Ekvalizér (matematika) - Equaliser (mathematics)

v matematika, an ekvalizér je sada argumentů, kde dva nebo více funkce mít rovnat se Ekvalizér je sada řešení z rovnice V určitých kontextech, a rozdílové jádro je ekvalizér přesně dvou funkcí.

Definice

Nechat X a Y být sady.Nechat F a G být funkce, oba z X na Y.Potom ekvalizér z F a G je sada prvků X z X takhle F(X) rovná se G(X) v Y.Symbolicky:

${ displaystyle operatorname {Eq} (f, g): = {x v X mid f (x) = g (x) }.}$

Ekvalizér může být označen Eq (F, G) nebo variace na toto téma (například s malými písmeny „eq“). V neformálních kontextech se notace {F = G} je běžné.

Výše uvedená definice používala dvě funkce F a G, ale není třeba se omezovat pouze na dvě funkce, nebo dokonce pouze na konečně mnoho funkcí. Obecně, pokud F je soubor funkcí z X na Y, pak ekvalizér členů F je sada prvků X z X takové, že, vzhledem k tomu, dva členové F a G z F, F(X) rovná se G(X) v Y.Symbolicky:

${ displaystyle operatorname {Eq} ({ mathcal {F}}): = {x v X mid forall f, g in { mathcal {F}}, ; f (x) = g (X)}.}$

Tento ekvalizér lze zapsat jako Eq (F, G, h, ...) pokud ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je množina {F, G, h, ...}. V druhém případě lze také najít {F = G = h = ···} v neformálních kontextech.

Jako degenerovat v případě obecné definice, ať F být jedináček {F}.Od té doby F(X) se vždy rovná sobě, ekvalizérem musí být celá doména XJako ještě zvrhlejší případ, pojďme F být prázdná sada. Pak je ekvalizér opět celá doména X, protože univerzální kvantifikace v definici je prázdně pravda.

Rozdíl jádra

Binární ekvalizér (tj. Ekvalizér pouze dvou funkcí) se také nazývá a rozdílové jádro. To může být také označeno DiffKer (F, G), Ker (F, G), nebo Ker (F − G). Poslední notace ukazuje, odkud tato terminologie pochází a proč je nejběžnější v kontextu abstraktní algebra: Rozdílové jádro F a G je prostě jádro rozdílu F − G. Kromě toho jádro jedné funkce F lze rekonstruovat jako rozdílové jádro Eq (F, 0), kde 0 je konstantní funkce s hodnotou nula.

To vše samozřejmě předpokládá algebraický kontext, kde je jádro funkce jeho preimage pod nulou; to není pravda ve všech situacích. Terminologie „rozdílové jádro“ však nemá žádný jiný význam.

V teorii kategorií

Ekvalizéry lze definovat pomocí a univerzální vlastnictví, což umožňuje zobecnit pojem z kategorie sad na libovolné Kategorie.

V obecném kontextu X a Y jsou objekty, zatímco F a G jsou morfismy z X na YTyto objekty a morfismy tvoří a diagram v dané kategorii a ekvalizér je jednoduše omezit tohoto diagramu.

Přesněji řečeno, ekvalizér se skládá z objektu E a morfismus ekv : E → X uspokojující ${ displaystyle f circ eq = g circle eq}$, a takové, že daný objekt Ó a morfismus m : Ó → X, pokud ${ displaystyle f circ m = g circ m}$, pak existuje a unikátní morfismus u : Ó → E takhle ${ displaystyle eq circ u = m}$.

Morfismus ${ displaystyle m: O rightarrow X}$ říká se vyrovnat ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ -li ${ displaystyle f circ m = g circ m}$.^[1]

V každém univerzální algebraický kategorie, včetně kategorií, kde se používají rozdílová jádra, a také kategorie samotných sad, objektu E lze vždy brát jako obyčejný pojem ekvalizéru a morfismu ekv lze v takovém případě považovat za funkce začlenění z E jako podmnožina z X.

Zevšeobecnění tohoto na více než dva morfismy je přímé; jednoduše použijte větší diagram s více morfismy. degenerovaný případ pouze jednoho morfismu je také přímočarý; pak ekv může být jakýkoli izomorfismus z objektu E na X.

Správný diagram pro zvrhlý případ s Ne morfismy jsou mírně jemné: dalo by se zpočátku nakreslit diagram, který se skládá z objektů X a Y a žádné morfismy. To je však nesprávné, protože limit takového diagramu je produkt z X a Y, spíše než ekvalizér. (A produkty a ekvalizéry jsou skutečně různé pojmy: teoreticko-teoretická definice produktu nesouhlasí s teoreticko-teoretickou definicí ekvalizéru zmíněnou výše, proto se vlastně liší.) Místo toho je vhodné pochopit, že každý diagram ekvalizéru je zásadně znepokojen X, počítaje v to Y jen proto, že Y je codomain morfismů, které se objevují v diagramu. Z tohoto pohledu vidíme, že pokud nejsou zahrnuty žádné morfismy, Y nedělá vzhled a ekvalizérový diagram se skládá z X sama. Limitem tohoto diagramu je pak jakýkoli izomorfismus mezi E a X.

Lze prokázat, že jakýkoli ekvalizér v jakékoli kategorii je a monomorfismus.Pokud konverzovat drží v dané kategorii, pak se o této kategorii říká, že je pravidelný (ve smyslu monomorfismů). Obecněji, a pravidelný monomorfismus v jakékoli kategorii je jakýkoli morfismus m to je ekvalizér nějaké sady morfismu. Někteří autoři to vyžadují přísněji m být binární ekvalizér, to je ekvalizér přesně dvou morfismů. Je-li však příslušná kategorie kompletní, pak obě definice souhlasí.

Pojem rozdílové jádro má smysl také v teoreticko-teoretickém kontextu. Terminologie „rozdílové jádro“ je v celé teorii kategorií běžná pro jakýkoli binární ekvalizér. V případě preadditive kategorie (kategorie obohacený nad kategorií Abelianské skupiny ), termín „rozdílové jádro“ lze vykládat doslovně, protože odčítání morfismů dává smysl. To znamená, Eq (F, G) = Ker (F - G), kde Ker označuje kategorie-teoretické jádro.

Libovolná kategorie s výrobky z vláken (pullbacks) a produkty má ekvalizéry.

Viz také

• Ekvalizér, dvojí pojem, získaný obrácením šipek v definici ekvalizéru.
• Teorie shody, nastává topologický přístup k ekvalizéru topologické prostory.
• Zarazit, speciální omezit které lze sestavit z ekvalizérů a produktů.

Poznámky

Reference

• Ekvalizér v nLab

externí odkazy

• Interaktivní webová stránka který generuje příklady ekvalizérů v kategorii konečných množin. Napsáno Jocelyn Paine.