Počet funktorů - Calculus of functors

v algebraická topologie, pobočka matematika, počet funktorů nebo Kalkul dobré vůle je technika studia funktory jejich aproximací posloupností jednodušších funktorů; zobecňuje sheafifikace a předheaf. Tato posloupnost aproximací je formálně podobná posloupnosti Taylor série a plynulá funkce, proto termín "počet funktorů “.

Mnoho objektů ústředního zájmu v algebraické topologii lze považovat za funktory, které je obtížné přímo analyzovat, proto je myšlenka nahradit je jednoduššími funktory, které jsou pro určité účely dostatečně dobré aproximace. Thomas Goodwillie v sérii tří prací v 90. a 2000. letech,^[1][2][3] a od té doby byl rozšířen a aplikován v řadě oblastí.

Příklady

Motivační příklad ústředního zájmu o geometrická topologie, je funktorem vložení jednoho potrubí M do jiného potrubí N, jehož první derivací ve smyslu počtu funktorů je funktor ponoření. Protože každé vložení je ponořením, získá se zahrnutí funktorů ${displaystyle mathrm {Emb} (M, N) o mathrm {Imm} (M, N)}$ - v tomto případě je mapa od funktoru k aproximaci zahrnutím, ale obecně je to prostě mapa.

Jak ukazuje tento příklad, lineární aproximace funktoru (v topologickém prostoru) je jeho sheafifikace, uvažující o funktoru jako a předheaf na prostoru (formálně jako funktor kategorie otevřených podmnožin prostoru) a lineární funktory jsou svazky.

Tento příklad studovali Goodwillie a Michael Weiss.^[4][5]

Definice

Zde je analogie: metodou Taylorovy řady z počtu můžete aproximovat tvar a plynulá funkce F kolem bodu X pomocí posloupnosti stále přesnějších polynomiálních funkcí. Podobným způsobem můžete pomocí metody počtu funktorů aproximovat chování určitého druhu funktor F na konkrétní objekt X pomocí posloupnosti stále přesnějšího polynomu funktory.

Abych byl konkrétní, pojďme M být hladké potrubí a nechte O (M) být kategorií otevřených podprostorů M, tj. kategorie, kde jsou objekty otevřenými podprostory Ma morfismy jsou inkluzní mapy. Nechat F být protikladný funktor z kategorie O (M) do kategorie Horní topologických prostorů se spojitými morfismy. Tento druh funktoru, nazývaný a Horní-hodnota předheaf na M, je druh funktoru, který lze aproximovat pomocí metody počtu funktorů: pro konkrétní otevřenou množinu X∈O (M), možná budete chtít vědět, jaký druh topologického prostoru F (X) je, takže můžete studovat topologii stále přesnějších aproximací F₀(X), F₁(X), F₂(X), a tak dále.

V metodě počtu funktorů se sekvence aproximací skládá z (1) funktorů ${displaystyle T_ {0} F, T_ {1} F, T_ {2} F}$, atd., stejně jako (2) přirozené transformace ${displaystyle eta _ {k} dvojtečka F o T_ {k} F}$ pro každé celé číslo k. Tyto přirozené transformace musí být kompatibilní, což znamená, že kompozice ${displaystyle F o T_ {k + 1} F o T_ {k} F}$ rovná se mapa ${displaystyle F o T_ {k} F,}$ a tak tvoří věž

${displaystyle F o cdots o T_ {k + 1} F o T_ {k} F o cdots o T_ {1} F o T_ {0} F,}$

a lze o něm uvažovat jako o „postupných aproximacích“, stejně jako v Taylorově řadě lze postupně zahodit výrazy vyššího řádu.

Přibližné funktory musí být „k-excisivní "- takovým funktorům se říká polynomiální funktory analogicky s Taylorovy polynomy - což je zjednodušující podmínka a zhruba to znamená, že jsou určováni svým chováním v okolí k body najednou nebo více formálně jsou snopy na konfigurační prostor z k bodů v daném prostoru. Rozdíl mezi kth a ${displaystyle (k-1)}$st functors je „homogenní funktor titulu k"(analogicky s homogenní polynomy ), které lze klasifikovat.

Pro funktory ${displaystyle T_ {k} F}$ být aproximací původního funktoru F, výsledné aproximační mapy ${displaystyle F o T_ {k} F}$ musí být n-připojeno pro nějaké číslo n, což znamená, že aproximační funktor se přibližuje původnímu funktoru "v dimenzi až n"; toto se nemusí stát. Dále, pokud si někdo přeje rekonstruovat původní funktor, musí být výsledné aproximace n-připojeno pro n roste do nekonečna. Jeden pak zavolá F an analytický funktor, a říká, že „Taylorova věž konverguje k funktoru“, analogicky s Taylorovou řadou analytické funkce.

Pobočky

Existují tři větve počtu funktorů, vyvinuté v pořadí:

• počet potrubí, jako jsou vložení,
• homotopický počet a
• ortogonální počet.

Homotopický počet zaznamenal mnohem širší uplatnění než ostatní větve.^{[Citace je zapotřebí ]}

Dějiny

Pojem svazku a sheafifikace presheaf se datuje do rané teorie kategorií a lze jej považovat za lineární formu počtu funktorů. Kvadratickou formu lze vidět v díle André Haefliger na Odkazy v roce 1965, kde definoval „metastabilní rozsah“, ve kterém je problém jednodušší.^[6] Toto bylo identifikováno jako kvadratické přiblížení k funktoru vložení v Goodwillie a Weiss.

Reference

• Munson, Brian (2005), Osnova matematiky 283: Počet funktorů (PDF)

externí odkazy

• Thomas Goodwillie
• John Klein
• Michael S. Weiss