Pushout (teorie kategorií) - Pushout (category theory) - Wikipedia

v teorie kategorií, pobočka matematika, a vystrčit (také nazývaný a vláknitý koprodukt nebo vláknitá suma nebo kokartézské náměstí nebo sloučená částka) je colimit a diagram skládající se ze dvou morfismy F : Z → X a G : Z → Y se společným doména. Pushout se skládá z objekt P spolu se dvěma morfismy X → P a Y → P které dokončují a komutativní čtverec se dvěma danými morfismy F a G. Ve skutečnosti definování univerzální vlastnictví tlačení (níže uvedené) v zásadě říká, že tlačení je „nejobecnějším“ způsobem k dokončení tohoto komutativního čtverce. Běžné notace pro prosazení jsou ${ displaystyle P = X sqcup _ {Z} Y}$ a ${ displaystyle P = X + _ {Z} Y}$.

Pushout je kategorický duální z zarazit.

Univerzální vlastnictví

Explicitně, vytlačování morfismů F a G sestává z objektu P a dva morfismy i₁ : X → P a i₂ : Y → P takový, že diagram

dojíždí a takové, že (P, i₁, i₂) je univerzální s ohledem na tento diagram. To znamená pro jakoukoli jinou takovou sadu (Q, j₁, j₂) pro které následující diagram dojíždí, musí existovat jedinečný u : P → Q také dojíždění diagramu:

Stejně jako u všech univerzálních konstrukcí je tlačení, pokud existuje, jedinečné až po jedinečné izomorfismus.

Příklady prosakování

Zde je několik příkladů prosakování v povědomí Kategorie. Všimněte si, že v každém případě poskytujeme pouze konstrukci objektu ve třídě izomorfismu pushoutů; jak bylo uvedeno výše, i když mohou existovat i jiné způsoby, jak to postavit, všechny jsou rovnocenné.

• Předpokládejme to X, Y, a Z jak je uvedeno výše sady, a to F : Z → X a G : Z → Y jsou nastavené funkce. Prosazování F a G je disjunktní unie z X a Y, kde prvky sdílející společné preimage (v Z) jsou identifikovány spolu s morfismy i₁, i₂ z X a Y, tj. ${ displaystyle P = left (X coprod Y right) { Big /} sim }$ kde ~ je nejlepší ekvivalenční vztah (srov. také tento ) takové, že F(z) ~ G(z) pro všechny z v Z. Zejména pokud X a Y jsou podmnožiny nějaké větší sady Ž a Z je jejich průsečík, s F a G mapy začlenění Z do X a Y, pak lze tlačení kanonicky identifikovat pomocí svaz ${ displaystyle X cup Y subseteq W}$.
• Stavba adjunkční prostory je příkladem prosakování v kategorie topologických prostorů. Přesněji řečeno, pokud Z je podprostor z Y a G : Z → Y je mapa zařazení můžeme "lepit" Y do jiného prostoru X podél Z pomocí „připojovací mapy“ F : Z → X. Výsledkem je adjunkční prostor ${ displaystyle X cup _ {f} Y}$, což je jen prosazování F a G. Obecněji lze všechny identifikační prostory tímto způsobem považovat za přesuny.
• Zvláštní případ výše uvedeného je klínový součet nebo jednobodová unie; tady bereme X a Y být špičaté mezery a Z jednobodový prostor. Pak je prosakování ${ displaystyle X vee Y}$, prostor získaný lepením základního bodu X do základního bodu Y.
• V kategorie abelianských skupin, tlaky lze považovat za „přímý součet s lepením „stejným způsobem uvažujeme o adjunkčních prostorech jako“disjunktní unie s lepením " nulová skupina je podskupina ze všech skupina, takže pro všechny abelianské skupiny A a B, my máme homomorfismy ${ displaystyle f: 0 na A}$ a ${ displaystyle g: 0 až B}$. Vyřazení těchto map je přímým součtem A a B. Zobecnění pro případ, kdy F a G jsou libovolné homomorfismy ze společné domény Z, jeden získá za vyřazení a kvocientová skupina přímé částky; jmenovitě my mod out podskupinou sestávající z párů (F(z), −G(z)). Takto jsme se „přilepili“ k obrázkům Z pod F a G. Podobný přístup vede k převratu v EU kategorie R- moduly pro všechny prsten R.
• V kategorie skupin, pushout se nazývá bezplatný produkt se sloučením. Ukazuje se v Věta Seifert – van Kampen z algebraická topologie (viz. níže).
• v CRing, kategorie komutativní prsteny (A celá podkategorie z kategorie prstenů ), námitka je dána tenzorový produkt prstenů ${ displaystyle A otimes _ {C} B}$ s morfismy ${ displaystyle g ': A rightarrow A otimes _ {C} B}$ a ${ displaystyle f ': B rightarrow A otimes _ {C} B}$ které uspokojí ${ displaystyle f ' circ g = g' circ f}$. Ve skutečnosti, protože prosazování je colimit a rozpětí a zarazit je limit a cospan, můžeme myslet na tenzorový součin prstenů a vláknitý výrobek z kroužků (viz část příklady) jako vzájemné dvojí představy. Zejména nechte A, B, a C být objekty (komutativní prsteny s identitou) v CRing a nechte F : C → A a G : C → B být morfismy (kruhové homomorfismy ) v CRing. Pak je tenzorový produkt:

