Projektivní objekt - Projective object - Wikipedia

v teorie kategorií, pojem a projektivní objekt zobecňuje pojem a projektivní modul. Projektivní objekty v abelian Kategorie jsou používány v homologická algebra. The dvojí pojem projektivního objektu je pojem injekční předmět.

Definice

An objekt ${ displaystyle P}$ v kategorii ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je projektivní pokud pro nějaké epimorfismus ${ displaystyle e: E twoheadrightarrow X}$ a morfismus ${ displaystyle f: P až X}$ , existuje morfismus ${ displaystyle { overline {f}}: P až E}$ takhle ${ displaystyle e circ { overline {f}} = f}$ , tj. následující diagram dojíždí:

To znamená každý morfismus ${ displaystyle P až X}$ faktory každý epimorfismus ${ displaystyle E twoheadrightarrow X}$ .^[1]

Li C je místně malý, tj. zejména ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} (P, X)}$ je soubor pro jakýkoli objekt X v C, tato definice odpovídá podmínce, že domácí funktor (také známý jako představitelný funktor )

{ displaystyle operatorname {Hom} (P, -) dvojtečka { mathcal {C}} to mathbf {Set}}

konzervuje epimorfismus.^[2]

Projektivní objekty v abelianských kategoriích

Pokud kategorie C je abelianská kategorie, jako například kategorie abelianských skupin, pak P je projektivní právě tehdy

{ displaystyle operatorname {Hom} (P, -) dvojtečka { mathcal {C}} do mathbf {Ab}}

je přesný funktor, kde Ab je kategorie abelianské skupiny.

Abelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ se říká, že má dost projektantů pokud pro každý objekt ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , existuje projektivní objekt ${ displaystyle P}$ z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a epimorfismus z P na A nebo ekvivalentně a krátká přesná sekvence

{ displaystyle 0 až K až P longrightarrow A longrightarrow 0.}

Účelem této definice je zajistit, aby jakýkoli objekt A připouští a projektivní rozlišení, tj. (dlouhá) přesná sekvence

{ displaystyle tečky P_ {2} až P_ {1} až P_ {0} až A až 0}

kde objekty ${ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, tečky}$ jsou projektivní.

Projektivita s ohledem na omezené třídy

Semadeni (1963) pojednává o pojmu projektivní (a dvojí injektivní) objekty ve vztahu k tzv. dvoukategorii, která se skládá z dvojice podkategorií „injekcí“ a „surjekcí“ v dané kategorii C. Tyto podkategorie podléhají určitým formálním vlastnostem, včetně požadavku, aby jakékoli surjection bylo epimorfismem. Projektivní objekt (ve vztahu k pevné třídě surjekcí) je pak objekt P takže Hom (P, -) mění pevnou třídu surjekcí (na rozdíl od všech epimorfismů) na surjekce množin (v obvyklém smyslu).

Vlastnosti

The koprodukt dvou projektivních objektů je projektivní.^[3]
The zatáhnout projektivního objektu je projektivní.^[4]

Příklady

Výrok, že všechny množiny jsou projektivní, je ekvivalentní s axiom volby.

Projektivní objekty v kategorii abelianských skupin jsou bezplatné abelianské skupiny.

Nechat ${ displaystyle R}$ být prsten s identitou. Zvažte (abelianskou) kategorii ${ displaystyle R}$ -Mod vlevo ${ displaystyle R}$ - moduly. Projektivní objekty v ${ displaystyle R}$ -Mod jsou přesně projektivní levé R-moduly. Tudíž, ${ displaystyle R}$ je sám o sobě projektivním objektem ${ displaystyle R}$ -Mod. Dvojí injekční předměty ${ displaystyle R}$ -Mod jsou přesně vstřikovací levé R-moduly.

Kategorie vlevo (vpravo) ${ displaystyle R}$ -modules má také dostatek projektivů. To platí, protože pro každou levou (pravou) ${ displaystyle R}$ -modul ${ displaystyle M}$ , můžeme vzít ${ displaystyle F}$ být svobodný (a tedy projektivní) ${ displaystyle R}$ -modul generovaný generující sadou ${ displaystyle X}$ pro ${ displaystyle M}$ (můžeme ve skutečnosti vzít ${ displaystyle X}$ být ${ displaystyle M}$ ). Pak kanonická projekce ${ displaystyle pi dvojtečka F až M}$ je povinné surjection.

Projektivní objekty v kategorii kompaktní Hausdorffovy prostory jsou přesně extrémně odpojené prostory. Tento výsledek je způsoben Gleason (1958) se zjednodušeným důkazem poskytnutým Dešťová voda (1959).

V kategorii Banachovy prostory a kontrakce (tj. funkcionály, jejichž norma je nanejvýš 1), epimorfismy jsou přesně mapy s hustotou obraz. Wiweger (1969) ukazuje, že nulový prostor je jediným projektivním objektem v této kategorii. Existují však netriviální prostory, které jsou projektivní s ohledem na třídu surjektivních kontrakcí. V kategorii normované vektorové prostory s kontrakcemi (a surjektivními mapami jako „surjekce“) jsou projektivní objekty přesně tím ${ displaystyle l ^ {1}}$ -prostory.^[5]

{ displaystyle l ^ {1} (S) = {(x_ {s}) _ {s v S}, součet _ {s v S} || x_ {s} || < infty } .}

Reference

^ Awodey (2010, §2.1)
^ Mac Lane (1978, str. 118)
^ Awodey (2010, str. 72)
^ Awodey (2010, str. 33)
^ Semadeni (1963)

Awodey, Steve (2010), Teorie kategorií (2. vyd.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073
Gleason, Andrew M. (1958), „Projektivní topologické prostory“, Illinois Journal of Mathematics, 2 (4A): 482–489, doi:10.1215 / ijm / 1255454110, PAN 0121775
Mac Lane, Saunders (1978), Kategorie pro Working Mathematician (Second ed.), New York, NY: Springer New York, str. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862
Mitchell, Barry (1965). Teorie kategorií. Čistá a aplikovaná matematika. 17. Akademický tisk. ISBN 978-0-124-99250-4. PAN 0202787.
Pothoven, Kenneth (1969), „Projektivní a injektivní objekty v kategorii Banachových prostorů“, Proceedings of the American Mathematical Society, 22 (2): 437–438, doi:10.2307/2037073, JSTOR 2037073
Rainwater, John (1959), „Poznámka k projektivním řešením“, Proceedings of the American Mathematical Society, 10 (5): 734–735, doi:10.2307/2033466, JSTOR 2033466
Semadeni, Z. (1963), „Projektivita, injektivnost a dualita“, Rozprawy Mat., 36, PAN 0154832

externí odkazy

'"projektivní objekt v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-10-17.

[1] Awodey (2010, §2.1)

[2] Mac Lane (1978, str. 118)

[3] Awodey (2010, str. 72)

[4] Awodey (2010, str. 33)

[5] Semadeni (1963)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]