Kategorie Grothendieck - Grothendieck category

v matematika, a Kategorie Grothendieck je určitý druh abelianská kategorie, představený v Alexander Grothendieck je Papír Tôhoku z roku 1957^[1] za účelem vývoje mechanismu homologická algebra pro moduly a pro snopy jednotným způsobem. Teorie těchto kategorií byla dále rozvíjena v Pierre Gabriel klíčová práce v roce 1962.^[2]

Každému algebraická rozmanitost ${ displaystyle V}$ lze přiřadit kategorii Grothendieck ${ displaystyle operatorname {Qcoh} (V)}$ , skládající se z kvazi-koherentní snopy na ${ displaystyle V}$ . Tato kategorie kóduje všechny relevantní geometrické informace o ${ displaystyle V}$ , a ${ displaystyle V}$ lze obnovit z ${ displaystyle operatorname {Qcoh} (V)}$ (dále jen Věta o rekonstrukci Gabriel-Rosenberg ). Tento příklad vede k jednomu přístupu k nekomutativní algebraická geometrie: studium „nekomutativních odrůd“ pak není nic jiného než studium (určitých) Grothendieckových kategorií.^[3]

Definice

Podle definice kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je Kategorie AB5 s generátor. Upřesněno, to znamená, že

${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je abelianská kategorie;
každá (možná nekonečná) rodina objektů v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ má koprodukt (také známý jako přímý součet) v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ;
přímé limity z krátké přesné sekvence jsou přesné; to znamená, že pokud přímý systém krátké přesné sekvence v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je dána, pak je indukovaná sekvence přímých limitů také krátkou přesnou sekvencí. (Přímé limity jsou vždy pravý-přesný; důležitým bodem zde je, že je vyžadujeme přesný vlevo také.)
${ displaystyle { mathcal {A}}}$ má generátor, tj. existuje objekt ${ displaystyle G}$ v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ takhle ${ displaystyle operatorname {Hom} (G, -)}$ je věrný funktor z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ do kategorie sad. (V naší situaci to odpovídá tvrzení, že každý objekt ${ displaystyle X}$ z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ připouští epimorfismus ${ displaystyle G ^ {(I)} rightarrow X}$ , kde ${ displaystyle G ^ {(I)}}$ označuje přímý součet kopií ${ displaystyle G}$ , jeden pro každý prvek (pravděpodobně nekonečné) množiny ${ displaystyle I}$ .)

Název „kategorie Grothendieck“ se neobjevil ani v Grothendieckově dokumentu Tôhoku^[1] ani v Gabrielově tezi;^[2] začal se používat ve druhé polovině 60. let v díle několika autorů, včetně Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst a Bodo Pareigis. (Někteří autoři používají jinou definici v tom, že nevyžadují existenci generátoru.)

Příklady

Prototypickým příkladem kategorie Grothendieck je kategorie abelianských skupin; abelianská skupina ${ displaystyle mathbb {Z}}$ celých čísel může sloužit jako generátor.
Obecněji řečeno, jakýkoli prsten ${ displaystyle R}$ (asociativní, s ${ displaystyle 1}$ , ale ne nutně komutativní), kategorie ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ úplně vpravo (nebo alternativně: vlevo) moduly přes ${ displaystyle R}$ je kategorie Grothendieck; ${ displaystyle R}$ sám o sobě může sloužit jako generátor.
Vzhledem k tomu, topologický prostor ${ displaystyle X}$ kategorie všech snopy abelianských skupin na ${ displaystyle X}$ je kategorie Grothendieck.^[1] (Obecněji: kategorie všech svazků pravé ${ displaystyle R}$ - moduly zapnuty ${ displaystyle X}$ je kategorie Grothendieck pro jakýkoli prsten ${ displaystyle R}$ .)
Vzhledem k tomu, prstencový prostor ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ kategorie snopy z Ó_X- moduly je kategorie Grothendieck.^[1]
Vzhledem k tomu, (afinní nebo projektivní) algebraická rozmanitost ${ displaystyle V}$ (nebo obecněji: libovolný systém ), kategorie ${ displaystyle operatorname {Qcoh} (V)}$ z kvazi-koherentní snopy na ${ displaystyle V}$ je kategorie Grothendieck.
Vzhledem k malému webu (C, J) (tj. malá kategorie C společně s a Grothendieckova topologie J), kategorie všech snopů abelianských skupin na webu je kategorie Grothendieck.

