Kostra (teorie kategorií) - Skeleton (category theory)

v matematika, a kostra a kategorie je podkategorie že zhruba řečeno neobsahuje nic cizího izomorfismy. V určitém smyslu je kostra kategorie „nejmenší“ ekvivalent kategorie, která zachycuje všechny „kategorické vlastnosti“ originálu. Ve skutečnosti existují dvě kategorie ekvivalent kdyby a jen kdyby oni mají izomorfní kostry. Nazývá se kategorie kosterní pokud jsou izomorfní objekty nutně identické.

Definice

Kostra kategorie C je ekvivalentní kategorie D ve kterém žádné dva odlišné objekty nejsou izomorfní. Obecně se považuje za podkategorii. Podrobně kostra C je kategorie D takové, že:

D je podkategorie z C: každý předmět D je předmětem C

{ displaystyle mathrm {Ob} (D) subseteq mathrm {Ob} (C)}

pro každou dvojici předmětů d₁ a d₂ z D, morfismy v D jsou morfismy v C, tj.

{ displaystyle mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) subseteq mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}

a identity a složení v D jsou omezení těch v C.

Zahrnutí D v C je úplný, což znamená, že pro každou dvojici objektů d₁ a d₂ z D posilujeme výše uvedený podmnožinový vztah k rovnosti:

{ displaystyle mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) = mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}

Zahrnutí D v C je v podstatě surjektivní: Každý C-objekt je pro některé izomorfní D-objekt.
D je kosterní: Žádné dva odlišné D-objekty jsou izomorfní.

Existence a jedinečnost

Je základní skutečností, že každá malá kategorie má kostru; obecněji každý přístupná kategorie má kostru. (To je ekvivalentní s axiom volby.) I když kategorie může mít mnoho odlišných koster, jakékoli dvě kostry jsou izomorfní jako kategorie, tak až do izomorfismus kategorií, kostra kategorie je unikátní.

Důležitost koster vychází ze skutečnosti, že jsou (až do izomorfismu kategorií), kanonickými zástupci tříd ekvivalence kategorií podle vztah ekvivalence z rovnocennost kategorií. To vyplývá ze skutečnosti, že každá kostra kategorie C je ekvivalentní k C, a že dvě kategorie jsou ekvivalentní právě tehdy, pokud mají izomorfní kostry.

Příklady

Kategorie Soubor ze všech sady má podkategorii všech základní čísla jako kostra.
Kategorie K.-Vect ze všech vektorové prostory přes pevnou pole ${ displaystyle K}$ má podkategorii skládající se ze všech pravomocí ${ displaystyle K ^ {( alpha)}}$ , kde α je jakékoli základní číslo jako kostra; pro každou konečnou m a n, mapy ${ displaystyle K ^ {m} až K ^ {n}}$ jsou přesně n × m matice se záznamy v K..
FinSetkategorie všech konečné množiny má FinOrd, kategorie všech konečných řadové číslovky jako kostra.
Kategorie všech dobře uspořádané sady má podkategorii všech řadové číslovky jako kostra.
A předobjednávka, tj. malá kategorie taková, že pro každou dvojici objektů ${ displaystyle A, B}$ , sada ${ displaystyle Hom (A, B)}$ buď má jeden prvek, nebo je prázdný, má a částečně objednaná sada jako kostra.

Viz také

Reference

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst a Strecker, George E. (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie. Původně publikoval John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (nyní zdarma on-line vydání)
Robert Goldblatt (1984). Topoi, kategorická analýza logiky (Studie logiky a základů matematiky, 98). Severní Holandsko. Přetištěno 2006 Dover Publications.