V matematický pole teorie kategorií a abstraktní algebra , a dílčí podíl je kvocientový objekt a podobjekt . Subkvotenty jsou zvláště důležité v abelianské kategorie a v teorie skupin , kde jsou také známí jako sekce , ačkoli to je v konfliktu s jiným významem v teorie kategorií .
V literatuře o sporadických skupinách formulace jako « H { displaystyle H} je zapojen do G { displaystyle G} »[1] lze najít se zjevným významem « H { displaystyle H} je dílčím podílem G { displaystyle G} ».
Například z 26 sporadické skupiny , 20 dílčích podílů skupina příšer jsou označovány jako „Šťastná rodina“, zatímco zbývajících 6 jako „vyvrhele skupiny ".
Kvocient subreprezentace reprezentace (řekněme skupiny) lze nazvat subkvotenciální reprezentací; např., Harish-Chandra věta o dílčích částech.[2]
Konstruktivně teorie množin , Kde zákon vyloučeného prostředku nemusí nutně platit, lze uvažovat o vztahu dílčí podíl jako nahrazení obvyklého objednávkový vztah (syn kardinálové . Když má člověk zákon vyloučeného středu, pak subkvotent X { displaystyle X} z Y { displaystyle Y} je buď prázdná sada nebo existuje funkce onto Y → X { displaystyle Y až X} . Tento řádový vztah je tradičně označován ≤ ∗ { displaystyle leq ^ { ast}} . Pokud navíc axiom volby drží tedy X { displaystyle X} má funkci jedna k jedné Y { displaystyle Y} a tento řádový vztah je obvyklý ≤ { displaystyle leq} na odpovídajících kardinálech.
Vztah objednávky Vztah dílčí podíl je objednávkový vztah .
Důkaz tranzitivita pro skupiny Nechat H ′ / H ″ { displaystyle H '/ H'}} být dílčí kvocient z H { displaystyle H} , navíc H := G ′ / G ″ { displaystyle H: = G '/ G'}} být dílčí kvocient z G { displaystyle G} a φ : G ′ → H { displaystyle varphi dvojtečka G ' do H} být kanonický homomorfismus . Pak všechny vertikální ( ↓ { displaystyle downarrow} ) mapy φ : X → Y , G ↦ G G ″ { displaystyle varphi tlustého střeva X až Y, ; g mapsto g , G ''}
G { displaystyle G} ≥ { displaystyle geq} G ′ { displaystyle G '} ≥ { displaystyle geq} φ − 1 ( H ′ ) { displaystyle varphi ^ {- 1} (H ')} ≥ { displaystyle geq} φ − 1 ( H ″ ) { displaystyle varphi ^ {- 1} (H '')} ⊳ { displaystyle vartriangleright} G ″ { displaystyle G ''} φ : { displaystyle varphi !:} ↓ { displaystyle { Big downarrow}} ↓ { displaystyle { Big downarrow}} ↓ { displaystyle { Big downarrow}} ↓ { displaystyle { Big downarrow}} H { displaystyle H} ≥ { displaystyle geq} H ′ { displaystyle H '} ⊳ { displaystyle vartriangleright} H ″ { displaystyle H ''} ⊳ { displaystyle vartriangleright} { 1 } { displaystyle {1 }}
s vhodným G ∈ X { displaystyle g v X} jsou surjektivní pro příslušné páry
( X , Y ) ∈ { displaystyle (X, Y) ; ; ; v} { ( G ′ , H ) { displaystyle { Bigl {} { bigl (} G ', H { bigr)} { Bigr.}} , { displaystyle,} ( ϕ − 1 ( H ′ ) , H ′ ) { displaystyle { bigl (} phi ^ {- 1} (H '), H' { bigr)}} , { displaystyle,} ( ϕ − 1 ( H ″ ) , H ″ ) { displaystyle { bigl (} phi ^ {- 1} (H ''), H '' { bigr)}} , { displaystyle,} ( G ″ , { 1 } ) } . { displaystyle { Bigl.} { bigl (} G '', {1 } { bigr)} { Bigr }}.}
Předobrazy φ − 1 ( H ′ ) { displaystyle varphi ^ {- 1} vlevo (H ' vpravo)} a φ − 1 ( H ″ ) { displaystyle varphi ^ {- 1} vlevo (H ' vpravo)} jsou obě podskupiny G ′ { displaystyle G '} obsahující G ″ , { displaystyle G '',} a to je φ ( φ − 1 ( H ′ ) ) = H ′ { displaystyle varphi left ( varphi ^ {- 1} left (H ' right) right) = H'} a φ ( φ − 1 ( H ″ ) ) = H ″ { displaystyle varphi left ( varphi ^ {- 1} left (H '' right) right) = H ''} , protože každý h ∈ H { displaystyle h v H} má preimage G ∈ G ′ { displaystyle g v G '} s φ ( G ) = h { displaystyle varphi (g) = h} . Navíc podskupina φ − 1 ( H ″ ) { displaystyle varphi ^ {- 1} vlevo (H ' vpravo)} je normální v φ − 1 ( H ′ ) . { displaystyle varphi ^ {- 1} vlevo (H ' vpravo).} .
V důsledku toho subkvotent H ′ / H ″ { displaystyle H '/ H'}} z H { displaystyle H} je dílčím podílem G { displaystyle G} ve formě H ′ / H ″ ≅ φ − 1 ( H ′ ) / φ − 1 ( H ″ ) { displaystyle H '/ H' cong varphi ^ {- 1} vlevo (H ' vpravo) / varphi ^ {- 1} vlevo (H' vpravo)} .
Viz také Reference ^ Griess, Robert L. (1982), "Přátelský obr" , Inventiones Mathematicae , 69 , str. 1-102, doi :10.1007 / BF01389186 ^ Dixmier, Jacques (1996) [1974], Obálkové algebry , Postgraduální studium matematiky , 11 „Providence, R.I .: Americká matematická společnost , ISBN 978-0-8218-0560-2 , PAN 0498740 str. 310