${ displaystyle A otimes _ {C} B = left { sum _ {i in I} (a_ {i}, b_ {i}) ; { big |} ; a_ {i} v A, b_ {i} v B vpravo } { Bigg /} { bigg langle} (f (c) a, b) - (a, g (c) b) ; { big | } ; a v A, b v B, c v C { bigg rangle}}$

• Vidět Zdarma produkt asociativních algeber pro případ nekomutativních prstenů.
• V multiplikaci monoidní pozitivní celá čísla ${ displaystyle mathbf {Z} _ {+}}$, považovaná za kategorii s jedním objektem, vytlačování dvou kladných celých čísel m a n je jen pár ${ displaystyle left ({ frac { operatorname {lcm} (m, n)} {m}}, { frac { operatorname {lcm} (m, n)} {n}} vpravo)}$, kde čitateli jsou oba nejmenší společný násobek z m a n. Všimněte si, že stejný pár je také pullback.

Vlastnosti

• Kdykoli se do toho pustíte A ⊔_C B tedy existuje B ⊔_C A existuje také a existuje přirozený izomorfismus A ∪_C B ≅ B ∪_C A.
• V abelianská kategorie všechny tlaky existují a zachovávají se jádra v následujícím smyslu: if (P, i₁, i₂) je prosazování F : Z → X a G : Z → Y, pak přírodní koks na mapu (F) → koksovatel (i₂) je izomorfismus, stejně jako přirozený koks na mapu (G) → koksovatel (i₁).
• Existuje přirozený izomorfismus (A ⊔_C B) ⊔_B D ≅ A ⊔_C D. Výslovně to znamená:
  • pokud mapy F : C → A, G : C → B a h : B → D jsou uvedeny a
  • tlačení na F a G darováno i : A → P a j : B → P, a
  • tlačení na j a h darováno k : P → Q a l : D → Q,
  • pak prosazování F a hg darováno ki : A → Q a l : D → Q.

Graficky to znamená, že dva pushout čtverce, umístěné vedle sebe a sdílející jeden morfismus, tvoří větší ignorující čtverec, když ignorují vnitřní sdílený morfismus.

Konstrukce pomocí koproduktů a ekvalizérů

Pushouty jsou ekvivalentní k koprodukty a ekvalizéry (pokud existuje počáteční objekt ) V tom smyslu, že:

• Koprodukty jsou výtryskem z počátečního objektu a kokvalizérem F, G : X → Y je prosazování [F, G] a [1_X, 1_X], takže pokud existují tlaky (a počáteční objekt), pak existují kokvalizátory a koprodukty;
• Pushouty mohou být konstruovány z koproduktů a koekvalizátorů, jak je popsáno níže (pushout je koekvalizátor map na koprodukt).

Všechny výše uvedené příklady lze považovat za zvláštní případy následující velmi obecné konstrukce, která funguje v jakékoli kategorii C uspokojující:

• Pro všechny objekty A a B z C, jejich koprodukt existuje v C;
• Pro všechny morfismy j a k z C se stejnou doménou a cílem, ekvalizérem j a k existuje v C.

V tomto nastavení získáme nápor morfismů F : Z → X a G : Z → Y nejprve vytvořením koproduktu cílů X a Y. Pak máme dva morfismy z Z k tomuto koproduktu. Můžeme buď jít z Z na X přes F, pak zahrnout do koproduktu, nebo můžeme jít od Z na Y přes G, pak zahrnout. Prosazování F a G je ekvalizér těchto nových map.

Aplikace: Seifert – van Kampenova věta

Věta Seifert – van Kampen odpovídá na následující otázku. Předpokládejme, že máme spojeno s cestou prostor X, pokryté otevřenými podprostory spojenými s cestou A a B jehož průsečík D je také spojeno s cestou. (Předpokládejme také, že základní bod * leží v průsečíku A a B.) Pokud víme základní skupiny z A, Ba jejich průnik D, můžeme obnovit základní skupinu X? Odpověď zní ano, pokud známe také indukované homomorfismy${ displaystyle pi _ {1} (D, *) až pi _ {1} (A, *)}$a${ displaystyle pi _ {1} (D, *) až pi _ {1} (B, *).}$Věta pak říká, že základní skupina X je vytlačování těchto dvou indukovaných map. Samozřejmě, X je vytlačování dvou inkluzních map z D do A a B. Můžeme tedy interpretovat teorém jako potvrzení, že funktor základní skupiny zachovává tlaky inkluzí. Můžeme očekávat, že to bude nejjednodušší, když D je jednoduše připojeno, od té doby mají oba homomorfismy výše triviální doménu. Ve skutečnosti tomu tak je, protože poté se tlak (skupin) redukuje na produkt zdarma, což je koprodukt v kategorii skupin. V nejobecnějším případě budeme hovořit o a bezplatný produkt se sloučením.

Toto je podrobná expozice v trochu obecnějším nastavení (krytina grupoidy ) v knize J. P. Maye uvedené v odkazech.

Reference

• May, J. P. Stručný kurz algebraické topologie. University of Chicago Press, 1999.

  Úvod do kategorických přístupů k algebraické topologii: důraz je kladen na algebru a předpokládá topologické pozadí.

• Ronald Brown "Topologie a grupoidy" pdf available Poskytuje popis některých kategorických metod v topologii, použijte základní grupoid na množině základních bodů k zobecnění věty Seifert-van Kampen.

• Philip J. Higgins, "Kategorie a grupoidy" ke stažení zdarma Vysvětluje některá použití grupoidů v teorii a topologii grup.

externí odkazy

• posun v nLab