Smluvní prostor - Contractible space

v matematika, a topologický prostor X je smluvní pokud mapa identity na X je nulová homotopická, tj. pokud je homotopický na nějakou konstantní mapu.[1][2] Intuitivně je smluvní prostor ten, který lze průběžně zmenšovat na bod v tomto prostoru.
Vlastnosti
Smluvní prostor je přesně jeden s homotopický typ bodu. Z toho vyplývá, že všechny homotopické skupiny smluvního prostoru jsou triviální. Proto žádný prostor s netriviální homotopickou skupinou nemůže být kontraktovatelný. Podobně od té doby singulární homologie je homotopický invariant, redukované homologické skupiny smluvního prostoru jsou triviální.
Pro topologický prostor X následující jsou ekvivalentní:
- X je stahovatelný (tj. mapa identity je null-homotopická).
- X je homotopy ekvivalentní jednobodovému prostoru.
- X deformace se stáhne do bodu. (Existují však smluvní prostory, které nikoli silně deformace zatáhnout do bodu.)
- Pro jakýkoli prostor Y, libovolné dvě mapy F,G: Y → X jsou homotopické.
- Pro jakýkoli prostor Y, libovolná mapa F: Y → X je nulová homotopická.
The kužel na mezeru X je vždy smluvní. Proto může být do kontraktovatelného prostoru vložen jakýkoli prostor (což také ilustruje, že podprostory kontraktivních prostor nemusí být kontraktovatelné).
Dále X je smluvní kdyby a jen kdyby existuje a odvolání z kuželu X na X.
Každý smluvní prostor je cesta připojena a jednoduše připojeno. Navíc, protože všechny vyšší homotopické skupiny zmizí, je každý kontrakční prostor n-připojeno pro všechny n ≥ 0.
Místně stahovatelné prostory
Topologický prostor je místně smluvní pokud má každý bod a místní základna smluvně sousedství. Smluvní prostory nemusí být nutně místně smluvní a naopak. Například hřebenový prostor je kontraktovatelný, ale není lokálně kontraktovatelný (pokud by byl, byl by lokálně propojen, což není). Místně kontraktovatelné prostory jsou lokálně n-připojeno pro všechny n ≥ 0. Zejména jsou místně jednoduše připojeno, místně připojená cesta, a místně připojen.
Příklady a protiklady
- Žádný Euklidovský prostor je smluvní, jako každý jiný hvězdičková doména na euklidovském prostoru.
- The Whitehead potrubí je smluvní.
- Koule jakékoli konečné dimenze nejsou smluvní.
- The jednotková koule v nekonečně dimenzionální Hilbertův prostor je smluvní.
- The dům se dvěma pokoji je standardní příklad prostoru, který je smluvní, ale ne intuitivně.
- The Hluboká čepice je smluvní, ale ne skládací.
- Kužel na a Havajská náušnice je stahovatelný (protože se jedná o kužel), ale není lokálně stahovatelný nebo dokonce lokálně jednoduše spojený.
- Všechno rozdělovače a CW komplexy jsou lokálně smluvní, ale obecně ne smluvní.
- The Varšavský kruh se získá "uzavřením" sinusová křivka topologa obloukem spojujícím (0, -1) a (1, sin (1)). Jedná se o jednorozměrné kontinuum, jehož homotopické skupiny jsou triviální, ale není to smluvní.
Reference
- ^ Munkres, James R. (2000). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- ^ Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.