Filtrovaná kategorie - Filtered category
v teorie kategorií, filtrované kategorie zobecnit pojem řízená sada chápáno jako kategorie (proto se nazývá směrovaná kategorie; zatímco někteří používají směrovanou kategorii jako synonymum pro filtrovanou kategorii). Existuje dvojí představa filtrovaný kategorie, která bude uvedena níže.
Filtrované kategorie
A kategorie je filtrovaný když
- není prázdný,
- pro každé dva objekty a v existuje objekt a dvě šipky a v ,
- za každé dvě paralelní šipky v , existuje objekt a šíp takhle .
A filtrovaný kolimit je colimit a funktor kde je filtrovaná kategorie.
Filtrované kategorie
Kategorie je filtrováno, pokud opačná kategorie je filtrován. Podrobně je kategorie filtrována, když
- není prázdná
- pro každé dva objekty a v existuje objekt a dvě šipky a v ,
- za každé dvě paralelní šipky v , existuje objekt a šíp takhle .
A filtrovaný limit je omezit a funktor kde je kategorie filtrovaného filtru.
Indobjekty a proobjekty
Vzhledem k malé kategorii , a předheaf sad což je malá filtrovaná kolimita reprezentativních presheaves, se nazývá ind-objekt kategorie . Ind-objekty kategorie tvoří celou podkategorii v kategorii funktorů (předvoleb) . Kategorie pro-objektů v je opakem kategorie ind-objektů v opačné kategorii .
kategorie filtrované κ
Existuje varianta „filtrované kategorie“, známá jako „κ-filtrovaná kategorie“, definovaná následovně. Začíná to následujícím pozorováním: tři podmínky v definici filtrované kategorie výše říkají, že existuje a kokon přes jakýkoli diagram v formuláře , nebo . Existence kokonu pro tyto tři tvary diagramů ukazuje, že kokony existují žádný konečný diagram; jinými slovy kategorie je filtrováno (podle výše uvedené definice) právě tehdy, je-li nad některým kokon konečný diagram .
Rozšířením tohoto, vzhledem k pravidelnému kardinálovi κ, kategorii je definováno jako κ-filtrováno, pokud je nad každým diagramem kokon v mohutnosti menší než κ. (Malý diagram má mohutnost κ, je-li morfismus množiny její domény má mohutnost κ.)
K-filtrovaný (ko) limit je (ko) limit a funktor kde je kategorie filtrovaná κ.
Reference
- Artin, M., Grothendieck, A. a Verdier, J. L. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie (SGA 4). Lecture Notes in Mathematics 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
- Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2, oddíl IX.1.