Ekvalizér - Coequalizer

v teorie kategorií, a ekvalizér (nebo ekvalizér) je zobecněním a kvocient podle vztah ekvivalence k objektům libovolně kategorie. Jedná se o kategorickou konstrukci dvojí do ekvalizér.

Definice

A ekvalizér je colimit diagramu skládajícího se ze dvou objektů X a Y a dva paralelní morfismy F, G : X → Y.

Přesněji řečeno, coequalizer lze definovat jako objekt Q spolu s morfismem q : Y → Q takhle q ∘ F = q ∘ G. Navíc dvojice (Q, q) musí být univerzální v tom smyslu, že daný jakýkoli jiný takový pár (Q′, q′) Existuje jedinečný morfismus u : Q → QTakové u ∘ q = q′. Tyto informace lze zachytit následujícím způsobem komutativní diagram:

Jako u všech univerzální konstrukce, pokud je ekvalizér jedinečný, je jedinečný až do unikátní izomorfismus (to je důvod, proč se při zneužívání jazyka někdy mluví o "" ekvalizéru dvou paralelních šipek).

Je možné ukázat, že je to ekvalizér q je epimorfismus v jakékoli kategorii.

Příklady

• V kategorie sad, ekvalizér dvou funkce F, G : X → Y je kvocient z Y nejmenší vztah ekvivalence ${ displaystyle sim}$ tak, že pro každého ${ displaystyle x v X}$, my máme ${ displaystyle f (x) sim g (x)}$.^[1] Zejména pokud R je vztah ekvivalence na množině Y, a r₁, r₂ jsou přirozené projekce (R ⊂ Y × Y) → Y pak ekvalizér r₁ a r₂ je množina kvocientu Y/R. (Viz také: kvocient vztahem ekvivalence.)
• Kokvalizér v kategorie skupin je velmi podobný. Tady pokud F, G : X → Y jsou skupinové homomorfismy, jejich ekvalizér je kvocient z Y podle normální uzavření sady

${ displaystyle S = {f (x) g (x) ^ {- 1} střední x v X }}$

• Pro abelianské skupiny ekvalizér je obzvláště jednoduchý. Je to jen skupina faktorů Y / im (F – G). (To je koksovna morfismu F – G; viz další část).
• V kategorie topologických prostorů, kruhový objekt ${ displaystyle S ^ {1}}$ lze nahlížet jako na ekvalizér dvou inkluzních map ze standardního 0-simplexního na standardní 1-simplexní.
• Koekvalizátory mohou být velké: Jsou přesně dva funktory z kategorie 1 s jedním objektem a jednou šipkou identity do kategorie 2 se dvěma objekty a jednou šipkou neidentity mezi nimi. Kokvalizátor těchto dvou funktorů je monoidní z přirozená čísla navíc se považuje za kategorii jednoho objektu. Zejména to ukazuje, že zatímco každá koekvalizující šipka je epické, to není nutně surjektivní.

Vlastnosti

• Každý ekvalizér je epimorfismus.
• V topos, každý epimorfismus je coequalizer jeho dvojice jader.

Speciální případy

V kategoriích s nulové morfismy, lze definovat a koksovna morfismu F jako ekvalizér F a paralelní nulový morfismus.

v předem připravené kategorie má smysl sčítat a odečítat morfismy ( hom-sady vlastně forma abelianské skupiny ). V takových kategoriích lze definovat kokvalizér dvou morfismů F a G jako jádro jejich rozdílu:

coeq (F, G) = koksovatel (G – F).

Silnější představa je o absolutní ekvalizér, jedná se o ekvalizér, který je zachován pod všemi funktory. Absolutní ekvalizér dvojice paralelních šipek F, G : X → Y v kategorii C je coequalizer, jak je definováno výše, ale s přidanou vlastností, která dala jakýkoli funktor F: C → D, F(Q) dohromady s F(q) je ekvalizér F(F) a F(G) v kategorii D. Rozdělit ekvalizéry jsou příklady absolutních ekvalizérů.

Viz také

• Koprodukt
• Vystrčit

Poznámky

Reference

• Saunders Mac Lane: Kategorie pro Working Mathematician, Druhé vydání, 1998.
• Kokvalizéry - strana 65
• Absolutní ekvalizéry - strana 149

externí odkazy

• Interaktivní webová stránka který generuje příklady ekvalizérů v kategorii konečných množin. Napsáno Jocelyn Paine.