N-skupina (teorie kategorie) - N-group (category theory)
v matematika, an n-skupinanebo n-dimenzionální vyšší skupina, je zvláštní druh n-kategorie který zobecňuje pojem skupina na výšková algebra. Tady, může být jakýkoli přirozené číslo nebo nekonečno. Práce z Alexander Grothendieck student Hoàng Xuân Sính byla hloubková studie 2 skupiny pod přezdívkou „gr-category“.
Obecná definice -skupina je záležitostí probíhajícího výzkumu. Očekává se však, že každý topologický prostor bude mít homotopy -skupina v každém bodě, který zapouzdří Postnikovova věž prostoru až do homotopická skupina nebo celá Postnikovova věž pro .
Příklady
Eilenberg-Maclaneovy prostory
Jeden z hlavních příkladů vyšších skupin pochází z homotopy typů Eilenberg – MacLaneovy mezery protože jsou základními stavebními kameny pro konstrukci vyšších skupin a homotopy obecně. Například každá skupina lze proměnit v prostor Eilenberg-Maclane prostřednictvím jednoduché konstrukce[1]a chová se funkčně. Tato konstrukce poskytuje ekvivalenci mezi skupinami a 1 skupinami. Někteří autoři píší tak jako a pro skupinu abelianů , je psán jako .
2 skupiny
Definice a mnoho vlastností 2 skupiny jsou již známy. 2 skupiny lze popsat pomocí zkřížené moduly a jejich klasifikační prostory. V zásadě jsou dány čtyřnásobkem kde jsou skupiny s Abelian,
skupinový morfismus a kurz kohomologie. Tyto skupiny mohou být kódovány jako homotopy -typy s a , přičemž akce vychází z akce na vyšších homotopických skupinách a pocházející z postnikovova věž protože dochází k fibraci
pocházející z mapy . Všimněte si, že tento nápad lze použít ke konstrukci dalších vyšších skupin s daty skupiny majícími triviální střední skupiny , kde je nyní fibrační sekvence
pocházející z mapy jehož třída homotopy je prvkem .
3 skupiny
Další zajímavá a přístupná třída příkladů, která vyžaduje metody teoretické homotopie, které nejsou přístupné přísným grupoidům, pochází z pohledu na homotopické 3 typy skupin[2]. Zásadní, jsou dány trojnásobnou skupinou pouze první skupina byla neabelovská a některá další homotopická teoretická data z Postnikovovy věže. Vezmeme-li tuto skupinu 3 jako homotopii typu 3 , existence univerzálních obalů nám dává typ homotopy který zapadá do fibrační sekvence
dávat homotopii zadejte s triviální na kterém jedná. Lze je chápat explicitně pomocí předchozího modelu -skupiny posunuté o stupeň nahoru (nazývané delooping). Výslovně, zapadá do postnikovy věže s přidruženou Serreovou fibrací
dávat kde - svazek pochází z mapy , pořádání kurzu kohomologie v . Pak, lze rekonstruovat pomocí homotopického kvocientu .
n-skupiny
Předchozí konstrukce dává obecnou představu o tom, jak obecně uvažovat o vyšších skupinách. Pro skupinu n se skupinami přičemž druhá skupina je abelian, můžeme uvažovat o přidruženém typu homotopy a nejprve zvažte univerzální kryt . Pak je to prostor s triviálními , což usnadňuje konstrukci zbytku typu homotopy pomocí postnikovovy věže. Potom homotopický kvocient dává rekonstrukci , zobrazující data souboru -skupina je vyšší skupina, nebo Jednoduchý prostor, s triviálními taková skupina působí na něj homotopicky teoreticky. Toto pozorování se odráží ve skutečnosti, že homotopické typy nejsou realizovány zjednodušené skupiny, ale zjednodušené grupoidy[3]str. 295 protože grupoidní struktura modeluje homotopický kvocient .
Prochází konstrukcí 4-skupiny je poučné, protože poskytuje obecnou představu o tom, jak skupiny obecně konstruovat. Pro jednoduchost předpokládejme je triviální, takže netriviální skupiny jsou . To dává postnikovovu věž
kde první netriviální mapa je fibrace s vláknem . To je opět klasifikováno třídou cohomologie v . Nyní postavit z , je spojena fibrace
dané třídou homotopy . V zásadě[4] tato kohomologická skupina by měla být vypočítatelná pomocí předchozí fibrace se Serreovou spektrální sekvencí se správnými koeficienty, jmenovitě . Děláte to rekurzivně, řekněme pro - skupina, v horším případě by vyžadovala několik výpočtů spektrální sekvence mnoho výpočtů spektrální sekvence pro -skupina.
Viz také
Reference
- ^ „Na Eilenberg-Maclane Spaces“ (PDF). Archivováno (PDF) z původního dne 28. října 2020.
- ^ Conduché, Daniel (01.12.1984). „Modules croisés généralisés de longueur 2“. Journal of Pure and Applied Algebra. 34 (2): 155–178. doi:10.1016/0022-4049(84)90034-3. ISSN 0022-4049.
- ^ Goerss, Paul Gregory. (2009). Zjednodušená teorie homotopy. Jardine, J. F., 1951-. Basilej: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-0346-0189-4. OCLC 534951159.
- ^ „Integrovaná kohomologie konečných Postnikovových věží“ (PDF). Archivováno (PDF) od původního dne 25. srpna 2020.
- Hoàng Xuân Sính, Gr kategorie, Disertační práce, (1973)
- John C. Baez a Aaron D. Lauda, Vyšší dimenze Algebra V: 2-skupiny „Teorie a aplikace kategorií 12 (2004), 423–491.
- David Michael Roberts a Urs Schreiber, Vnitřní automorfismus 3-skupina přísné 2-skupiny, Journal of Homotopy and Related Structures, sv. 3 (1) (2008), s. 193–245.
- Klasifikace slabých 3 skupin
- Hromádky a teorie homotopie jednoduchých snopů
Kohomologie vyšších skupin
- Stanovení druhé homologické a kohomologické skupiny prostoru pomocí homotopických invariants
- Třetí kohomologická skupina klasifikuje zkřížená rozšíření modulů
- Na druhé kohomologické skupině zjednodušené skupiny
![]() | Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |