Becks monadicity theorem - Becks monadicity theorem - Wikipedia

v teorie kategorií, pobočka matematika, Beckova veta o monadicitě dává kritérium, které charakterizuje monadické funktory, představil Jonathan Mock Beck (2003 ) asi v roce 1964. Často se uvádí v duální formě pro komonády. Někdy se tomu říká Beckova věta o trojnásobnosti z důvodu staršího termínu trojnásobný pro monad.

Beckova monadicitní věta tvrdí, že a funktor

{ displaystyle U: C až D}

je monadická právě tehdy^[1]

U má levici adjoint;
U odráží izomorfismy; a
C má ekvalizéry z U- rozdělené paralelní páry (ty paralelní páry morfismů v C, který U posílá dvojicím, které mají rozdělený ekvalizér D), a U zachovává tyto ekvalizéry.

Existuje několik variant Beckovy věty: if U má levý adjoint, pak to zajistí kterákoli z následujících podmínek U je monadic:

U odráží izomorfismy a C má ekvalizéry reflexních párů (těch se společnou pravou inverzí) a U zachovává tyto ekvalizéry. (Toto dává teorém o surové monadicitě.)
Každá vidlice dovnitř C který je tím U odesláno do rozdělené sekvence ekvalizéru v D je sama sekvence ekvalizéru v C. Jinými slovy, U vytváří (zachovává a odráží) U-split sekvence ekvalizéru.

Další variace Beckovy věty charakterizuje přísně monadické funktory: ty, pro které je srovnávací funktor spíše izomorfismem než jen ekvivalencí. U této verze se definice toho, co to znamená vytvářet koekvalizátory, mírně mění: koekvalizátor musí být spíše jedinečný než jen jedinečný až po izomorfismus.

Beckova věta je zvláště důležitá ve vztahu k teorie sestupu, který hraje roli v snop a teorie zásobníku, stejně jako v Alexander Grothendieck přístup k algebraická geometrie. Většina případů věrně plochého původu algebraické struktury (např. v FGA a v SGA1 ) jsou speciální případy Beckovy věty. Věta podává přesný kategorický popis procesu „sestupu“ na této úrovni. V roce 1970 Grothendieck přistupuje prostřednictvím vláknité kategorie a údaje o sestupu bylo ukázáno (Jean Bénabou a Jacques Roubaud ) být ekvivalentní (za určitých podmínek) s přístupem comonad. V pozdější práci Pierre Deligne aplikoval Beckovu větu na Tannakianská kategorie teorie, což výrazně zjednodušuje základní vývoj.

Příklady

Z Beckovy věty vyplývá, že zapomnětlivý funktor z kompaktu Hausdorffovy prostory k sadám je monadický. Levý adjoint je Zhutnění Stone – Čech, zapomnětlivý funktor zachovává všechny kolimity a odráží izomorfismy, protože jakákoli souvislá bijekce z kompaktního prostoru do Hausdorffova prostoru je homeomorfismus. Leinster (2013) ukazuje, že toto přidání je ve skutečnosti počáteční monadická adjunkce rozšiřující (nemonadický) funkcionalitu zařazení do kategorie konečné množiny do jedné ze všech sad.

Zapomnětlivý funktor z topologických prostorů na množiny není monadický, protože nereflektuje izomorfismy: spojité bijekce mezi (nekompaktní nebo ne-Hausdorffovy) topologické prostory nemusí být homeomorfismy.