Konstrukce dalších kategorií Grothendieck

Jakákoli kategorie, která je ekvivalent do kategorie Grothendieck je sama o sobě kategorií Grothendieck.
Vzhledem k kategoriím Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A_ {1}}}, ldots, { mathcal {A_ {n}}}}$ , kategorie produktů ${ displaystyle { mathcal {A_ {1}}} times ldots times { mathcal {A_ {n}}}}$ je kategorie Grothendieck.
Vzhledem k tomu, malá kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ a kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , kategorie funktorů ${ displaystyle operatorname {Funct} ({ mathcal {C}}, { mathcal {A}})}$ , skládající se ze všech kovarianční funktory z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , je kategorie Grothendieck.^[1]
Vzhledem k malému předem připravený kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ a kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ kategorie funktorů ${ displaystyle operatorname {Přidat} ({ mathcal {C}}, { mathcal {A}})}$ všech aditivních kovariantních funktorů z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je kategorie Grothendieck.^[4]
Li ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je kategorie Grothendieck a ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je lokalizace podkategorie z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , pak oba ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ a Serre kvocient kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ jsou kategorie Grothendieck.^[2]

Vlastnosti a věty

Každá kategorie Grothendieck obsahuje vstřikovací kogenerátor. Například injektivní kogenerátor kategorie abelianských skupin je kvocientová skupina ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ .

Každý objekt v kategorii Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ má injekční trup v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ .^[1]^[2] To umožňuje konstrukci injekční rozlišení a tím i používání nástrojů homologická algebra v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , aby bylo možné definovat odvozené funktory. (Upozorňujeme, že ne všechny kategorie Grothendieck to umožňují projektivní rozlišení pro všechny objekty; příkladem jsou kategorie svazků abelianských skupin na mnoha topologických prostorech, například na prostoru reálných čísel.)

V kategorii Grothendieck každá rodina podobjekty ${ displaystyle (U_ {i})}$ daného objektu ${ displaystyle X}$ má supremum (nebo „součet“) ${ textstyle sum _ {i} U_ {i}}$ stejně jako infimum (nebo „křižovatka“) ${ displaystyle cap _ {i} U_ {i}}$ , oba které jsou opět podobjekty ${ displaystyle X}$ . Dále, pokud rodina ${ displaystyle (U_ {i})}$ je směrován (tj. u jakýchkoli dvou objektů v rodině existuje třetí objekt v rodině, který tyto dva obsahuje), a ${ displaystyle V}$ je dalším podobjektem ${ displaystyle X}$ , my máme^[5]

{ displaystyle sum _ {i} (U_ {i} cap V) = left ( sum _ {i} U_ {i} right) cap V.}

Kategorie Grothendieck jsou dobře napájený (někdy nazývané místně malý, i když se tento termín používá také pro jiný koncept), tj. kolekce podobjektů libovolného daného objektu tvoří množinu (spíše než správná třída ).^[4]

Je to poměrně hluboký výsledek, který má každá kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je kompletní,^[6] tj. svévolné limity (a zejména produkty ) existuje v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ . Z definice naopak přímo vyplývá, že ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je úplná, tj. libovolná kolimiti a koprodukty (přímé částky) existují v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ . Koprodukty v kategorii Grothendieck jsou přesné (tj. Koprodukt rodiny krátkých přesných sekvencí je opět krátká přesná sekvence), ale produkty nemusí být přesné.

Funktor ${ displaystyle F colon { cal {A}} do { cal {X}}}$ z kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ do libovolné kategorie ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ má vlevo adjoint právě tehdy, pokud dojíždí se všemi limity, a má právo adjoint, právě když dojíždí se všemi kolimity. To vyplývá z Peter J. Freyd je věta speciálního adjunktového funktoru a jeho dvojí.^[7]

The Věta Gabriel – Popescu uvádí, že jakákoli kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je ekvivalentní a celá podkategorie kategorie ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ pravých modulů přes nějaký unitalní prsten ${ displaystyle R}$ (což lze považovat za endomorfismus prsten generátoru ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ), a ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ lze získat jako a Gabriel kvocient z ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ některými lokalizace podkategorie.^[8]

V důsledku Gabriel-Popescu lze ukázat, že každá kategorie Grothendieck je místně prezentovatelné.^[9] Gabriel-Popescu lze dále použít k tomu, aby zjistil, že každá kategorie Grothendieck je úplná, protože je reflexní podkategorie celé kategorie ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ pro některé ${ displaystyle R}$ .

