Singleton (matematika) - Singleton (mathematics)
v matematika, a jedináček, také známý jako a sada jednotek,[1] je soubor s přesně jeden živel. Například množina {nula } je singleton obsahující prvek nula.
Termín se také používá pron-tice (A sekvence s jedním členem).
Vlastnosti
V rámci Teorie množin Zermelo – Fraenkel, axiom pravidelnosti zaručuje, že žádná množina není sama o sobě prvkem. To znamená, že singleton je nutně odlišný od prvku, který obsahuje,[1] tedy 1 a {1} nejsou totéž a prázdná sada se liší od sady obsahující pouze prázdnou sadu. Sada jako {{1, 2, 3}} je singleton, protože obsahuje jeden prvek (který sám o sobě je sadou, nikoli však singleton).
Sada je singleton kdyby a jen kdyby své mohutnost je 1. v von Neumannova množinová teoretická konstrukce přirozených čísel, číslo 1 je definovaný jako singleton {0}.
v axiomatická teorie množin, existence singletonů je důsledkem axiom párování: pro jakoukoli sadu A, na který platí axiom A a A tvrdí existenci {A, A}, který je stejný jako singleton {A} (protože obsahuje Aa žádná jiná množina jako prvek).
Li A je libovolná sada a S je libovolný singleton, pak existuje právě jeden funkce z A na S, funkce odesílající každý prvek A na jediný prvek S. Každý singleton je tedy a koncový objekt v kategorie sad.
Singleton má tu vlastnost, že každá funkce z ní do libovolné množiny je injektivní. Jedinou nejednotkou nastavenou s touto vlastností je prázdná sada.
The Bell číslo celočíselná sekvence spočítá počet oddíly sady (OEIS: A000110), pokud jsou vyloučeny singletony, pak jsou čísla menší (OEIS: A000296).
V teorii kategorií
Struktury postavené na singletonech často slouží jako terminálové objekty nebo nulové objekty různých Kategorie:
- Výrok výše ukazuje, že sady singletonů jsou přesně koncovými objekty v kategorii Soubor z sady. Žádné další sady nejsou terminální.
- Každý singleton připouští jedinečný topologický prostor struktura (obě podmnožiny jsou otevřené). Tyto singletonové topologické prostory jsou terminálové objekty v kategorii topologických prostorů a spojité funkce. V této kategorii nejsou žádné další mezery.
- Každý singleton připouští jedinečný skupina struktura (jedinečný prvek sloužící jako prvek identity ). Tyto singletonové skupiny jsou nulové objekty v kategorii skupin a skupinové homomorfismy. V této kategorii nejsou žádné další skupiny.
Definice podle indikátorových funkcí
Nechat být třída definováno pomocí funkce indikátoru
Pak se nazývá a jedináček jen a jen pokud nějaké jsou y ∈ X takové, že pro všechny X ∈ X,
Definice v Principia Mathematica
Následující definici představil Whitehead a Russell[2]
- ‘ Df.
Symbol ‘ označuje singleton a označuje třídu objektů shodnou s aka . K tomu dochází jako definice v úvodu, což místy zjednodušuje argument v hlavním textu, kde se vyskytuje jako propozice 51.01 (str. 357 tamtéž). Propozice je následně použita k definování kardinálního čísla 1 jako
- ‘ Df.
To znamená, že 1 je třída singletonů. Toto je definice 52.01 (str. 363 tamtéž).
Viz také
Reference
- ^ A b Stoll, Robert (1961). Sady, logické a axiomatické teorie. W. H. Freeman and Company. str. 5–6.
- ^ Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica. Sv. I. str. 37.