Věta o hustotě (teorie kategorie) - Density theorem (category theory) - Wikipedia

v teorie kategorií, obor matematiky, věta o hustotě uvádí, že každý předsádka sad je colimit z reprezentativní presheeave kanonickým způsobem.^[1]

Například podle definice a zjednodušená sada je presheaf kategorie simplex Δ a reprezentativní zjednodušená množina je přesně ve tvaru ${ displaystyle Delta ^ {n} = operatorname {Hom} (-, [n])}$ (nazývá se standardem n-simplex), takže věta říká: pro každou zjednodušenou množinu X,

${ displaystyle X simeq varinjlim Delta ^ {n}}$

kde colim běží nad kategorií indexu určenou X.

Tvrzení

Nechat F být předsedou určité kategorie C; tj. předmět kategorie funktorů ${ displaystyle { widehat {C}} = mathbf {Fct} (C ^ { text {op}}, mathbf {Set})}$. U kategorie indexů, nad nimiž bude kolimit běžet, dovolte Já být kategorie prvků z F: je to kategorie, kde

1. objekt je pár ${ displaystyle (U, x)}$ skládající se z objektu U v C a prvek ${ displaystyle x ve F (U)}$,
2. morfismus ${ displaystyle (U, x) až (V, y)}$ se skládá z morfismu ${ displaystyle u: U až V}$ v C takhle ${ displaystyle (Fu) (y) = x.}$

Přichází se zapomnětlivým funktorem ${ displaystyle p: I to C}$.

Pak F je kolimitem diagram (tj. funktor)

${ displaystyle I { overset {p} { to}} C to { widehat {C}}}$

kde druhá šipka je Yoneda vkládání: ${ displaystyle U mapsto h_ {U} = operatorname {Hom} (-, U)}$.

Důkaz

Nechat F označte výše uvedený diagram. Ukázat kolimitu F je F, musíme ukázat: pro každé předspěchadlo G na C, existuje přirozená bijekce:

${ displaystyle operatorname {Hom} _ { widehat {C}} (F, G) simeq operatorname {Hom} (f, Delta _ {G})}$

kde ${ displaystyle Delta _ {G}}$ je konstantní funktor s hodnotou G a Hom napravo znamená soubor přirozených transformací. Důvodem je, že univerzální vlastnost kolimitu se říká ${ displaystyle varinjlim -}$ je levý adjoint k diagonálnímu funktoru ${ displaystyle Delta _ {-}.}$

Za tímto účelem, pojďme ${ displaystyle alpha: f to Delta _ {G}}$ být přirozenou transformací. Je to rodina morfismů indexovaných objekty v Já:

${ displaystyle alpha _ {U, x}: f (U, x) = h_ {U} až Delta _ {G} (U, x) = G}$

který splňuje vlastnost: pro každý morfismus ${ displaystyle (U, x) až (V, y), u: U až V}$ v Já, ${ displaystyle alpha _ {V, y} circ h_ {u} = alpha _ {U, x}}$(od té doby ${ displaystyle f ((U, x) až (V, y)) = h_ {u}.}$)

Lemma Yoneda říká, že existuje přirozená bijekce ${ displaystyle G (U) simeq operatorname {Hom} (h_ {U}, G)}$. V rámci této bijekce ${ displaystyle alpha _ {U, x}}$ odpovídá jedinečnému prvku ${ displaystyle g_ {U, x} v G (U)}$. My máme:

${ displaystyle (Gu) (g_ {V, y}) = g_ {U, x}}$

protože podle lemmatu Yoneda, ${ displaystyle Gu: G (V) až G (U)}$ odpovídá ${ displaystyle - circ h_ {u}: operatorname {Hom} (h_ {V}, G) to operatorname {Hom} (h_ {U}, G).}$

Nyní pro každý objekt U v C, nechť ${ displaystyle theta _ {U}: F (U) až G (U)}$ být funkcí danou ${ displaystyle theta _ {U} (x) = g_ {U, x}}$. To určuje přirozenou transformaci ${ displaystyle theta: F až G}$; skutečně pro každý morfismus ${ displaystyle (U, x) až (V, y), u: U až V}$ v Já, my máme:

${ displaystyle (Gu circ theta _ {V}) (y) = (Gu) (g_ {V, y}) = g_ {U, x} = ( theta _ {U} circ Fu) (y ),}$

od té doby ${ displaystyle (Fu) (y) = x}$. Je zřejmé, že konstrukce ${ displaystyle alpha mapsto theta}$ je reverzibilní. Proto, ${ displaystyle alpha mapsto theta}$ je nezbytná přirozená bijekce.

Poznámky

Reference

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (2. vyd.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)