ${ displaystyle { text {D}} ^ { text {b}} (X)}$ pochází z kategorie dg přirozeným způsobem. Pro odrůdy X a Y, každý funktor z kategorie dg X k tomu z Y pochází z komplexu snopů ${ displaystyle X krát Y}$ podle Fourierova – Mukaiova transformace.^[12] Naproti tomu existuje příklad přesného funktoru z ${ displaystyle { text {D}} ^ { text {b}} (X)}$ na ${ displaystyle { text {D}} ^ { text {b}} (Y)}$ to nepochází z komplexu snopů ${ displaystyle X krát Y}$.^[13] S ohledem na tento příklad se „správná“ představa morfismu mezi trojúhelníkovými kategoriemi jeví jako ta, která pochází z morfismu základních dg kategorií (nebo stabilních ∞-kategorií).

Objevuje se další výhoda stabilních ∞-kategorií nebo dg-kategorií oproti trojúhelníkovým kategoriím algebraická K-teorie. Lze definovat algebraickou K-teorii stabilní ∞-kategorie nebo dg-kategorie C, dávat posloupnost abelian skupin ${ displaystyle K_ {i} (C)}$ pro celá čísla i. Skupina ${ displaystyle K_ {0} (C)}$ má jednoduchý popis, pokud jde o trojúhelníkovou kategorii přidruženou k C. Příklad ale ukazuje, že vyšší K-skupiny kategorie dg nejsou vždy určeny přidruženou trojúhelníkovou kategorií.^[14] Tudíž trojúhelníková kategorie má dobře definovanou ${ displaystyle K_ {0}}$ skupina, ale obecně ne vyšší K-skupiny.

Na druhou stranu je teorie trojúhelníkových kategorií jednodušší než teorie stabilních ∞-kategorií nebo dg-kategorií a v mnoha aplikacích je trojúhelníková struktura dostatečná. Příkladem je důkaz Bloch – Kato domněnka, kde bylo mnoho výpočtů provedeno na úrovni trojúhelníkových kategorií a nebyla vyžadována další struktura ∞-kategorií nebo dg-kategorií.

Kohomologie v trojúhelníkových kategoriích

Triangulované kategorie připouštějí pojem cohomologie a každá trojúhelníková kategorie má velkou zásobu cohomologických funktorů. A cohomologický funktor F z trojúhelníkové kategorie D do kategorie abelianů A je funktor takový, že pro každý přesný trojúhelník

${ displaystyle X až Y až Z až X [1], }$

sekvence ${ displaystyle F (X) až F (Y) až F (Z)}$ v A je přesný. Protože přesný trojúhelník určuje nekonečnou sekvenci přesných trojúhelníků v obou směrech,

${ displaystyle cdots až Z [-1] až X až Y až Z až X [1] až cdots, }$

cohomologický funktor F vlastně dává dlouhá přesná sekvence v kategorii abelian A:

${ displaystyle cdots až F (Z [-1]) až F (X) až F (Y) až F (Z) až F (X [1]) až cdots. }$

Klíčovým příkladem je: pro každý objekt B v trojúhelníkové kategorii D, funktory ${ displaystyle operatorname {Hom} (B, { text {-}})}$ a ${ displaystyle operatorname {Hom} ({ text {-}}, B)}$ jsou cohomologické s hodnotami v kategorii abelianské skupiny.^[15] (Přesněji řečeno, a kontravariantní funktor, které lze považovat za funktor na opačná kategorie z D.) To znamená přesný trojúhelník ${ displaystyle X až Y až Z až X [1]}$ určuje dvě dlouhé přesné sekvence abelianských skupin:

${ displaystyle cdots to operatorname {Hom} (B, X [i]) to operatorname {Hom} (B, Y [i]) to operatorname {Hom} (B, Z [i]) to operatorname {Hom} (B, X [i + 1]) to cdots}$

a

${ displaystyle cdots to operatorname {Hom} (Z, B [i]) to operatorname {Hom} (Y, B [i]) to operatorname {Hom} (X, B [i]) to operatorname {Hom} (Z, B [i + 1]) to cdots.}$

U konkrétních trojúhelníkových kategorií tyto přesné sekvence přinášejí mnoho důležitých přesných sekvencí v snopové kohomologii, skupinová kohomologie a další oblasti matematiky.

Jeden může také použít notaci

${ displaystyle operatorname {Ext} ^ {i} (B, X) = operatorname {Hom} (B, X [i])}$

pro celá čísla i, zobecňující Ext funktor v abelianské kategorii. V této notaci by byla napsána první přesná sekvence výše:

${ displaystyle cdots to operatorname {Ext} ^ {i} (B, X) to operatorname {Ext} ^ {i} (B, Y) to operatorname {Ext} ^ {i} (B , Z) to operatorname {Ext} ^ {i + 1} (B, X) to cdots. }$

Pro kategorii abelianů A, další základní příklad cohomologického funktoru na odvozené kategorii D(A) odešle komplex X k objektu ${ displaystyle H ^ {0} (X)}$ v A. To znamená přesný trojúhelník ${ displaystyle X až Y až Z až X [1]}$ v D(A) určuje dlouhou přesnou sekvenci v A:

${ displaystyle cdots k H ^ {i} (X) k H ^ {i} (Y) k H ^ {i} (Z) k H ^ {i + 1} (X) k cdots,}$

pomocí toho ${ displaystyle H ^ {0} (X [i]) cong H ^ {i} (X)}$.

Přesné funktory a ekvivalence

An přesný funktor (také zvaný trojúhelníkový funktor) z trojúhelníkové kategorie D do trojúhelníkové kategorie E je aditivní funktor ${ displaystyle F dvojtečka D až E}$ který, volně řečeno, dojíždí s překladem a posílá přesné trojúhelníky na přesné trojúhelníky.^[16]

Přesnější funktor přichází s přirozený izomorfismus ${ displaystyle eta dvojtečka F Sigma až Sigma F}$ (kde první ${ displaystyle Sigma}$ označuje funktor překladu D a druhý ${ displaystyle Sigma}$ označuje funktor překladu E), takže kdykoli

${ displaystyle X { xrightarrow {{} na vrcholu u}} Y { xrightarrow {{} na vrcholu v}} Z { xrightarrow {{} na vrcholu w}} X [1]}$

je přesný trojúhelník v D,

${ displaystyle F (X) { xrightarrow {F (u)}} F (Y) { xrightarrow {F (v)}} F (Z) { xrightarrow { eta _ {X} F (w)} } F (X) [1]}$

je přesný trojúhelník v E.

An rovnocennost triangulovaných kategorií je přesný funktor ${ displaystyle F dvojtečka D až E}$ to je také rovnocennost kategorií. V tomto případě existuje přesný funktor ${ displaystyle G dvojtečka E až D}$ takhle FG a GF jsou přirozeně izomorfní s příslušnými funktory identity.

Kompaktně generované trojúhelníkové kategorie

Nechat D být trojúhelníková kategorie taková přímé částky indexované libovolnou sadou (ne nutně konečnou) existují v D. Objekt X v D je nazýván kompaktní pokud funktor ${ displaystyle { text {Hom}} _ {D} (X, { text {-}})}$ dojíždí s přímými částkami. Výslovně to znamená, že pro každou rodinu objektů ${ displaystyle Y_ {i}}$ v D indexováno množinou S, přirozený homomorfismus abelianských skupin ${ displaystyle oplus _ {i in S} mathrm {Hom} _ {D} (X, Y_ {i}) to mathrm {Hom} _ {D} (X, oplus _ {i in S} Y_ {i})}$ je izomorfismus. To se liší od obecného pojmu a kompaktní objekt v teorii kategorií, která zahrnuje všechny kolimity spíše než jen koprodukty.

Například kompaktní objekt v kategorii stabilní homotopy ${ displaystyle h { cal {S}}}$ je konečné spektrum.^[17] Kompaktní objekt v odvozené kategorii prstenu nebo v kvazi-koherentní odvozená kategorie systému, je a dokonalý komplex. V případě hladké projektivní rozmanitosti X nad polem kategorie Perf (X) dokonalých komplexů lze také považovat za omezenou odvozenou kategorii koherentních svazků, ${ displaystyle D _ { text {coh}} ^ { text {b}} (X)}$.

Triangulovaná kategorie D je kompaktně generované -li

• D má libovolné (ne nutně konečné) přímé částky;
• K dispozici je sada S kompaktních objektů v D takový, že pro každý nenulový objekt X v D, existuje objekt Y v S s nenulovou mapou ${ displaystyle Y [n] až X}$ pro celé číslo n.

