Přísná kategorie 2 - Strict 2-category

v teorie kategorií, a přísná kategorie 2 je kategorie s „morfismy mezi morfismy “, tedy kde každý domovská sada sám nese strukturu kategorie. Lze jej formálně definovat jako kategorii obohacený přes Kočka (dále jen kategorie kategorií a funktorů, s monoidální struktura daná produkt kategorií ).

Koncept kategorie 2 byl poprvé představen společností Charles Ehresmann ve své práci na obohacené kategorie v roce 1965.^[1] Obecnější pojem dvoukategorie (nebo slabý 2-kategorie), kde je složení morfismů asociativní pouze do 2-izomorfismu, objevil v roce 1968 Jean Bénabou.^[2]

Definice

2 kategorieC skládá se z:

A třída z 0 buněk (nebo předměty ) $A$ , $B$ , ....
Pro všechny objekty $A$ a $B$ , kategorie ${ displaystyle mathbf {C} (A, B)}$ . Předměty ${ displaystyle f, g: A až B}$ této kategorie 1-buňky a jeho morfismy ${ displaystyle alpha: f Rightarrow g}$ jsou nazývány 2-buňky; složení v této kategorii je obvykle psáno ${ displaystyle circ}$ nebo ${ displaystyle circ _ {1}}$ a zavolal vertikální složení nebo složení podél 1 buňky.
Pro jakýkoli objekt $A$ tady je funktor z terminál kategorie (s jedním objektem a jednou šipkou) do ${ displaystyle mathbf {C} (A, A)}$ , který vybere identita 1 buňka $id A$ na $A$ a jeho 2-buňka identity $id id A$ . V praxi jsou tyto dva často označovány jednoduše $A$ .
Pro všechny objekty $A$ , $B$ a $C$ , existuje funktor ${ displaystyle circ _ {0} colon mathbf {C} (B, C) times mathbf {C} (A, B) až mathbf {C} (A, C)}$ , volala horizontální kompozice nebo složení podél 0 buňky, který je asociativní a připouští^{[je zapotřebí objasnění ]} identita 1 a 2 buněk z $id A$ jako identity. Tady, asociativita pro ${ displaystyle circ _ {0}}$ znamená to vodorovně skládat ${ displaystyle mathbf {C} (C, D) krát mathbf {C} (B, C) krát mathbf {C} (A, B)}$ dvakrát do ${ displaystyle mathbf {C} (A, D)}$ je nezávislé na kterém z těchto dvou ${ displaystyle mathbf {C} (C, D) krát mathbf {C} (B, C)}$ a ${ displaystyle mathbf {C} (B, C) krát mathbf {C} (A, B)}$ jsou složeny jako první. Symbol složení ${ displaystyle circ _ {0}}$ je často vynechán, horizontální složený ze 2 buněk ${ displaystyle alfa dvojtečka f pravá šipka g dvojtečka A až B}$ a ${ displaystyle beta dvojtečka f ' pravá šipka g' dvojtečka B do C}$ být psán jednoduše jako ${ displaystyle beta alfa dvojtečka f'f pravá šipka g'g dvojtečka A do C}$ .

Pojem 2-kategorie se liší od obecnějšího pojmu a dvoukategorie v tomto složení 1-buněk (horizontální složení) se vyžaduje, aby byl přísně asociativní, zatímco v dvoukategorii to musí být asociativní pouze do 2-izomorfismu. Axiomy 2-kategorie jsou důsledky jejich definice jako Kočka- obohacené kategorie:

Vertikální kompozice je asociativní a jednotná, přičemž jednotkami jsou identické 2 buňky $id F$ .
Horizontální kompozice je také (přísně) asociativní a jednotná, přičemž jednotkami jsou identické 2 buňky $id id A$ na 1-buňkách identity $id A$ .
The zákon o výměně drží; tj. je pravda, že pro skládatelné 2 buňky ${ displaystyle alpha, beta, gamma, delta}$

{ displaystyle ( alpha circ _ {0} beta) circ _ {1} ( gamma circ _ {0} delta) = ( alpha circ _ {1} gamma) circ _ { 0} ( beta circ _ {1} delta)}

Zákon o výměně vyplývá ze skutečnosti, že ${ displaystyle circ _ {0}}$ je funktor mezi domácími kategoriemi. Může být nakreslen jako vložení diagramu jak následuje:

	=	=	${ displaystyle circ _ {0}}$
${ displaystyle circ _ {1}}$

Zde levý diagram označuje vertikální složení horizontálních kompozitů, pravý diagram označuje horizontální složení vertikálních kompozitů a diagram ve středu je obvyklým znázorněním obou.

Doktríny

V matematice, a doktrína je prostě 2 kategorie, která je heuristicky považována za systém teorií. Například, algebraické teorie, jak vynalezl William Lawvere, je příkladem nauky multi-tříděné teorie, operády, Kategorie, a klade.

Objekty kategorie 2 se nazývají teorie, 1-morfismy ${ displaystyle f dvojtečka A pravá šipka B}$ jsou nazývány modely z $A$ v $B$ , a 2-morfismy se nazývají morfismy mezi modely.

Rozdíl mezi 2-kategorií a doktrínou je ve skutečnosti pouze heuristický: člověk obvykle nepovažuje 2-kategorii za naplněnou teoriemi jako objekty a modely jako morfismy. Právě tento slovník činí teorii doktrín hodnou.

Například kategorie 2 Kočka kategorií, funktorů a přirozených transformací je nauka. Člověk to okamžitě vidí kategorie předspánku jsou kategorie modelů.

Jako další příklad lze vzít podkategorii Kočka skládající se pouze z kategorií s konečnými produkty jako objekty a funktory pro zachování produktu jako 1-morfismy. Toto je doktrína mnohorazených algebraických teorií. Pokud by někdo chtěl pouze 1-tříděné algebraické teorie, omezil by objekty pouze na ty kategorie, které jsou generovány v rámci produktů jediným objektem.

Doktríny byly objeveny Jonathan Mock Beck.

Viz také

n-kategorie
2-kategorie v nLab

Reference

^ Charles Ehresmann „Catégories et structures, Dunod, Paříž 1965.
^ Jean Bénabou, Úvod do dvojkategorií, v Reports of the Midwest Category Seminar, Springer, Berlin, 1967, str.

Poznámky pod čarou

Zobecněné algebraické modelyClaudia Centazzo.

[1] Charles Ehresmann „Catégories et structures, Dunod, Paříž 1965.

[2] Jean Bénabou, Úvod do dvojkategorií, v Reports of the Midwest Category Seminar, Springer, Berlin, 1967, str.

[1]

[2]