Cofibration - Cofibration

v matematika, zejména teorie homotopy, a průběžné mapování

${ displaystyle i dvojtečka A až X}$,

kde A a X jsou topologické prostory, je cofibration pokud vyhovuje vlastnost rozšíření homotopy s ohledem na všechny prostory Y. Tato definice je dvojí k definici a fibrace, který je vyžadován k uspokojení homotopy zvedací vlastnost s ohledem na všechny prostory. Tato dualita se neformálně označuje jako Dualita Eckmann – Hilton.

Obecnější pojem cofibration je vyvinut v teorii modelové kategorie.

Základní věty

• Pro Hausdorffovy prostory, každá kofibrace je uzavřená inkluze (injektivní s uzavřeným obrazem); výsledek také zobecňuje na slabé Hausdorffovy prostory.
• The vystrčit cofibration je cofibration. To je, pokud ${ displaystyle g dvojtečka A až B}$ je libovolná (spojitá) mapa (mezi kompaktně generovanými mezerami) a ${ displaystyle i dvojtečka A až X}$ je kofibrace, pak indukovaná mapa ${ displaystyle B to B cup _ {g} X}$ je kofibrace.
• The mapovací válec lze chápat jako vytlačování ${ displaystyle i dvojtečka A až X}$ a vložení (na jednom konci jednotkového intervalu) ${ displaystyle i_ {0} dvojtečka A až A krát I}$. To znamená, že mapovací válec může být definován jako ${ displaystyle Mi = X cup _ {i} (A krát I)}$. Podle univerzální vlastnictví útěku, ${ displaystyle i}$ je kofibrace přesně tehdy, když lze mapovací válec zkonstruovat pro každý prostor X.
• Každá mapa může být nahrazena kofibrací přes mapovací válec konstrukce. To znamená vzhledem k libovolné (spojité) mapě ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ (mezi kompaktně generovanými mezerami), jeden definuje mapovací válec

${ displaystyle Mf = Y pohár _ {f} (X krát I)}$.

Jeden se pak rozloží ${ displaystyle f}$ do kompozitu kofibrace a homotopická ekvivalence. To znamená ${ displaystyle f}$ lze zapsat jako mapu

${ displaystyle X { xrightarrow {j}} Mf { xrightarrow {r}} Y}$

s ${ displaystyle f = rj}$, když ${ displaystyle j tlustý x mapsto (x, 0)}$ je zahrnutí a ${ displaystyle r dvojtečka y mapa$ na ${ displaystyle Y}$ a ${ displaystyle r dvojtečka (x, s) mapsto f (x)}$ na ${ displaystyle X times I}$.

• Existuje kofibrace (A, X), a to pouze v případě, že existuje odvolání z ${ displaystyle X times I}$ na ${ displaystyle (A krát I) pohár (X krát {0 })}$, protože toto je vystrčit a tak indukuje mapy do každého prostoru, který je v diagramu citlivý.
• Podobné ekvivalence lze uvést pro páry deformace a zatažení a pro sousední páry deformace a zatažení.

Příklady

• Kofibrace jsou zachovány pod tlakem a složením, jak je patrné z definice pomocí pronásledování diagramů.
• Často používaným faktem je, že buněčná inkluze je kofibrace (tedy například pokud ${ displaystyle (X, A)}$ je tedy pár CW ${ displaystyle A až X}$ je kofibrace). To vyplývá z předchozí skutečnosti od té doby ${ displaystyle S ^ {n-1} až D ^ {n}}$ je spolufinancování pro každého ${ displaystyle n}$a pushouty jsou mapy lepení na ${ displaystyle n-1}$ kostra.

Diskuse

The homotopy colimit zobecňuje pojem kofibrace.

Reference

• Peter May, „Stručný kurz algebraické topologie“ : Kapitola 6 definuje a popisuje kofibrace a jsou používány v celém textu
• Ronald Brown, „Topologie a grupoidy“ ; Kapitola 7 má název „Cofibrations“ a mnoho výsledků jinde nenalezeno.