Počáteční a terminálové objekty - Initial and terminal objects
v teorie kategorií, pobočka matematika, an počáteční objekt a kategorie C je objekt Já v C tak, že pro každý objekt X v C, existuje přesně jeden morfismus Já → X.
The dvojí představa je, že koncový objekt (také zvaný koncový prvek): T je terminál, pokud pro každý objekt X v C existuje přesně jeden morfismus X → T. Počáteční objekty se také nazývají svorka nebo univerzálnía jsou také nazývány terminálové objekty finále.
Pokud je objekt počáteční i terminální, nazývá se a nulový objekt nebo nulový objekt. A špičatá kategorie je jedna s nulovým objektem.
A přísný počáteční objekt Já je jeden, pro který každý morfismus do Já je izomorfismus.
Příklady
- The prázdná sada je jedinečný počáteční objekt v Soubor, kategorie sad. Každá sada s jedním prvkem (jedináček ) je koncový objekt v této kategorii; neexistují žádné nulové objekty. Podobně prázdné místo je jedinečný počáteční objekt v Horní, kategorie topologických prostorů a každý jednobodový prostor je terminálním objektem v této kategorii.
- V kategorii Rel množin a vztahů je prázdná množina jedinečným počátečním objektem, jedinečným koncovým objektem, a tedy jedinečným nulovým objektem.
- V kategorii špičaté sady (jejichž objekty jsou neprázdné množiny spolu s rozlišujícím prvkem; morfismus z (A, A) na (B, b) být funkcí F : A → B s F(A) = b), každý singleton je nulový objekt. Podobně v kategorii špičaté topologické prostory, každý singleton je nulový objekt.
- v Grp, kategorie skupin, jakýkoli triviální skupina je nulový objekt. Triviální algebra je také nulovým objektem Ab, kategorie abelianských skupin, Rng the kategorie pseudokroužků, R-Mod, kategorie modulů přes prsten a K.-Vect, kategorie vektorových prostorů přes pole. Vidět nulový objekt (algebra) pro detaily. To je původ pojmu „nulový objekt“.
- v Prsten, kategorie prstenů s jednotou a morfismem zachovávajícím jednotu, prstenem celá čísla Z je počáteční objekt. The nulový prsten skládající se pouze z jediného prvku 0 = 1 je objekt terminálu.
- v Rigkategorie soupravy s jednotou a morfismem zachovávajícím jednotu, souprava přirozená čísla N je počáteční objekt. Nulová souprava, což je nulový prsten, skládající se pouze z jediného prvku 0 = 1, je objekt terminálu.
- v Pole, kategorie polí, neexistují žádné počáteční ani terminální objekty. V podkategorii polí s pevnou charakteristikou však hlavní pole je počáteční objekt.
- Žádný částečně objednaná sada (P, ≤) lze interpretovat jako kategorii: objekty jsou prvky P, a existuje jediný morfismus z X na y kdyby a jen kdyby X ≤ y. Tato kategorie má počáteční objekt právě tehdy P má nejmenší prvek; má koncový objekt právě tehdy P má největší prvek.
- Kočka, kategorie všech malých kategorií s funktory protože morfismy mají prázdnou kategorii, 0 (bez objektů a bez morfismů), jako počáteční objekt a kategorie terminálu, 1 (s jediným objektem s jediným morfismem identity), jako koncový objekt.
- V kategorii schémata, Spec (Z), prvotřídní spektrum prstence celých čísel, je koncový objekt. Prázdné schéma (stejné jako hlavní spektrum nulový prsten ) je počáteční objekt.
- A omezit a diagram F lze charakterizovat jako koncový objekt v kategorie šišek na F. Stejně tak kolimit z F lze charakterizovat jako počáteční objekt v kategorii šišek z F.
Vlastnosti
Existence a jedinečnost
Počáteční a terminálové objekty nemusí v dané kategorii existovat. Pokud však existují, jsou v zásadě jedinečné. Konkrétně pokud Já1 a Já2 jsou dva různé počáteční objekty, pak existuje jedinečný izomorfismus mezi nimi. Navíc pokud Já je počáteční objekt, pak je libovolný objekt izomorfní Já je také počátečním objektem. Totéž platí pro terminálové objekty.
Pro kompletní kategorie pro počáteční objekty existuje věta o existenci. Konkrétněmístně malý ) kompletní kategorie C má počáteční objekt právě tehdy, pokud existuje sada Já (ne A správná třída ) a an Já-indexovaná rodina (K.i) předmětů C takový, že pro jakýkoli objekt X z C, existuje alespoň jeden morfismus K.i → X pro některé i ∈ Já.
Ekvivalentní formulace
Terminálové objekty v kategorii C lze také definovat jako limity jedinečného prázdného diagram 0 → C. Protože prázdná kategorie je vakuově a diskrétní kategorie, lze terminální objekt považovat za prázdný produkt (produkt je skutečně limitem diskrétního diagramu {Xi}, obecně). Původně je počáteční objekt a colimit prázdného diagramu 0 → C a lze o něm uvažovat jako o prázdný koprodukt nebo kategorický součet.
Z toho vyplývá, že jakýkoli funktor který zachovává limity, převede terminálové objekty na terminálové objekty a jakýkoli funktor, který zachová kolimity, převezme počáteční objekty na počáteční objekty. Například počáteční objekt v libovolném konkrétní kategorie s objekty zdarma bude volný objekt generovaný prázdnou sadou (od volný funktor, bytost vlevo adjoint do zapomnětlivý funktor na Soubor, zachovává kolimity).
Počáteční a koncové objekty lze také charakterizovat z hlediska univerzální vlastnosti a adjunkční funktory. Nechat 1 být diskrétní kategorií s jediným objektem (označeno •) a nechat U : C → 1 být jedinečným (stálým) funktorem 1. Pak
- Počáteční objekt Já v C je univerzální morfismus od Pro U. Funktor, který posílá • komu Já je vlevo přidružen k U.
- Terminálový objekt T v C je univerzální morfismus z U do •. Funktor, který posílá • komu T je správně přidružen k U.
Vztah k ostatním kategoriálním konstrukcím
Mnoho přírodních konstrukcí v teorii kategorií lze formulovat z hlediska nalezení počátečního nebo koncového objektu ve vhodné kategorii.
- A univerzální morfismus z objektu X na funktora U lze definovat jako počáteční objekt v kategorie čárky (X ↓ U). Duálně univerzální morfismus z U na X je koncový objekt v (U ↓ X).
- Limit diagramu F je koncový objekt v Kužel(F), kategorie šišek na F. Dvojnásobně F je počáteční objekt v kategorii kuželů z F.
- A reprezentace funktora F na Soubor je počáteční objekt v kategorie prvků z F.
- Pojem závěrečný funktor (respektive počáteční funktor) je zobecnění pojmu konečný objekt (respektive počáteční objekt).
Další vlastnosti
- The endomorfismus monoid počátečního nebo koncového objektu Já je triviální: Konec(Já) = Hom (Já, Já) = {idJá }.
- Pokud kategorie C má nulový objekt 0, pak pro jakýkoli pár objektů X a Y v C, jedinečné složení X → 0 → Y je nulový morfismus z X na Y.
Reference
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie. Radost koček (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001.
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
- Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
- Tento článek je částečně založen na PlanetMath je článek o příkladech počátečních a koncových objektů.