Kužel (teorie kategorií) - Cone (category theory)
v teorie kategorií, pobočka matematika, kužel funktoru je abstraktní pojem používaný k definování omezit toho funktor. Kužele se objevují i v teorii kategorií.
Definice
Nechat F : J → C být diagram v C. Formálně diagram není nic jiného než a funktor z J na C. Změna terminologie odráží skutečnost, na kterou myslíme F jako indexování rodiny předměty a morfismy v C. The kategorie J se považuje za „indexovou kategorii“. Jeden by měl uvažovat analogicky s konceptem indexovaná rodina předmětů v teorie množin. Hlavní rozdíl spočívá v tom, že i zde máme morfismy. Tak například, když J je diskrétní kategorie, nejvíce odpovídá myšlence indexované rodiny v teorii množin. Další běžný a zajímavější příklad J být a rozpětí. J lze také považovat za prázdnou kategorii, což vede k nejjednodušším kuželům.
Nechat N být předmětem C. A kužel z N na F je rodina morfismů
pro každý objekt X z J, tak, že pro každý morfismus F : X → Y v J následující diagram dojíždí:
(Obvykle nekonečná) sbírka všech těchto trojúhelníků může být (částečně) zobrazena ve tvaru a kužel s vrcholem N. Kužel ψ se někdy říká, že má vrchol N a základna F.
Lze také definovat dvojí pojem a kužel z F na N (také nazývaný a kužel) obrácením všech šipek výše. Explicitně, co-cone od F na N je rodina morfismů
pro každý objekt X z J, tak, že pro každý morfismus F : X → Y v J následující schéma dojíždí:
Ekvivalentní formulace
Na první pohled se kužely v teorii kategorií zdají být mírně abnormální konstrukce. Jsou to mapy z objekt do a funktor (nebo naopak). V souladu s duchem teorie kategorií bychom je chtěli definovat jako morfismy nebo objekty v nějaké vhodné kategorii. Ve skutečnosti můžeme udělat obojí.
Nechat J být malou kategorií a nechat CJ být kategorie diagramů typu J v C (to není nic víc než a kategorie funktorů ). Definujte diagonální funktor Δ: C → CJ takto: Δ (N) : J → C je konstantní funktor na N pro všechny N v C.
Li F je diagram typu J v C, následující prohlášení jsou ekvivalentní:
- ψ je kužel z N na F
- ψ je a přirozená transformace z Δ (N) až F
- (N, ψ) je objekt v kategorie čárky (Δ ↓ F)
Duální příkazy jsou také ekvivalentní:
- ψ je kužel z F na N
- ψ je a přirozená transformace z F do Δ (N)
- (N, ψ) je objekt v kategorie čárky (F ↓ Δ)
Všechna tato prohlášení lze ověřit přímým uplatněním definic. Když si myslíme, že šišky jsou přirozenými transformacemi, vidíme, že jsou to jen morfizmy CJ se zdrojem (nebo cílem) konstantním funktorem.
Kategorie šišek
Podle výše uvedeného můžeme definovat kategorie šišek do F jako kategorie čárky (Δ ↓ F). Morfismy kužele jsou v této kategorii pouze morfismy. Tato ekvivalence vychází z pozorování, že přirozená mapa mezi konstantními funktory Δ (N), Δ (M) odpovídá morfismu mezi N a M. V tomto smyslu působí diagonální funktor triviálně na šipky. Podobně si zapište definici přirozené mapy z konstantního funktoru Δ (N) až F poskytuje stejný diagram jako výše. Jak by se dalo očekávat, morfismus z kužele (N, ψ) na kužel (L, φ) je jen morfismus N → L tak, aby dojížděly všechny „zjevné“ diagramy (viz první diagram v další části).
Stejně tak kategorie šišek z F je kategorie čárky (F ↓ Δ).
Univerzální kužely
Limity a kolimity jsou definovány jako univerzální kužely. To znamená, šišky, kterými se ovlivňují všechny ostatní šišky. Kužel φ z L na F je univerzální kužel, pokud pro jakýkoli jiný kužel ψ z N na F existuje jedinečný morfismus od ψ do φ.
Ekvivalentně, univerzální kužel k F je univerzální morfismus od Δ do F (myšlenka jako objekt v CJ), nebo a koncový objekt v (Δ ↓F).
Dvojitě kužel φ z F na L je univerzální kužel, pokud pro jakýkoli jiný kužel ψ z F na N existuje jedinečný morfismus od φ do ψ.
Ekvivalentně, univerzální kužel z F je univerzální morfismus z F na Δ nebo an počáteční objekt v (F ↓ Δ).
Hranice F je univerzální kužel Fa colimit je univerzální kužel z F. Stejně jako u všech univerzálních konstrukcí není zaručeno, že univerzální kužely budou existovat pro všechny diagramy F, ale pokud existují, jsou jedinečné až do jedinečného izomorfismu (v kategorii čárky (Δ ↓F)).
Reference
- Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Borceux, Francis (1994). „Limity“. Příručka kategorické algebry. Encyklopedie matematiky a její aplikace 50-51, 53 [tj. 52]. Svazek 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.