Injekční předmět - Injective object

v matematika, zejména v oblasti teorie kategorií, pojem injekční předmět je zobecněním pojmu injekční modul. Tento koncept je důležitý v kohomologie, v teorie homotopy a v teorii modelové kategorie. Dvojí představa je a projektivní objekt.

Definice

Objekt Q je injektivní, pokud je daný monomorfismus F : X → Y, jakýkoli G : X → Q lze rozšířit na Y.

An objekt ${ displaystyle Q}$ v kategorie ${ displaystyle mathbf {C}}$ se říká, že je injekční pokud pro každého monomorfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ a každý morfismus ${ displaystyle g: X až Q}$ existuje morfismus ${ displaystyle h: Y až Q}$ prodlužování ${ displaystyle g}$ na ${ displaystyle Y}$, tj. takové, že ${ displaystyle h circ f = g}$.

Morfismus ${ displaystyle h}$ ve výše uvedené definici nemusí být jednoznačně určeno ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$.

V místně malý kategorie, je rovnocenné vyžadovat, aby domácí funktor ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathbf {C}} (-, Q)}$ nese monomorfismy ${ displaystyle mathbf {C}}$ na surjektivní nastavit mapy.

V Abelianských kategoriích

Pojem injektivity byl nejprve formulován pro abelianské kategorie, a to je stále jedna z jeho primárních oblastí použití. Když ${ displaystyle mathbf {C}}$ je abelianská kategorie, objekt Q z ${ displaystyle mathbf {C}}$ je injekční kdyby a jen kdyby své domácí funktor Hom_C(–,Q) je přesný.

Li ${ displaystyle 0 až Q až U až V až 0}$ je přesná sekvence v ${ displaystyle mathbf {C}}$ takhle Q je injekční, pak sekvence se rozdělí.

Dost injekcí a injekčních slupek

Kategorie ${ displaystyle mathbf {C}}$ říká se mít dost injekcí pokud pro každý objekt X z ${ displaystyle mathbf {C}}$, existuje monomorfismus z X k injekčnímu předmětu.

Monomorfismus G v ${ displaystyle mathbf {C}}$ se nazývá esenciální monomorfismus pokud pro jakýkoli morfismus F, kompozitní fg je monomorfismus, pouze pokud F je monomorfismus.

Li G je základní monomorfismus s doménou X a injekční codomain G, pak G se nazývá injekční trup z X. Injekční trup je pak jednoznačně určen X až do nekanonický izomorfismus.

Příklady

• V kategorii abelianské skupiny a skupinové homomorfismy, Ab, injekční předmět je nutně a dělitelná skupina. Za předpokladu axiomu výběru jsou pojmy rovnocenné.
• V kategorii (vlevo) moduly a homomorfismy modulu, R-Mod, injekční předmět je injekční modul. R-Mod má injekční trupy (jako následek, R-Mod má dostatek injekcí).
• V kategorie metrických prostorů, Se setkal, injekční předmět je injektivní metrický prostor, a injective trup metrického prostoru je jeho těsné rozpětí.
• V kategorii T₀ mezery a průběžné mapování, injekční předmět je vždy a Scottova topologie na spojitá mříž, a proto je vždy střízlivý a místně kompaktní.

Použití

Pokud má abelianská kategorie dostatek injekcí, můžeme se formovat injekční rozlišení, tj. pro daný objekt X můžeme vytvořit dlouhou přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až X až Q ^ {0} až Q ^ {1} až Q ^ {2} až cdots}$

a pak lze definovat odvozené funktory daného funktoru F aplikováním F k této sekvenci a výpočet homologie výsledné (ne nutně přesné) sekvence. Tento přístup se používá k definování Ext, a Tor funktory a také různé kohomologie teorie v teorie skupin, algebraická topologie a algebraická geometrie. Používané kategorie jsou obvykle kategorie funktorů nebo kategorie snopy z Ó_X moduly přes některé prstencový prostor (X, Ó_X) nebo obecněji jakýkoli Kategorie Grothendieck.

Zobecnění

Objekt Q je H-injektivní, pokud je uveden h : A → B v H, jakýkoli F : A → Q faktory h.

Nechat ${ displaystyle mathbf {C}}$ být kategorií a nechat ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ být třída morfismů ${ displaystyle mathbf {C}}$.

Objekt ${ displaystyle Q}$ z ${ displaystyle mathbf {C}}$ se říká, že je ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-injektivní pokud pro každý morfismus ${ displaystyle f: A až Q}$ a každý morfismus ${ displaystyle h: A až B}$ v ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ existuje morfismus ${ displaystyle g: B až Q}$ s ${ displaystyle g circ h = f}$.

Li ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ je třída monomorfismy, jsme zpět k injekčním objektům, které byly ošetřeny výše.

Kategorie ${ displaystyle mathbf {C}}$ říká se mít dost ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-injektiva pokud pro každý objekt X z ${ displaystyle mathbf {C}}$, existuje ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-morfismus z X do ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-injektivní objekt.

A ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-morfismus G v ${ displaystyle mathbf {C}}$ je nazýván ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-nezbytný pokud pro jakýkoli morfismus F, kompozitní fg je v ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ jen když F je v ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Li G je ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-esenciální morfismus s doménou X a ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-injektivní doména G, pak G se nazývá ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-injektivní trup z X.

Příklady H-injektivní předměty

• V kategorii jednoduché sady, injektivní předměty s ohledem na třídu ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ anodynových rozšíření jsou Kan komplexy.
• V kategorii částečně objednané sady a monotónní mapy, kompletní mříže tvoří injekční předměty pro třídu ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ z vkládání objednávek a Dokončení Dedekind – MacNeille částečně objednané sady je její ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-injektivní trup.

Viz také

• Projektivní objekt

Poznámky

Reference

• J. Rosicky, Injektivita a dostupné kategorie
• F. Cagliari a S. Montovani, T₀-reflexe a injektážní trupy vlákenných prostorů