Každá malá abelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ lze začlenit do kategorie Grothendieck následujícím způsobem. Kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}: = operatorname {Lex} ({ mathcal {C}} ^ {op}, mathrm {Ab})}$ z přesný vlevo aditivní (kovariantní) funktory ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ {op} rightarrow mathrm {Ab}}$ (kde ${ displaystyle mathrm {Ab}}$ označuje kategorie abelianských skupin ) je kategorie Grothendieck a funktor ${ displaystyle h colon { mathcal {C}} rightarrow { mathcal {A}}}$ , s ${ displaystyle C mapsto h_ {C} = operatorname {Hom} (-, C)}$ , je plný, věrný a přesný. Generátor ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je dán koproduktem všech ${ displaystyle h_ {C}}$ , s ${ displaystyle C v { mathcal {C}}}$ .^[2] Kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ odpovídá kategorii ${ displaystyle { text {Ind}} ({ mathcal {C}})}$ z ind-objekty z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ a vložení ${ displaystyle h}$ odpovídá přirozenému uložení ${ displaystyle { mathcal {C}} na { text {Ind}} ({ mathcal {C}})}$ . Můžeme si tedy prohlédnout ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ jako společné dokončení ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ .

Speciální druhy předmětů a kategorie Grothendieck

Objekt ${ displaystyle X}$ v kategorii Grothendieck se nazývá definitivně generováno pokud, kdykoli ${ displaystyle X}$ je psán jako součet rodiny podobjektů ${ displaystyle X}$ , pak je to již součet konečné podrodiny. (V případě ${ displaystyle { cal {A}} = operatorname {Mod} (R)}$ kategorií modulů je tento pojem ekvivalentní známému pojmu konečně generované moduly.) Epimorfní obrazy konečně generovaných objektů jsou opět definitivně generovány. Li ${ displaystyle U subseteq X}$ a obojí ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle X / U}$ jsou definitivně generovány, pak také jsou ${ displaystyle X}$ . Objekt ${ displaystyle X}$ je definitivně vygenerován tehdy a jen tehdy, pro jakýkoli směrovaný systém ${ displaystyle (A_ {i})}$ v ${ displaystyle { cal {A}}}$ ve kterém je každý morfismus monomorfismus, přirozený morfismus ${ displaystyle varinjlim mathrm {Hom} (X, A_ {i}) to mathrm {Hom} (X, varinjlim A_ {i})}$ je izomorfismus.^[10] Kategorie Grothendieck nemusí obsahovat žádné nenulové konečně generované objekty.

Nazývá se kategorie Grothendieck místně definitivně generováno pokud má sadu konečně generovaných generátorů (tj. pokud existuje rodina ${ displaystyle (G_ {i}) _ {i v I}}$ konečně generovaných objektů tak, že ke každému objektu ${ displaystyle X}$ existují ${ displaystyle i in I}$ a nenulový morfismus ${ displaystyle G_ {i} rightarrow X}$ ; ekvivalentně: ${ displaystyle X}$ je epimorfní obraz přímého součtu kopií ${ displaystyle G_ {i}}$ ). V takové kategorii je každý objekt součtem jeho konečně generovaných podobjektů.^[4] Každá kategorie ${ displaystyle { cal {A}} = operatorname {Mod} (R)}$ je místně definitivně generován.

Objekt ${ displaystyle X}$ v kategorii Grothendieck se nazývá konečně představen jestli je definitivně generován a jestli každý epimorfismus ${ displaystyle W až X}$ s definitivně generovanou doménou ${ displaystyle W}$ má definitivně generované jádro. Tím se opět zobecňuje pojem konečně prezentované moduly. Li ${ displaystyle U subseteq X}$ a obojí ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle X / U}$ jsou definitivně prezentovány, pak také jsou ${ displaystyle X}$ . V místně definitivně generované kategorii Grothendieck ${ displaystyle { cal {A}}}$ , konečně prezentované objekty lze charakterizovat následovně:^[11] ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { cal {A}}}$ je s konečnou platností představen tehdy a jen tehdy, pro každý směrovaný systém ${ displaystyle (A_ {i})}$ v ${ displaystyle { cal {A}}}$ , přirozený morfismus ${ displaystyle varinjlim mathrm {Hom} (X, A_ {i}) to mathrm {Hom} (X, varinjlim A_ {i})}$ je izomorfismus.

