Teorie vyšších kategorií - Higher category theory

v matematika, teorie vyšších kategorií je součástí teorie kategorií v a vyšší řád, což znamená, že některé rovnosti jsou nahrazeny explicitními šipky aby bylo možné výslovně studovat strukturu těchto rovností. Teorie vyšších kategorií se často používá algebraická topologie (speciálně v teorie homotopy ), kde člověk studuje algebraiku invarianty z mezery, jako je jejich základní slabý group-groupoid.

Přísné vyšší kategorie

Obyčejný kategorie má předměty a morfismy. A 2-kategorie zevšeobecňuje to tím, že zahrnuje také 2-morfismy mezi 1-morfismy. Pokračování až do n-morfismy mezi (n-1) -morfismus dává n-kategorie.

Stejně jako kategorie známá jako Kočka, což je kategorie malé kategorie a funktory je ve skutečnosti 2-kategorie s přirozené transformace jako jeho 2-morfismy, kategorie n-Kočka z (malé) n-categories je ve skutečnosti (n+1) -kategorie.

An n-kategorie je definována indukcí na n podle:

• 0-kategorie je a soubor,
• An (n+1) -category je kategorie obohacený přes kategorii n-Kočka.

Takže 1 kategorie je pouze (místně malá) kategorie.

The monoidální struktura Soubor je hodnota daná kartézským součinem jako tenzor a singleton jako jednotka. Ve skutečnosti jakákoli kategorie s konečnými produkty může mít monoidní strukturu. Rekurzivní konstrukce n-Kočka funguje dobře, protože pokud kategorie C má konečné výrobky, kategorie C-enriched categories has finite products too.

I když je tento koncept například pro některé účely příliš přísný, teorie homotopy, kde vznikají „slabé“ struktury ve formě vyšších kategorií,^[1] přísné kubické vyšší homotopy grupoidy také vznikly jako nové základy pro algebraickou topologii na hranici mezi homologií a teorií homotopy; viz článek Nonabelianská algebraická topologie, na které odkazuje níže uvedená kniha.

Slabé vyšší kategorie

Slabý n-kategorie, podmínky asociativity a identity již nejsou přísné (to znamená, že nejsou dány rovností), ale jsou uspokojeny až do izomorfismu další úrovně. Příklad v topologie je složení cesty, kde podmínky identity a přidružení platí pouze do reparameterizace, a tedy až homotopy, což je 2-izomorfismus pro tuto 2 kategorii. Tyto n-izomorfismy se musí mezi sebou dobře chovat hom-sady a vyjadřovat to je obtíž při definici slabého n-Kategorie. Slabé 2 kategorie, nazývané také dvoukategorií, byly první, které byly výslovně definovány. Zvláštností je, že dvoukategorie s jedním objektem je přesně a monoidní kategorie, takže lze o dvoukategoriích říci, že jsou „monoidální kategorie s mnoha objekty“. Slabé 3 kategorie, nazývané také tříkategorií a zevšeobecňování na vyšší úrovni je stále obtížnější explicitně definovat. Bylo dáno několik definic, které říkaly, kdy jsou rovnocenné a v jakém smyslu se staly novým předmětem studia v teorii kategorií.

Kvazi kategorie

Slabé komplexy Kan nebo kvazikategorie jsou jednoduché sady uspokojení slabé verze stavu Kan. André Joyal ukázaly, že jsou dobrým základem pro teorii vyšších kategorií. Teorie, nedávno, v roce 2009 byla dále systematizována teorií Jacob Lurie kdo jim jednoduše říká kategorie nekonečna, ačkoli druhý termín je také obecným termínem pro všechny modely (nekonečno,k) kategorie pro všechny k.

Zjednodušeně obohacené kategorie

Zjednodušeně obohacené kategorie nebo zjednodušené kategorie jsou kategorie obohacené o zjednodušené množiny. Když se na ně však podíváme jako na model pro (nekonečno, 1) - kategorie, pak mnoho kategorických pojmů (např. limity) nesouhlasí s odpovídajícími pojmy ve smyslu obohacených kategorií. Totéž pro ostatní obohacené modely, jako jsou topologicky obohacené kategorie.

Topologicky obohacené kategorie

Topologicky obohacené kategorie (někdy jednoduše topologické kategorie) jsou kategorie obohacené o nějakou vhodnou kategorii topologických prostorů, např. kategorie kompaktně generovaných Hausdorffových topologických prostorů.

Kategorie Segal

Jedná se o modely vyšších kategorií představené Hirschowitzem a Simpsonem v roce 1998,^[2] částečně inspirován výsledky Graeme Segala v roce 1974.

Viz také

• Vyšší dimenzionální algebra
• Obecný abstraktní nesmysl
• Kategorizace
• Koherence (teorie homotopy)

Poznámky

Reference

• Baez, John C.; Dolan, James (1998). "Kategorizace". arXiv:matematika / 9802029.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Leinster, Tom (2004). Vyšší operády, vyšší kategorie. Cambridge University Press. arXiv:math.CT / 0305049. ISBN  0-521-53215-9.
• Simpson, Carlos (2010). "Teorie homotopie vyšších kategorií". arXiv:1001.4071 [math.CT ]. Koncept knihy. Alternativní PDF s hypertextovými odkazy )

• Lurie, Jacobe (2009). Teorie vyšších toposů. Princeton University Press. arXiv:math.CT / 0608040. ISBN  978-0-691-14048-3. Tak jako PDF.
• nLab, kolektivní a otevřený projekt wiki notebooků o teorii vyšších kategorií a aplikacích ve fyzice, matematice a filozofii
• Joyal's Catlab, wiki věnovaná vyleštěným expozicím kategorické a vyšší kategorické matematiky s důkazy
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011). Nonabelianská algebraická topologie: filtrované prostory, zkřížené komplexy, kubické homotopy grupoidy. Trakty v matematice. 15. Evropská matematická společnost. ISBN  978-3-03719-083-8.

externí odkazy

• Baez, John (24. února 1996). "Týden 73: Příběh n-Kategorie".
• Kavárna kategorie n - skupinový blog věnovaný teorii vyšších kategorií.
• Leinster, Tom (8. března 2010). „Perspektiva teorie vyšších kategorií“.