Kategorie zdarma - Free category

v matematika, kategorie zdarma nebo kategorie cesty generované a řízený graf nebo toulec je kategorie který je výsledkem volného zřetězení šipek dohromady, kdykoli je cíl jedné šipky zdrojem další.

Přesněji řečeno, objekty kategorie jsou vrcholy toulce a morfismy jsou cesty mezi objekty. Tady, a cesta je definována jako a konečná posloupnost

{ displaystyle V_ {0} { xrightarrow {; ; E_ {0} ; ;}} V_ {1} { xrightarrow {; ; E_ {1} ; ;}} cdots { xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}}

kde ${ displaystyle V_ {k}}$ je vrchol toulce, ${ displaystyle E_ {k}}$ je okraj toulce a n rozsahy přes nezáporná celá čísla. Pro každý vrchol ${ displaystyle V}$ toulce existuje „prázdná cesta“, která představuje morfismus identity dané kategorie.

Skladba operace je zřetězení cest. Dané cesty

{ displaystyle V_ {0} { xrightarrow {E_ {0}}} cdots { xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}, quad V_ {n} { xrightarrow {F_ {0} }} W_ {0} { xrightarrow {F_ {1}}} cdots { xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ {m},}

jejich složení je

{ displaystyle left (V_ {n} { xrightarrow {F_ {0}}} W_ {0} { xrightarrow {F_ {1}}} cdots { xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ { m} right) circ left (V_ {0} { xrightarrow {E_ {0}}} cdots { xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n} right): = V_ {0 } { xrightarrow {E_ {0}}} cdots { xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n} { xrightarrow {F_ {0}}} W_ {0} { xrightarrow {F_ {1 }}} cdots { xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ {m}}

.^[1]^[2]

Všimněte si, že výsledek skladby začíná pravým operandem skladby a končí jejím levým operandem.

Příklady

Li Q je toulec s jedním vrcholem a jednou hranou F od tohoto objektu k sobě, pak volná kategorie na Q má jako šípy 1, F, F∘F,F∘F∘F, atd.^[2]
Nechat Q být toulec se dvěma vrcholy A, b a dvě hrany E, F z A na b a b na A, resp. Pak je kategorie zdarma Q má dvě šipky identity a šipku pro každou konečnou sekvenci střídání Es a Fs, včetně: E, F, E∘F, F∘E, F∘E∘F, E∘F∘E, atd.^[1]
Li Q je toulec ${ displaystyle a { xrightarrow {f}} b { xrightarrow {g}} c}$ , pak bezplatná kategorie zapnuta Q má (kromě tří šipek identity), šipky F, G, a G∘F.
Pokud toulec Q má pouze jeden vrchol, poté je zapnuta volná kategorie Q má pouze jeden objekt a odpovídá volný monoid na okrajích Q.^[1]

Vlastnosti

The kategorie malých kategorií Kočka má zapomnětlivý funktor U do kategorie toulců Quiv:

U : Kočka → Quiv

který převádí objekty na vrcholy a morfismy na šipky. Intuitivně, U msgstr "[zapomíná], které šipky jsou složené a které jsou identity".^[2] Tento zapomnětlivý funktor je pravý adjoint funktorovi, který pošle toulec do odpovídající volné kategorie.

Univerzální vlastnictví

Volnou kategorii na toulci lze popsat až do izomorfismus podle a univerzální vlastnictví. Nechat C : Quiv → Kočka být funktorem, který vezme toulec do volné kategorie na tomto toulci (jak je popsáno výše), ať U být zapomnětlivý funktor definovaný výše, a nechť G být jakýmkoli toulcem. Pak je tu homomorfismus grafů Já : G → U(C(G)) a vzhledem k jakékoli kategorii D a jakýkoli homomorfismus grafů F : G → U (D), existuje jedinečný funktor F' : C(G) → D takhle U(F')∘Já=F, tj. následující diagram dojíždí:

Funktor C je vlevo adjoint zapomnětlivému funktoru U.^[1]^[2]^[3]

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Awodey, Steve (2010). Teorie kategorií (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. str. 20–24. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.
^ ^A ^b ^C ^d Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York. str. 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
^ "bezplatná kategorie v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-09-12.

[:0-1] A ^b ^C ^d Awodey, Steve (2010). Teorie kategorií (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. str. 20–24. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.

[:1-2] A ^b ^C ^d Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York. str. 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.

[3] "bezplatná kategorie v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-09-12.

[1]

[2]

[3]