Waldhausen kategorie - Waldhausen category

v matematika, a Waldhausen kategorie je kategorie C vybaven několika dalšími údaji, které umožňují konstrukci K-teorie spektrum z C pomocí tzv S-konstrukce. Je pojmenována po Friedhelm Waldhausen, který představil tento pojem (pod pojmem kategorie s kofibracemi a slabými ekvivalencemi) rozšířit metody algebraická K-teorie do kategorií, které nemusí být nutně algebraického původu, například do kategorie topologické prostory.

Definice

Nechat C být kategorií, co (C) a my(C) dvě třídy morfismy v C, nazývané kofibrace, respektive slabé ekvivalence. Trojitý (C, co (C), my(C)) se nazývá a Waldhausen kategorie pokud splňuje následující axiomy, motivované podobnými vlastnostmi pro pojmy kofibrace a slabé homotopické ekvivalence topologických prostorů:

• C má nulový objekt, označeno 0;
• izomorfismy jsou zahrnuty v obouC) a my(C);
• co (C) a my(C) jsou uzavřeny ve složení;
• pro každý objekt A ∈ C jedinečná mapa 0 → A je kofibrace, tj. je prvek co (C);
• co (C) a my(C) jsou kompatibilní s tlačení v jistém smyslu.

Například pokud ${displaystyle scriptstyle A, ightarrowtail, B}$ je kofibrace a ${displaystyle scriptstyle A, o, C}$ je jakákoli mapa, pak musí existovat přetlak ${displaystyle scriptstyle B, pohár _ {A}, C}$a přírodní mapa ${displaystyle scriptstyle C, ightarrowtail, B, cup _ {A}, C}$ by měla být cofibration:

Vztahy s jinými pojmy

v algebraická K-teorie a teorie homotopy existuje několik pojmů kategorií vybavených některými specifikovanými třídami morfismů. Li C má strukturu přesná kategorie, pak definováním my (C) být izomorfismy, co (C) za přijatelné monomorfismy se získá struktura Waldhausenovy kategorie C. K definování lze použít oba druhy struktur K-teorie z C, za použití Q-konstrukce pro přesnou strukturu a S-konstrukce pro strukturu Waldhausenu. Důležitým faktem je, že výsledné prostory K-teorie jsou ekvivalentem homotopy.

Li C je kategorie modelu s nulovým objektem, pak úplná podkategorie společných objektů v C může mít strukturu Waldhausenu.

S-konstrukce

The Waldhausenova konstrukce vyrábí z kategorie Waldhausen C posloupnost Kan komplexy ${displaystyle S_ {n} (C)}$, který tvoří a spektrum. Nechat ${displaystyle K (C)}$ označte smyčkový prostor geometrické realizace ${displaystyle | S _ {*} (C) |}$ z ${displaystyle S _ {*} (C)}$. Pak skupina

${displaystyle pi _ {n} K (C) = pi _ {n + 1} | S _ {*} (C) |}$

je n-th K.-skupina C. Dává tedy způsob, jak definovat vyšší K.-skupiny. Jiný přístup pro vyšší K.-teorie je Quillenova Q-konstrukce.

Stavba je kvůli Friedhelm Waldhausen.

kategorie biWaldhausen

Kategorie C je vybaven bifibracemi, pokud má kofibrace a jejich opačná kategorie C^OP má také. V takovém případě označíme fibrace C^OP podle quot (C). V tom případě, C je kategorie biWaldhausen -li C má bifibrace a slabé ekvivalence takové, že oba (C, co (C), my) a (C^OP, quot (C), my^OP) jsou kategorie Waldhausen.

Jsou spojeny kategorie Waldhausen a biWaldhausen algebraická K-teorie. Mnoho zajímavých kategorií zde zahrnuje kategorie biWaldhausen. Například: Kategorie ${displaystyle scriptstyle C ^ {b} ({mathcal {A}})}$ komplexů vázaného řetězce na přesnou kategorii ${displaystyle scriptstyle {mathcal {A}}}$Kategorie ${displaystyle scriptstyle S_ {n} {mathcal {C}}}$ funktorů ${displaystyle scriptstyle operatorname {Ar} (Delta ^ {n}), o, {mathcal {C}}}$ když ${displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}}$ je to tak. A vzhledem k diagramu ${displaystyle scriptstyle I}$, pak ${displaystyle scriptstyle {mathcal {C}} ^ {I}}$ je pěkná komplikovaná kategorie biWaldhausen, když ${displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}}$ je.

Reference

• Waldhausen, Friedhelm (1985), "Algebraická K-teorie prostorů", Algebraická a geometrická topologie (New Brunswick, NJ, 1983 (PDF)Přednášky z matematiky, 1126, Berlín: Springer, s. 318–419, doi:10.1007 / BFb0074449, ISBN  978-3-540-15235-4, PAN  0802796
• C. Weibel, Kniha K, úvod do algebraické teorie K. — http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
• G. Garkusha, Systémy kategorií diagramů a K-teorie — http://front.math.ucdavis.edu/0401.5062
• Sagave, S. (2004). "K algebraické K-teorii modelových kategorií". Journal of Pure and Applied Algebra. 190 (1–3): 329–340. doi:10.1016 / j.jpaa.2003.11.002.
• Lurie, Jacobe, Vyšší K-teorie ∞-kategorií (přednáška 16) (PDF)

Viz také

• Dokončete Segalův prostor

externí odkazy

• "Waldhausenova konstrukce". NLab. Kurzíva nebo tučné označení nejsou povoleny v: | vydavatel = (Pomoc)