Zjednodušené předpětí - Simplicial presheaf

V matematice, konkrétněji v teorie homotopy, a simplefic presheaf je předheaf na stránky (např kategorie z topologické prostory ) přičemž hodnoty v jednoduché sady (tj. a kontravariantní funktor ze stránky do kategorie zjednodušených sad). Ekvivalentně je zjednodušený presheaf zjednodušeným objektem v kategorii presheaves na webu. Pojem představil A. Joyal v 70. letech.^[1] Podobně, a jednoduchý svazek na webu je a zjednodušený objekt v kategorii snopy Na stránce.^[2]

Příklad: Zvažte stránka étale systému S. Každý U na webu představuje presheaf ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, U)}$. Tak, a zjednodušené schéma, zjednodušený objekt na webu, představuje zjednodušený presheaf (ve skutečnosti často zjednodušený svazek).

Příklad: Let G být presheaf groupoidů. Pak brát nervy po částech se získá zjednodušený presheaf ${ displaystyle BG}$. Například by se dalo nastavit ${ displaystyle B operatorname {GL} = varinjlim B operatorname {GL_ {n}}}$. Tyto typy příkladů se objevují v K-teorii.

Li ${ displaystyle f: X až Y}$ je lokální slabá ekvivalence zjednodušených předskoků, pak indukovaná mapa ${ displaystyle mathbb {Z} f: mathbb {Z} X až mathbb {Z} Y}$ je také lokální slabá ekvivalence.

Homotopické snopy jednoduchého předsporu

Nechat F být zjednodušeným presheem na webu. The homotopy snopy ${ displaystyle pi _ {*} F}$ z F je definována následovně. Pro všechny ${ displaystyle f: X až Y}$ na webu a 0-simplex s v F(X), nastavit ${ displaystyle ( pi _ {0} ^ { text {pr}} F) (X) = pi _ {0} (F (X))}$ a ${ displaystyle ( pi _ {i} ^ { text {pr}} (F, s)) (f) = pi _ {i} (F (Y), f ^ {*} (s))}$. Poté jsme nastavili ${ displaystyle pi _ {i} F}$ být snopem spojeným s pre-snopem ${ displaystyle pi _ {i} ^ { text {pr}} F}$.

Modelové struktury

Kategorie jednoduchých předskoků na webu připouští mnoho různých modelové struktury.

Některé z nich lze získat prohlížením jednoduchých předskoků jako funktorů

${ displaystyle S ^ {op} to Delta ^ {op} sady}$

Kategorie takových funktorů je vybavena (alespoň) třemi modelovými strukturami, a to projektivní, Reedyovou a injektivní modelovou strukturou. Slabé ekvivalence / fibrace v první jsou mapy

${ displaystyle { mathcal {F}} do { mathcal {G}}}$

takhle

${ displaystyle { mathcal {F}} (U) až { mathcal {G}} (U)}$

je slabá ekvivalence / fibrace jednoduchých množin pro všechny U na webu S. Struktura injektivního modelu je podobná, ale místo toho se slabými ekvivalencemi a kofibracemi.

Zásobník

Zjednodušený presheaf F na webu se nazývá stack, pokud vůbec X a jakékoli hyperkrytí H →X, kanonická mapa

${ displaystyle F (X) to operatorname {holim} F (H_ {n})}$

je slabá rovnocennost jako zjednodušené množiny, kde právo je limit homotopy z

${ displaystyle [n] = {0,1, tečky, n } mapsto F (H_ {n})}$.

Jakýkoli svazek F na webu lze prohlížením považovat za hromádku ${ displaystyle F (X)}$ jako konstantní zjednodušená množina; tímto způsobem je kategorie kladek na webu zahrnuta jako podkategorie do kategorie homotopy jednoduchých předsazenek na webu. Funktor zařazení má adjungovaný vlevo a to je přesně ${ displaystyle F mapsto pi _ {0} F}$.

Li A je svazek abelianské skupiny (na stejném místě), pak definujeme ${ displaystyle K (A, 1)}$ provedením klasifikace prostorové konstrukce (koncept vychází z teorie obstrukce ) a nastavit ${ displaystyle K (A, i) = K (K (A, i-1), 1)}$. Lze ukázat (indukcí): pro všechny X na webu,

${ displaystyle operatorname {H} ^ {i} (X; A) = [X, K (A, i)]}$

kde levá označuje svazek cohomologie a pravá třída homotopy map.

Viz také

• kubická sada
• N-skupina (teorie kategorie)

Poznámky

Další čtení

• Konrad Voelkel, Modelové struktury na jednoduchých předvoleb

Reference

• Jardine, J.F. (2004). "Obecné kohomologické teorie svazků". V Greenlees, J. P. C. (ed.). Axiomatická, obohacená a motivovaná teorie homotopy. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Cambridge, UK, 9-20 September 2002. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 131. Dordrecht: Kluwer Academic. str. 29–68. ISBN  1-4020-1833-9. Zbl  1063.55004.
• Jardine, J.F. (2007). „Simplicial presheaves“ (PDF).
• B. Toën, Zjednodušené předpětí a odvozená algebraická geometrie

externí odkazy

• Domovská stránka J.F.Jardine