Objekt ${ displaystyle X}$ v kategorii Grothendieck ${ displaystyle { cal {A}}}$ je nazýván koherentní pokud je definitivně uveden a pokud je každý z jeho konečně generovaných podobjektů také definitivně uveden.^[12] (Tím se zobecňuje pojem koherentní snopy na prstencovém prostoru.) Celá podkategorie všech koherentních objektů v ${ displaystyle { cal {A}}}$ je abelian a funktor začlenění ano přesný.^[12]

Objekt ${ displaystyle X}$ v kategorii Grothendieck se nazývá Noetherian pokud množina jejích podobjektů splňuje vzestupný stav řetězu, tj. pokud každá sekvence ${ displaystyle X_ {1} subseteq X_ {2} subseteq cdots}$ dílčích předmětů z ${ displaystyle X}$ nakonec se zastaví. To je případ tehdy a jen tehdy, když je každý subobjekt X definitivně generován. (V případě ${ displaystyle { cal {A}} = operatorname {Mod} (R)}$ , tento pojem je ekvivalentní známému pojmu Noetherian moduly.) Volá se kategorie Grothendieck místně Noetherian pokud má sadu noetherianských generátorů; příkladem je kategorie levých modulů nad levýmNoetherian ring.

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“, Matematický deník Tôhoku, (2), 9 (2): 119–221, doi:10,2748 / tmj / 1178244839, PAN 0102537. anglický překlad.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Gabriel, Pierre (1962), „Des catégories abéliennes“ (PDF), Býk. Soc. Matematika. Fr., 90: 323–448, doi:10,24033 / bsmf.1583
^ Izuru Mori (2007). „Kvantové vládnoucí povrchy“ (PDF).
^ ^A ^b ^C Faith, Carl (1973). Algebra: Prsteny, moduly a kategorie I. Springer. 486–498. ISBN 9783642806346.
^ Stenström, Prop. V.1.1
^ Stenström, Cor. X.4.4
^ Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician, 2. vydání. Springer. str. 130.
^ Popesco, Nicolae; Gabriel, Pierre (1964). „Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exes“. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.
^ Šťovíček, Jan (01.01.2013). "Dekonstrukčnost a Hill Lemma v kategoriích Grothendieck". Fórum Mathematicum. 25 (1). arXiv:1005.3251. Bibcode:2010arXiv1005.3251S. doi:10.1515 / FORM.2011.2011.113. S2CID 119129714.
^ Stenström, Prop. V.3.2
^ Stenström, Prop. V.3.4
^ ^A ^b Herzog, I. (1997). „Zieglerovo spektrum lokálně koherentní kategorie Grothendieck“. Proceedings of the London Mathematical Society. 74 (3): 503–558. doi:10.1112 / S002461159700018X.

Reference

Popescu, Nicolae (1973). Abelianské kategorie s aplikacemi na prsteny a moduly. Akademický tisk.
Stenström, Bo T. (1975). Rings of Quotients: An Introduction to Methods of Ring Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6.

externí odkazy

Tsalenko, M.Sh. (2001) [1994], „Kategorie Grothendieck“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Abelian kategorie, poznámky Daniela Murfeta. Oddíl 2.3 zahrnuje kategorie Grothendieck.

[tohoku-1] A ^b ^C ^d ^E ^F Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“, Matematický deník Tôhoku, (2), 9 (2): 119–221, doi:10,2748 / tmj / 1178244839, PAN 0102537. anglický překlad.

[gabriel-these-2] A ^b ^C ^d ^E Gabriel, Pierre (1962), „Des catégories abéliennes“ (PDF), Býk. Soc. Matematika. Fr., 90: 323–448, doi:10,24033 / bsmf.1583

[3] Izuru Mori (2007). „Kvantové vládnoucí povrchy“ (PDF).

[:0-4] A ^b ^C Faith, Carl (1973). Algebra: Prsteny, moduly a kategorie I. Springer. 486–498. ISBN 9783642806346.

[5] Stenström, Prop. V.1.1

[6] Stenström, Cor. X.4.4

[7] Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician, 2. vydání. Springer. str. 130.

[8] Popesco, Nicolae; Gabriel, Pierre (1964). „Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exes“. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.

[9] Šťovíček, Jan (01.01.2013). "Dekonstrukčnost a Hill Lemma v kategoriích Grothendieck". Fórum Mathematicum. 25 (1). arXiv:1005.3251. Bibcode:2010arXiv1005.3251S. doi:10.1515 / FORM.2011.2011.113. S2CID 119129714.

[10] Stenström, Prop. V.3.2

[11] Stenström, Prop. V.3.4

[herzog-12] A ^b Herzog, I. (1997). „Zieglerovo spektrum lokálně koherentní kategorie Grothendieck“. Proceedings of the London Mathematical Society. 74 (3): 503–558. doi:10.1112 / S002461159700018X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]