Mnoho přirozeně se vyskytujících „velkých“ trojúhelníkových kategorií je generováno kompaktně:

• Odvozená kategorie modulů přes kruh R je kompaktně generován jedním objektem, R-modul R.
• Kvazi-koherentní odvozená kategorie a kvazi-kompaktní kvazi-oddělené schéma je kompaktně generován jedním objektem.^[18]
• Kategorie stabilní homotopy je kompaktně generována jedním objektem, sférickým spektrem ${ displaystyle S ^ {0}}$.^[19]

Amnon Neeman zobecnil Věta o hnědé reprezentativnosti do jakékoli kompaktně generované trojúhelníkové kategorie následujícím způsobem.^[20] Nechat D být kompaktně generovanou trojúhelníkovou kategorií, ${ displaystyle H dvojtečka D ^ { text {op}} na { text {Ab}}}$ cohomological functor which takes coproducts to products. Pak H je reprezentativní. (To znamená, že existuje objekt Ž z D takhle ${ displaystyle H (X) cong { text {Hom}} (X, W)}$ pro všechny X.) Pro jinou verzi, ať D být kompaktně generovanou trojúhelníkovou kategorií, T libovolná trojúhelníková kategorie. Pokud přesný funktor ${ displaystyle F dvojtečka D až T}$ potom posílá koprodukty do koproduktů F má pravý adjoint.

Hnědá věta o reprezentovatelnosti může být použita k definování různých funktorů mezi trojúhelníkovými kategoriemi. Neeman jej používal zejména ke zjednodušení a zobecnění konstrukce výjimečný funktor inverzního obrazu ${ displaystyle f ^ {!}}$ pro morfismus F z schémata, ústřední rys koherentní dualita teorie.^[21]

t-struktury

Pro každou kategorii abelianů A, odvozená kategorie D(A) je trojúhelníková kategorie obsahující A jako úplná podkategorie (komplexy koncentrované v nulovém stupni). Různé abelianské kategorie mohou mít ekvivalentní odvozené kategorie, takže není vždy možné je rekonstruovat A z D(A) jako trojúhelníková kategorie.

Alexander Beilinson, Joseph Bernstein a Pierre Deligne popsal tuto situaci pojmem a t-struktura na trojúhelníkovou kategorii D.^[22] T-struktura zapnuta D určuje abelianskou kategorii uvnitř Da různé t-struktury na D může přinést různé abelianské kategorie.

Lokalizace a silné podkategorie

Nechat D být trojúhelníkovou kategorií s libovolnými přímými součty. A lokalizace podkategorie z D je přísně plné trojúhelníková podkategorie, která je uzavřena pod libovolnými přímými součty.^[23] Vysvětlení názvu: pokud je to lokalizační podkategorie S kompaktně generované trojúhelníkové kategorie D je generován souborem objektů, pak existuje a Bousfieldova lokalizace funktor ${ displaystyle L dvojtečka D až D}$ s jádrem S.^[24] (To znamená pro každý objekt X v D existuje přesný trojúhelník ${ displaystyle Y až X až LX až Y [1]}$ s Y v S a LX v pravý ortogonální ${ displaystyle S ^ { perp}}$.) Například tato konstrukce zahrnuje lokalizace spektra v prvočísle nebo omezení z komplexu svazků v prostoru na otevřenou podmnožinu.

Pro „malé“ trojúhelníkové kategorie je důležitější paralelní pojem: a silná podkategorie trojúhelníkové kategorie C je přísně plná trojúhelníková podkategorie, která je uzavřena pod přímými sčítáními. (Li C je idempotent-kompletní, podkategorie je silná právě tehdy, je-li také idempotentně úplná.) Lokalizující podkategorie je silná.^[25] Takže když S je lokalizační podkategorie trojúhelníkové kategorie D, pak křižovatka S s podkategorií ${ displaystyle D ^ { text {c}}}$ kompaktních objektů je silná podkategorie ${ displaystyle D ^ { text {c}}}$.

Například Devinatz–Hopkins –Smith popsal všechny silné podkategorie triangulované kategorie konečných spekter z hlediska Morava K-teorie.^[26] Lokalizující podkategorie celé kategorie stabilní homotopy nebyly klasifikovány.

