Presheaf (teorie kategorií) - Presheaf (category theory)

v teorie kategorií, pobočka matematika, a předheaf na kategorii ${displaystyle C}$ je funktor ${displaystyle Fcolon C ^ {mathrm {op}} o mathbf {Set}}$. Li ${displaystyle C}$ je poset z otevřené sady v topologický prostor, interpretováno jako kategorie, pak člověk získá obvyklou představu o předheaf na topologickém prostoru.

Morphism of presheaves je definován jako přirozená transformace funktorů. Díky tomu je kolekce všech předvoleb zapnutá ${displaystyle C}$ do kategorie a je příkladem a kategorie funktorů. Často se píše jako ${displaystyle {widehat {C}} = mathbf {Set} ^ {C ^ {mathrm {op}}}}$. Funktor do ${displaystyle {widehat {C}}}$ se někdy nazývá a profesor.

Předpolka, která je přirozeně izomorfní s kontravariantem hom funktor Hom (-,A) pro nějaký objekt A z C se nazývá a reprezentativní presheaf.

Někteří autoři odkazují na funktor ${displaystyle Fcolon C ^ {mathrm {op}} o mathbf {V}}$ jako ${displaystyle mathbf {V}}$- oceněný presheaf.^[1]

Příklady

• A zjednodušená sada je Soubor- oceněný presheaf na kategorie simplex ${displaystyle C = Delta}$.

Vlastnosti

• Když ${displaystyle C}$ je malá kategorie, kategorie funktoru ${displaystyle {widehat {C}} = mathbf {Set} ^ {C ^ {mathrm {op}}}}$ je kartézský zavřený.
• Částečně objednaná sada podobjekty z ${displaystyle P}$ tvoří a Heyting algebra kdykoli ${displaystyle P}$ je předmětem ${displaystyle {widehat {C}} = mathbf {Set} ^ {C ^ {mathrm {op}}}}$ pro malé ${displaystyle C}$.
• Pro jakýkoli morfismus ${displaystyle f: X o Y}$ z ${displaystyle {widehat {C}}}$, funktor zpětného rázu podobjektů ${displaystyle f ^ {*}: mathrm {Sub} _ {widehat {C}} (Y) o mathrm {Sub} _ {widehat {C}} (X)}$ má pravé adjoint, označené ${displaystyle forall _ {f}}$a levé adjoint, ${displaystyle existuje _ {f}}$. Tohle jsou univerzální a existenční kvantifikátory.
• Lokálně malá kategorie ${displaystyle C}$ vkládá plně a věrně do této kategorie ${displaystyle {widehat {C}}}$ nastavených předvoleb prostřednictvím Yoneda vkládání který každému objektu ${displaystyle A}$ z ${displaystyle C}$ sdružuje domácí funktor ${displaystyle C (-, A)}$.
• Kategorie ${displaystyle {widehat {C}}}$ připouští malé limity a malé kolimity.^[2]. Vidět limit a kolimita předvoleb pro další diskusi.
• The věta o hustotě uvádí, že každý presheaf je kolimitem reprezentativních presheaves; ve skutečnosti, ${displaystyle {widehat {C}}}$ je colimit dokončení ${displaystyle C}$ (vidět # Univerzální vlastnost níže.)

Univerzální vlastnictví

Konstrukce ${displaystyle Cmapsto {widehat {C}} = mathbf {Fct} (C ^ {ext {op}}, mathbf {Set})}$ se nazývá colimit dokončení z C z důvodu následujícího univerzálního vlastnictví:

Důkaz: Vzhledem k předsporu Ftím, že věta o hustotě, můžeme psát ${displaystyle F = varinjlim yU_ {i}}$ kde ${displaystyle U_ {i}}$ jsou objekty v C. Pak nechte ${displaystyle {widetilde {eta}} F = varinjlim eta U_ {i},}$ který existuje za předpokladu. Od té doby ${displaystyle varinjlim -}$ je funktoriální, určuje funktor ${displaystyle {widetilde {eta}}: {widehat {C}} o D}$. Stručně, ${displaystyle {widetilde {eta}}}$ je vlevo Kan rozšíření z ${displaystyle eta}$ podél y; odtud název „Yoneda extension“. Vidět ${displaystyle {widetilde {eta}}}$ dojíždíme s malými kolimity, ukazujeme ${displaystyle {widetilde {eta}}}$ je levý adjoint (k nějakému funktoru). Definovat ${displaystyle {mathcal {H}} om (eta, -): D o {widehat {C}}}$ být funktorem daným: pro každý objekt M v D a každý objekt U v C,

${displaystyle {mathcal {H}} om (eta, M) (U) = operatorname {Hom} _ {D} (eta U, M).}$

Pak pro každý objekt M v D, od té doby ${displaystyle {mathcal {H}} om (eta, M) (U_ {i}) = operatorname {Hom} (yU_ {i}, {mathcal {H}} om (eta, M))}$ podle lemmatu Yoneda máme:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Hom} _ {D} ({widetilde {eta}} F, M) & = operatorname {Hom} _ {D} (varinjlim eta U_ {i}, M) = varprojlim operatorname { Hom} _ {D} (eta U_ {i}, M) = varprojlim {mathcal {H}} om (eta, M) (U_ {i}) & = operatorname {Hom} _ {widehat {C}} ( F, {mathcal {H}} om (eta, M)), konec {zarovnáno}}}$

což znamená ${displaystyle {widetilde {eta}}}$ je zleva sousedící s ${displaystyle {mathcal {H}} om (eta, -)}$. ${squarestyle square}$

Tento návrh přináší několik důsledků. Například z tvrzení vyplývá, že stavba ${displaystyle Cmapsto {widehat {C}}}$ je funktoriální: tj. každý funktor ${displaystyle C o D}$ určuje funktor ${displaystyle {widehat {C}} o {widehat {D}}}$.

Varianty

A předpolí mezer v kategorii ∞ C je kontravariantní funktor z C do ∞-kategorie prostorů (například nerv kategorie CW-komplexy.)^[4] Je to ∞-kategorie verze presheaf množin, protože „množina“ je nahrazena „mezerou“. Pojem se používá mimo jiné při formulaci kategorie ∞ kategorie Yonedovo lemma to říká: ${displaystyle C o PShv (C)}$ je plně věrný (zde C může být jen a zjednodušená sada.)^[5]

Viz také

• Topos
• Kategorie prvků
• Zjednodušené předpětí (tento pojem se získá nahrazením výrazu „set“ výrazem „simplicial set“)
• Předskokan s převody

Poznámky

Reference

• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Kategorie a svazky.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lurie, J. Teorie vyšších toposů
• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, "Snopy v geometrii a logice" (1992) Springer-Verlag ISBN  0-387-97710-4

Další čtení

• Předsporu v nLab
• Zdarma dokončení v nLab
• Daniel Dugger, Snopy a teorie homotopy, soubor PDF poskytl nlab.