Vyšší dimenzionální algebra - Higher-dimensional algebra - Wikipedia

v matematika, zvláště (vyšší ) teorie kategorií, výšková algebra je studium kategorizováno struktur. Má aplikace v nonabelian algebraická topologie a zobecňuje abstraktní algebra.

Kategorie vyšších dimenzí

Prvním krokem k definování vyšších dimenzionálních algeber je koncept 2-kategorie z teorie vyšších kategorií, následovaný více „geometrickým“ konceptem dvojitá kategorie.^[1][2]

Koncept vyšší úrovně je tedy definován jako kategorie kategorie nebo superkategorie, která zobecňuje pojem vyšších dimenzí kategorie - považováno za jakoukoli strukturu, která je výkladem Lawvere axiomy elementární teorie abstraktních kategorií (ETAC).^[3][4] Ll.

,^[5][6] Tedy superkategorie a také a superkategorie, lze považovat za přirozené rozšíření pojmů meta-kategorie,^[7] více kategorií, a multi-graf, k-částový graf nebo barevný graf (vidět barevná postava, a také jeho definice v teorie grafů ).

Superkategorie byly poprvé představeny v roce 1970,^[8] a následně byly vyvinuty pro aplikace v teoretická fyzika (zvláště kvantová teorie pole a topologická kvantová teorie pole ) a matematická biologie nebo matematická biofyzika.^[9]

Jiné cesty ve vyšší dimenzionální algebře zahrnují: dvoukategorií, homomorfismy dvoukategorií, proměnné kategorie (aka, indexované nebo parametrizované kategorie ), topoi, efektivní sestup, a obohacený a vnitřní kategorie.

Dvojité grupoidy

v výšková algebra (HDA), a dvojitý groupoid je zobecnění jednorozměrného grupoid do dvou dimenzí,^[10] a druhý grupoid lze považovat za zvláštní případ kategorie se všemi invertibilními šipkami, nebo morfismy.

Dvojité grupoidy se často používají k zachycení informací o geometrický předměty jako výškové rozdělovače (nebo n-dimenzionální potrubí ).^[11] Obecně platí, že n-rozměrné potrubí je prostor, který místně vypadá jako n-dimenzionální euklidovský prostor, ale jehož globální struktura může být neeuklidovský.

Dvojité grupoidy poprvé představil Ronald Brown v roce 1976, v ref.^[11] a byly dále vyvíjeny směrem k aplikacím v nonabelian algebraická topologie.^{[12][13][14][15]} Souvisejícím „dvojitým“ konceptem je koncept dvojího algebroid a obecnější pojem R-algebroid.

Nonabelianská algebraická topologie

Vidět Nonabelianská algebraická topologie

Aplikace

Teoretická fyzika

v kvantová teorie pole, existují kvantové kategorie.^[16][17][18] a kvantové dvojité grupoidy.^[19] Lze považovat kvantové dvojité grupoidy za základní grupoidy definováno pomocí a 2 funktor, což umožňuje přemýšlet o fyzicky zajímavém případě kvantové základní grupoidy (QFG), pokud jde o dvoukategorie Span (grupoidy), a pak sestavení 2-Hilbertovy prostory a 2-lineární mapy pro potrubí a cobordismů. V dalším kroku jeden získá cobordismů s rohy přes přirozené transformace takových 2 funktorů. Poté byla podána žádost, že s měřicí skupina SU (2), "prodloužený TQFT, nebo ETQFT, dává teorii ekvivalentní s Model Ponzano – Regge z kvantová gravitace ";^[19] podobně Turaev – Viro model by pak byly získány s reprezentace SU_q(2). Proto lze popsat státní prostor teorie měřidla - nebo mnoho druhů kvantové teorie pole (QFT) a místní kvantová fyzika, pokud jde o transformační grupoidy dáno symetriemi, jako například v případě teorie měřidla, číslem transformace měřidla jedná o státy, které jsou v tomto případě spojením. V případě symetrií souvisejících s kvantové skupiny, dalo by se získat struktury, které jsou reprezentativními kategoriemi kvantové grupoidy,^[16] místo 2vektorové prostory což jsou kategorie zastoupení grupoidů.

Viz také

• Časová osa teorie kategorií a související matematiky
• Teorie vyšších kategorií
• Ronald Brown
• Lež algebroid
• Dvojitý grupoid
• Anabelian geometrie
• Nekomutativní geometrie
• Kategorická algebra
• Grothendieckova Galoisova teorie
• Grothendieckova topologie
• Topologická dynamika
• Kategorická dynamika
• Překřížený modul
• Pseudoalgebra
• Oblasti použití v kvantové fyzice:
  • Kvantová algebraická topologie
  • Kvantová geometrie
  • Kvantová gravitace
  • Kvantová skupina
  • Topologická kvantová teorie pole
  • Místní kvantová teorie pole

Poznámky

Další čtení

• Brown, R .; Higgins, P.J .; Sivera, R. (2011). Nonabelianská algebraická topologie: filtrované prostory, zkřížené komplexy, kubické homotopy grupoidy. Tracts Vol 15. Evropská matematická společnost. arXiv:matematika / 0407275. doi:10.4171/083. ISBN  978-3-03719-083-8. (K dispozici ke stažení PDF )
• Brown, R .; Spencer, C. B. (1976). "Dvojité grupoidy a zkřížené moduly". Cahiers Top. Géom. Rozdíl. 17: 343–362.
• Brown, R .; Mosa, G.H. (1999). Msgstr "Dvojité kategorie, tenké struktury a spojení". Teorie a aplikace kategorií. 5: 163–175.
• Brown, R. (2002). Kategorické struktury pro teorii sestupu a galois. Fields Institute.
• Brown, R. (1987). „Od skupin k skupinovým: krátký průzkum“ (PDF). Bulletin of London Mathematical Society. 19 (2): 113–134. CiteSeerX  10.1.1.363.1859. doi:10.1112 / blms / 19.2.113. hdl:10338.dmlcz / 140413. To dává některé z historie grupoidů, jmenovitě počátky v práci Heinrich Brandt o kvadratických formách a údaj o pozdější práci do roku 1987 se 160 odkazy.
• Brown, R. "Vyšší dimenzionální teorie grup".. Webový článek s mnoha odkazy vysvětlujícími, jak koncept grupoidů vedl k představám o vícerozměrných grupoidech, které nejsou k dispozici v teorii skupin, s aplikacemi v teorii homotopy a ve skupinové kohomologii.
• Brown, R .; Higgins, P.J. (1981). "Na algebře kostek". Journal of Pure and Applied Algebra. 21 (3): 233–260. doi:10.1016/0022-4049(81)90018-9.
• Mackenzie, K.C.H. (2005). Obecná teorie Lieových grupoidů a Lieových algebroidů. Cambridge University Press. Archivovány od originál dne 10.03.2005.
• R., Brown (2006). Topologie a grupoidy. Knihkupectví. ISBN  978-1-4196-2722-4. Revidované a rozšířené vydání knihy dříve vydané v letech 1968 a 1988. E-verze k dispozici na webových stránkách.
• Borceux, F .; Janelidze, G. (2001). Galoisovy teorie. Cambridge University Press. Archivovány od originál dne 2012-12-23. Ukazuje, jak zobecnění Galoisova teorie vést k Galoisovy grupoidy.
• Baez, J .; Dolan, J. (1998). „Vyšší dimenzionální algebra III. n- Kategorie a algebra opetopů ". Pokroky v matematice. 135 (2): 145–206. arXiv:q-alg / 9702014. Bibcode:1997q.alg ..... 2014B. doi:10.1006 / aima.1997.1695.
• Baianu, I.C. (1970). „Organismic Supercategories: II. On Multistable Systems“ (PDF). Bulletin of Mathematical Biofhysics. 32 (4): 539–61. doi:10.1007 / BF02476770. PMID  4327361. Externí odkaz v | deník = (Pomoc)
• Baianu, I.C .; Marinescu, M. (1974). „O funkční konstrukci (M, R) -Systémy “. Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. 19: 388–391.
• Baianu, I.C. (1987). „Počítačové modely a teorie automatů v biologii a medicíně“. V M. Witten (ed.). Matematické modely v medicíně. 7. Pergamon Press. str. 1513–1577. CERN Předtisk Č. EXT-2004-072. JAKO V  0080346928 JAKO V  0080346928.
• „Homeropy Homeropy @ PlanetPhysics“. Archivovány od originál dne 13. 8. 2009.
• George Janelidze, teorie Pure Galois v kategoriích, J. Alg. 132: 270–286, 1990.
• Janelidze, George (1993). "Galoisova teorie v proměnných kategoriích". Aplikované kategorické struktury. 1: 103–110. doi:10.1007 / BF00872989..