Viz také

• Fourierova – Mukaiova transformace
• Šest operací
• Perverzní svazek
• D-modul
• Lokalizace Beilinson – Bernstein
• Spektrum modulu
• Semiortogonální rozklad
• Stav stability mostu

Poznámky

Reference

Některé úvody učebnic do trojúhelníkových kategorií jsou:

• Gelfand, Sergei; Manin, Yuri (2006), "IV. Triangulované kategorie", Metody homologické algebrySpringer Monografie z matematiky (2. vyd.), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN  978-3540435839, PAN  1950475
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Kategorie a svazkyGrundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-27950-4, ISBN  978-3-540-27949-5, PAN  2182076
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.

Stručné shrnutí aplikací je:

• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2002), „Kapitola I. Homologická algebra“, Snopy na potrubíchGrundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-02661-8, ISBN  978-3540518617, PAN  1074006

Některé pokročilejší reference jsou:

• Beilinson, A.A.; Bernstein, J.; Deligne, P. (2018) [1982], "Faisceaux zvrhlíci", AstérisqueSociété Mathématique de France, Paříž, 100, ISBN  978-2-85629-878-7, PAN  0751966
• Dugger, Daniel; Shipley, Brooke (2009), „Zvláštní příklad kategorií modelu s trojúhelníkovým ekvivalentem, které nejsou Quillenovým ekvivalentem“, Algebraická a geometrická topologie, 9: 135–166, arXiv:0710.3070, doi:10.2140 / agt.2009.9.135, PAN  2482071
• Hartshorne, Robine (1966), „Kapitola I. Odvozená kategorie“, Zbytky a dualita, Přednášky z matematiky 20, Springer-Verlag, s. 20–48, doi:10.1007 / BFb0080482, ISBN  978-3-540-03603-6, PAN  0222093
• Krause, Henning (2010), „Teorie lokalizace pro trojúhelníkové kategorie“, Triangulované kategorie, Série přednášek London Mathematical Society, 375, Cambridge University Press, s. 161–235, arXiv:0806.1324, doi:10.1017 / CBO9781139107075.005, PAN  2681709
• Neeman, Amnon (1996), „Grothendieckova věta o dualitě pomocí Bousfieldových technik a Brownovy reprezentovatelnosti“, Journal of the American Mathematical Society, 9: 205–236, doi:10.1090 / S0894-0347-96-00174-9, PAN  1308405
• Neeman, Amnon (2001), Triangulované kategorieAnnals of Mathematics Studies, Princeton University Press, doi:10.1515/9781400837212, ISBN  978-0691086866, PAN  1812507
• Puppe, Dieter (1962), „O formální struktuře stabilní teorie homotopy“, Kolokvium o algebraické topologii„Aarhus Universitet Matematisk Institute, str. 65–71, Zbl  0139.41106
• Puppe, Dieter (1967), "Stabile Homotopietheorie. I.", Mathematische Annalen, 169: 243–274, doi:10.1007 / BF01362348, PAN  0211400
• Ravenel, Douglas (1992), Nilpotence a periodicita ve stabilní teorii homotopy, Princeton University Press, ISBN  9780691025728, PAN  1192553
• Rizzardo, Alice; Van den Bergh, Michel; Neeman, Amnon (2019), „Příklad non-Fourier-Mukaiho funktoru mezi odvozenými kategoriemi koherentních svazků“, Inventiones Mathematicae, 216: 927–1004, arXiv:1410.4039, doi:10.1007 / s00222-019-00862-9, PAN  3955712
• Toën, Bertrand (2007), „The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory“, Inventiones Mathematicae, 167: 615–667, arXiv:matematika / 0408337, doi:10.1007 / s00222-006-0025-r, PAN  2276263
• Verdier, Jean-Louis (1977) [1963], „Catégories dérivées: quelques résultats (état 0)“, Cohomologie étale (SGA 4¹⁄₂) (PDF)Přednášky z matematiky, 569, Springer, str. 262–311, doi:10.1007 / BFb0091525, ISBN  978-3-540-08066-4, PAN  3727440
• Verdier, Jean-Louis (1996) [1967], Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque, 239Société Mathématique de France, PAN  1453167

externí odkazy

• J. Peter May, Axiomy pro trojúhelníkové kategorie
• Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project