Grothendieckova konstrukce - Grothendieck construction - Wikipedia

The Grothendieckova konstrukce (pojmenoval podle Alexander Grothendieck ) je konstrukce používaná v matematické oblasti teorie kategorií.

Definice

Nechat ${ displaystyle F colon { mathcal {C}} rightarrow mathbf {kočka}}$ být funktor z jakékoli malé kategorie do kategorie malých kategorií. Konstrukce Grothendieck pro ${ displaystyle F}$ je kategorie ${ displaystyle Gamma (F)}$ (také psáno ${ displaystyle textstyle int _ { textstyle { mathcal {C}}} F}$, ${ displaystyle textstyle { mathcal {C}} int F}$ nebo ${ displaystyle F rtimes { mathcal {C}}}$), s

• objekty jsou páry ${ displaystyle (c, x)}$, kde ${ displaystyle c in operatorname {obj} ({ mathcal {C}})}$ a ${ displaystyle x in operatorname {obj} (F (c))}$; a
• morfismy v ${ displaystyle operatorname {hom} _ { Gamma (F)} ((c_ {1}, x_ {1}), (c_ {2}, x_ {2}))}$ být páry ${ displaystyle (f, g)}$ takhle ${ displaystyle f: c_ {1} až c_ {2}}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, a ${ displaystyle g: F (f) (x_ {1}) až x_ {2}}$ v ${ displaystyle F (c_ {2})}$.

Složení morfismů je definováno ${ displaystyle (f, g) circ (f ', g') = (f circ f ', g circ F (f) (g'))}$.

Heslo

„Grothendieckova konstrukce bere strukturovaná, tabulková data a zplošťuje je tím, že je vrhá do jednoho velkého prostoru. Funktor projekce má poté za úkol zapamatovat si, ze které krabice každý údaj původně pochází.“ ^[1]

Příklad

Li ${ displaystyle G}$ je skupina, pak jej lze zobrazit jako a kategorie, ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{G},}$ s jedním objektem a všemi morfismy invertibilní. Nechat ${ displaystyle F: { mathcal {C}} _ ​​{G} to mathbf {kočka}}$ být funktorem, jehož hodnota je jediným předmětem ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{G}}$ je kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{H},}$ kategorie představující skupinu ${ displaystyle H}$ stejně. Požadavek, že ${ displaystyle F}$ být funktorem je pak ekvivalentní specifikaci a skupinový homomorfismus ${ displaystyle varphi: G k operatorname {Aut} (H),}$ kde ${ displaystyle operatorname {Aut} (H)}$ označuje skupinu automorfismy z ${ displaystyle H.}$ A konečně konstrukce Grothendieck, ${ displaystyle F rtimes { mathcal {C}} _ ​​{G},}$ má za následek kategorii s jedním objektem, kterou lze znovu zobrazit jako skupinu, a v tomto případě je výsledná skupina (isomorfní) polopřímý produkt ${ displaystyle H rtimes _ { varphi} G.}$

Viz také

• Kategorie prvků

Reference

• Mac Lane a Moerdijk, Snopy v geometrii a logice, str. 44.
• R. W. Thomason (1979). Homotopické kolimity v kategorii malých kategorií. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85, pp 91–109. doi: 10.1017 / S0305004100055535.

Charakteristický

externí odkazy

• Grothendieckova konstrukce v nLab

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.