Kategorie vztahů - Category of relations
v matematika, kategorie Rel má třídu sady tak jako předměty a binární vztahy tak jako morfismy.
Morfismus (nebo šipka) R : A → B v této kategorii je vztah mezi množinami A a B, tak R ⊆ A × B.
The složení dvou vztahů R: A → B a S: B → C darováno
- (A, C) ∈ S Ó R ⇔ pro některé b ∈ B, (A, b) ∈ R a (b, C) ∈ S.[1]
Rel se také nazývá „kategorie korespondencí množin“.[2]
Vlastnosti
Kategorie Rel má kategorie sad Soubor jako (široký) podkategorie, kde je šipka F : X → Y v Soubor odpovídá vztahu F ⊆ X × Y definován (X, y) ∈ F ⇔ F(X) = y.[3][4]
Morfismus v Rel je vztah a odpovídající morfismus v opačná kategorie na Rel má šipky obrácené, takže je to konverzní vztah. Tím pádem Rel obsahuje svůj opak a je self-dual.[5]
The involuce reprezentovaný převzetím konverzního vztahu poskytuje dýka dělat Rel A kategorie dýky.
Kategorie má dvě funktory do sebe danou domácí funktor: A binární relace R ⊆ A × B a jeho transpozice RT ⊆ B × A mohou být složeny buď jako R RT nebo jako RT R. Výsledkem prvního složení je a homogenní vztah na A a druhá je zapnutá B. Protože obrázky těchto hom funktorů jsou uvnitř Rel sama o sobě, v tomto případě je hom vnitřní hom funktor. S jeho vnitřním hom funktorem Rel je uzavřená kategorie, a dále a dýka kompaktní kategorie.
Kategorie Rel lze získat z kategorie Soubor jako Kategorie Kleisli pro monad jehož funktor odpovídá napájecí sada, interpretován jako kovariantní funktor.
Na první pohled je možná trochu překvapivá skutečnost produkt v Rel je dán disjunktní unie[5]:181 (spíše než kartézský součin jak je to v Soubor), a tak je koprodukt.
Rel je monoidal uzavřen, jak s monoidním produktem A ⊗ B a vnitřní hom A ⇒ B dána kartézský součin sad.
Kategorie Rel byl prototyp algebraické struktury zvaný an alegorie podle Peter J. Freyd a Andre Scedrov v roce 1990.[6] Počínaje a běžná kategorie a funktor F: A → B, zaznamenávají vlastnosti indukovaného funktoru Rel (A, B) → Rel (FA, FB). Například zachovává kompozici, konverzi a průnik. Takové vlastnosti se pak používají k zajištění axiomů pro alegorie.
Vztahy jako objekty
David Rydeheard a Rod Burstall zvážit Rel mít objekty, které mají homogenní vztahy. Například, A je sada a R ⊆ A × A je binární relace na A. Morfismy této kategorie jsou funkce mezi množinami, které zachovávají vztah: Řekněme S ⊆ B × B je druhý vztah a F: A → B je funkce taková, že pak F je morfismus.[7]
Stejnou myšlenku prosazují Adamek, Herrlich a Strecker, kde označují objekty (A, R.) a (B, S), množina a vztah.[8]
Reference
- ^ Mac Lane, S. (1988). Kategorie pro Working Mathematician (1. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 26. ISBN 0-387-90035-7.
- ^ Pareigis, Bodo (1970). Kategorie a funktory. Čistá a aplikovaná matematika. 39. Akademický tisk. str. 6. ISBN 978-0-12-545150-5.
- ^ Tato kategorie se nazývá SouborRel Rydeheard a Burstall.
- ^ George Bergman (1998), Pozvánka na obecnou algebru a univerzální konstrukce, §7.2 RelSetVydavatel Henry Helson, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
- ^ A b Michael Barr & Charles Wells (1998) Teorie kategorie pro počítačové vědce Archivováno 04.03.2016 na Wayback Machine, strana 83, z McGill University
- ^ Peter J. Freyd & Andre Scedrov (1990) Kategorie, Alegorie, strany 79, 196, Severní Holandsko ISBN 0-444-70368-3
- ^ David Rydeheard & Rod Burstall (1988) Teorie výpočetní kategorie, strana 54, Prentice-Hall ISBN 978-0131627369
- ^ Juri Adamek, Horst Herrlich a George E. Strecker (2004) [1990] Abstraktní a konkrétní kategorie, oddíl 3.3, příklad 2 (d) strana 22, z Výzkumná skupina KatMAT na University of Bremen
- Francis Borceux (1994). Příručka kategorické algebry: svazek 2, Kategorie a struktury. Cambridge University Press. str. 115. ISBN 978-0-521-44179-7.