Negrepontis (1971, §1) vyplývá, že funktor z komutativní C * -algebry nastaví odesílání takové algebry A do jednotková koule, tj. sada ${ displaystyle {a v A, | a | leq 1 }}$ , je monadický. Negrepontis také vyvozuje Dualita Gelfand Z toho lze odvodit ekvivalenci kategorií mezi opačnou kategorií kompaktních Hausdorffových prostorů a komutativních C * -algeber.
Funktor sady množin z množiny^op to Set je monadické, kde Set je kategorie sad. Obecněji lze Beckovu větu použít k prokázání, že funktor množiny výkonů z T^op to T je monadický pro jakýkoli topos T, což se zase používá k prokázání, že topos T má konečné colimity.
Zapomnětlivý funktor z poloskupiny k sadám je monadický. Tento funktor nezachovává svévolné konvektory, což ukazuje, že určitá omezení na konvektory v Beckově větě jsou nutná, pokud chceme mít podmínky, které jsou nezbytné a dostatečné.
Li B je věrně plochý komutativní kruh nad komutativním kruhem A, pak funktor T z A moduly do B přijímání modulů M na B⊗_AM je komonád. To vyplývá z duálu Becksovy věty, která je podmínkou B je plochý to naznačuje T zachovává limity, zatímco podmínku, že B je věrně plochá, to naznačuje T odráží izomorfismy. Uhelná uhlí skončila T se ukazuje být v zásadě a B-modul s údaji o sestupu, takže skutečnost T je comonad je ekvivalentní hlavní teorému věrně plochého původu, říká to B-moduly se sestupem jsou ekvivalentní k A- moduly.^[2]

externí odkazy

věta o monadicitě v nLab
monadický sestup v nLab

Reference

^ Pedicchio & Tholen 2004, str. 228
^ Deligne 1990, §4.2

Balmer, Paul (2012), „Sestup v trojúhelníkových kategoriích“, Mathematische Annalen, 353 (1): 109–125, doi:10.1007 / s00208-011-0674-z, PAN 2910783
Barr, M .; Wells, C. (2013) [1985], Trojnásobí, topos a teorieGrundlehren der mathematischen Wissenschaften, 278Springer, ISBN 9781489900234 pdf
Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], „Trojice, algebry a kohomologie“ (PDF), Dotisky v teorii a aplikacích kategorií, Disertační práce na Kolumbijské univerzitě, 2: 1–59, PAN 1987896
Bénabou, Jean; Roubaud, Jacques (1970-01-12), „Monades et descente“, C. R. Acad. Sc. Paris, t., 270 (A): 96–98
Leinster, Tom (2013), „Codensity and the ultrafilter monad“, Teorie a aplikace kategorií, 28: 332–370, arXiv:1209.3606, Bibcode:2012arXiv1209,3606L

Negrepontis, Joan W. (1971), „Dualita v analýze z pohledu trojic“, Journal of Algebra, 19 (2): 228–253, doi:10.1016/0021-8693(71)90105-0, ISSN 0021-8693, PAN 0280571

Pavlović, Duško (1991), „Kategorická interpolace: sestup a Beck-Chevalleyův stav bez přímých obrazů“, in Carboni, A .; Pedicchio, M.C .; Rosolini, G. (eds.), Teorie kategoriíPřednášky z matematiky, 1488, Springer, str. 306–325, doi:10.1007 / BFb0084229, ISBN 978-3-540-54706-8
Deligne, Pierre (1990), Kategorie Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, sv. IIPokrok v matematice, 87, Birkhäuser, str. 111–195
Grothendieck, A. (1962), „Fondements de la géométrie algébrique“, [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957—1962], Paříž: Secrétariat Math., PAN 0146040
Grothendieck, A .; Raynaud, M. (1971), Revêtements étales et groupe fondamental (SGA I)Přednášky z matematiky, 224Springer, arXiv:math.AG/0206203, doi:10.1007 / BFb0058656, ISBN 978-3-540-36910-3
Borceux, Francis (1994), Teorie základní kategorie Příručka kategorické algebry, 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0 (3 svazky).
Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L .; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Základní algebraická geometrie: Grothendieckovo FGA vysvětleno Matematické průzkumy a monografie 123Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4245-4, PAN 2222646
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004), Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazkůEncyklopedie matematiky a její aplikace 97, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-83414-7, Zbl 1034.18001

[1] Pedicchio & Tholen 2004, str. 228

[2] Deligne 1990, §4.2

[1]

[2]