Kategorie čárky - Comma category
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, a kategorie čárky (zvláštní případ je kategorie plátek) je stavba v teorie kategorií. Poskytuje další způsob pohledu morfismy: namísto jednoduše vztahujících se k objektům a kategorie morfismy se navzájem stávají objekty samy o sobě. Tuto představu představil v roce 1963 F. W. Lawvere (Lawvere, 1963, s. 36), ačkoli tato technika ne[Citace je zapotřebí ] všeobecně známé až o mnoho let později. S několika matematickými koncepty lze zacházet jako s čárkami. Čárkové kategorie také zaručují existenci některých limity a kolimity. Název pochází z notace původně používané společností Lawvere, která zahrnovala čárka interpunkční znaménko. Název přetrvává, i když se standardní zápis změnil, protože použití čárky jako operátoru je potenciálně matoucí a dokonce Lawvere nemá rád neinformativní výraz „kategorie čárky“ (Lawvere, 1963, s. 13).
Definice
Nejobecnější konstrukce kategorie čárky zahrnuje dvě funktory se stejnou doménou. Jeden z nich bude mít často doménu 1 (kategorie jednoho objektu s jedním morfismem). Některé účty teorie kategorií uvažují pouze o těchto zvláštních případech, ale pojem kategorie čárky je ve skutečnosti mnohem obecnější.
Obecná forma
Předpokládejme to , , a jsou kategorie a a (pro zdroj a cíl) jsou funktory:
Můžeme vytvořit kategorii čárky jak následuje:
- Všechny objekty jsou trojité s objekt v , objekt v , a morfismus v .
- Morfismy z na jsou všechny páry kde a jsou morfismy v a respektive tak, že následující diagram dojíždí:

Morfismy se skládají z braní být , kdykoli je definován druhý výraz. Morfismus identity na objektu je .
Kategorie řezu
První zvláštní případ nastane, když , funktor je funktor identity, a (kategorie s jedním objektem a jeden morfismus). Pak pro nějaký objekt v .
V tomto případě je zapsána kategorie čárky , a je často nazýván kategorie plátek přes nebo kategorie předměty . Předměty lze zjednodušit na páry , kde . Někdy, je označen . Morfismus z na v kategorii řezu lze pak zjednodušit na šipku dělat následující diagram dojíždění:

Kategorie Coslice
The dvojí koncept kategorie řezu je kategorie koslice. Tady, , má doménu a je funktor identity.
V tomto případě je často psána kategorie čárky , kde je předmětem vybráno uživatelem . Říká se tomu kategorie koslice s ohledem na nebo kategorie předměty pod . Objekty jsou páry s . Dáno a , morfismus v kategorii koslice je mapa dělat následující diagram dojíždění:

Kategorie šipek
a jsou funktory identity na (tak ).
V tomto případě je kategorie čárky kategorií šipek . Jeho objekty jsou morfismem a jeho morfismy dojíždějí čtverce dovnitř .[1]

Další varianty
V případě kategorie slice nebo coslice může být funktor identity nahrazen jiným funktorem; tím se získá rodina kategorií zvláště užitečných při studiu adjunkční funktory. Například pokud je zapomnětlivý funktor mapování a abelianská skupina k jeho základní sada, a je nějaká pevná soubor (považováno za funktora z 1), pak kategorie čárky má objekty, ze kterých jsou mapy na množinu tvořící skupinu. To se týká levého adjointu , což je funktor mapující množinu na bezplatná abelianská skupina mít tento základ jako základ. Zejména počáteční objekt z je kanonická injekce , kde je bezplatná skupina generovaná uživatelem .
Objekt se nazývá a morfismus z na nebo a -strukturovaná šipka s doménou .[1] Objekt se nazývá a morfismus z na nebo a -strukturovaný šíp s codomain .[1]
Další speciální případ nastane, když oba a jsou funktory s doménou . Li a , pak kategorie čárky , psaný , je diskrétní kategorie jejichž objekty jsou morfismem na .
An kategorie vkládače je (neúplná) podkategorie kategorie čárky, kde a jsou potřeba. Kategorie čárky lze také považovat za vkládač a , kde a jsou dva projekční funktory z kategorie produktů .
Vlastnosti
Pro každou kategorii čárky existují zapomnětlivé funktory.
- Funktor domény, , který mapuje:
- objekty: ;
- morfismy: ;
- Funktor kodomény, , který mapuje:
- objekty: ;
- morfismy: .
- Šipkový funktor, , který mapuje:
- objekty: ;
- morfismy: ;
Příklady použití
Některé pozoruhodné kategorie
Několik zajímavých kategorií má přirozenou definici, pokud jde o kategorie čárek.
- Kategorie špičaté sady je kategorie čárky, s být (výběr funktoru) libovolný singletonová sada, a (funktor identity) kategorie sad. Každý objekt této kategorie je množina společně s funkcí, která vybírá některý prvek množiny: „základní bod“. Morfismy jsou funkce na množinách, které mapují základní body na základní body. Podobným způsobem lze vytvořit kategorii špičaté mezery .
- Kategorie asociativních algeber přes prsten je kategorie koslice , protože jakýkoli kruhový homomorfismus indukuje asociativní -algebraová struktura zapnuta a naopak. Morfismy jsou pak mapy díky nimž dojíždí diagram.
- Kategorie grafy je , s funktor vezme sadu na . Předměty pak se skládají ze dvou sad a funkce; je indexovací sada, je sada uzlů a vybírá dvojice prvků pro každý vstup z . To znamená vybere určité hrany ze sady možných hran. Morfismus v této kategorii se skládá ze dvou funkcí, jedné na indexovací sadě a jedné na sadě uzlů. Musí „souhlasit“ podle výše uvedené obecné definice, což znamená musí uspokojit . Jinými slovy, hrana odpovídající určitému prvku indexovací sady, když je přeložena, musí být stejná jako hrana přeloženého indexu.
- Mnoho operací „zvětšení“ nebo „označení“ lze vyjádřit v kategoriích čárky. Nechat být funktorem, který vezme každý graf na množinu jeho hran, a nechť být (výběr funktoru) nějakou konkrétní množinou: pak je kategorie grafů, jejichž okraje jsou označeny prvky . Tato forma kategorie čárky se často nazývá předměty -přes - úzce souvisí s "objekty nad "diskutováno výše. Zde má každý objekt formu." , kde je graf a funkce od okrajů na . Uzly grafu lze označit v podstatě stejným způsobem.
- O kategorii se říká, že je místně kartezián uzavřen pokud je každý jeho plátek kartézský zavřený (viz výše pro pojem plátek). Místní kartézské uzavřené kategorie jsou klasifikace kategorií z teorie závislých typů.
Limity a univerzální morfismy
Limity a kolimity v kategoriích čárky mohou být „zděděny“ Li a jsou kompletní, je spojitý funktor, a je další funktor (nemusí být nutně spojitý), pak kategorie čárka vyrobené je kompletní,[2] a projekční funktory a jsou spojité. Podobně, pokud a jsou úplné a je souvislé, pak je kompletní a projekční funktory jsou spojité.
Například si všimněte, že ve výše uvedené konstrukci kategorie grafů jako kategorie čárek je kategorie množin úplná a společná a funktor identity je spojitý a souvislý. Kategorie grafů je tedy úplná a úplná.
Pojem a univerzální morfismus na konkrétní colimit, nebo z limitu, lze vyjádřit pomocí kategorie čárky. V podstatě vytvoříme kategorii, jejíž objekty jsou kužely a kde omezující kužel je a koncový objekt; pak je každý univerzální morfismus pro limit pouze morfismem pro koncový objekt. To funguje v duálním případě, přičemž kategorie kokosových ořechů má počáteční objekt. Například nechte být kategorií s funktor vezme každý objekt na a každá šipka na . Univerzální morfismus z na podle definice sestává z objektu a morfismus s univerzálním majetkem pro jakýkoli morfismus existuje jedinečný morfismus s . Jinými slovy, jedná se o objekt v kategorii čárky morfismus k jakémukoli jinému objektu v této kategorii; je to počáteční. To slouží k definování koprodukt v , pokud existuje.
Přídavky
Lawvere ukázal, že funktory a jsou adjoint právě když kategorie čárky a , s a funktory identity a jsou izomorfní a ekvivalentní prvky v kategorii čárky lze promítnout na stejný prvek . To umožňuje popsat adjunkce bez zapojení množin a ve skutečnosti to byla původní motivace pro zavedení kategorií čárky.
Přirozené transformace
Pokud domény jsou stejné, pak diagram, který definuje morfismy v s je shodný s diagramem, který definuje a přirozená transformace . Rozdíl mezi těmito dvěma pojmy spočívá v tom, že přirozená transformace je zvláštní soubor morfismů typu formy , zatímco objekty kategorie čárky obsahují Všechno morfismy typu takové formy. Funktor kategorie čárky vybere konkrétní kolekci morfismů. To je stručně popsáno pozorováním S.A. Huq[3]že přirozená transformace , s , odpovídá funktoru který mapuje každý objekt na a mapuje každý morfismus na . Tohle je bijektivní korespondence mezi přirozenými transformacemi a funktory což jsou sekce obou zapomnětlivých funktorů z .
Reference
- ^ A b C Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
- ^ Rydheard, David E .; Burstall, Rod M. (1988). Teorie výpočetních kategorií (PDF). Prentice Hall.
- ^ Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician, Postgraduální texty z matematiky 5 (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 48, ISBN 0-387-98403-8
- Kategorie čárky v nLab
- Lawvere, W (1963). „Funktoriální sémantika algebraických teorií“ a „Některé algebraické problémy v kontextu funktorické sémantiky algebraických teorií“. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf
externí odkazy
![]() | Tento článek je Použití externí odkazy nemusí dodržovat zásady nebo pokyny Wikipedie.Červenec 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstrakt a konkrétní kategorie - Radost koček
- Divoké kočky je balíček teorie kategorií pro Mathematica. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy, Kategorie, funktory, přirozené transformace, univerzální vlastnosti.
- Interaktivní webová stránka který generuje příklady kategoriálních konstrukcí v kategorii konečných množin.