Opak kategorie - Opposite category

v teorie kategorií, pobočka matematika, opačná kategorie nebo duální kategorie C^op daného kategorie C vzniká obrácením morfismy, tj. zaměnit zdroj a cíl každého morfismu. Provedením obrácení dvakrát se získá původní kategorie, takže opakem opačné kategorie je původní kategorie sama. V symbolech, ${ displaystyle (C ^ { text {op}}) ^ { text {op}} = C}$ .

Příklady

Příkladem je obrácení směru nerovností v a částečná objednávka. Takže když X je soubor a ≤ vztah částečného řádu, můžeme definovat nový vztah částečného řádu ≤^op podle

X ≤^op y kdyby a jen kdyby y ≤ X.

Nový řád se běžně nazývá duální řád ≤ a je většinou označován ≥. Proto, dualita hraje důležitou roli v teorii řádu a každý čistě teoretický koncept řádu má dvojí. Například existují protilehlé páry dítě / rodič, potomek / předek, infimum /supremum, down-set /naštvaný, ideál /filtr atd. Tato objednávková teoretická dualita je zase zvláštním případem konstrukce opačných kategorií, jak může být každá objednaná množina rozuměl jako kategorie.

Vzhledem k poloskupina (S, ·), Jeden obvykle definuje opačnou poloskupinu jako (S, ·)^op = (S, *) kde X*y ≔ y·X pro všechny X,y v S. Takže i pro poloskupiny existuje silný princip duality. Je zřejmé, že stejná konstrukce funguje i pro skupiny a je známá v teorie prstenů, kde se aplikuje na multiplikativní poloskupinu prstenu, aby se získal opačný prsten. Tento proces lze opět popsat vyplněním poloskupiny na monoid, přičemž odpovídající opačné kategorie a poté případně vyjmutí jednotky z tohoto monoidu.
Kategorie Booleovy algebry a booleovský homomorfismy je ekvivalent na opak kategorie Kamenné prostory a spojité funkce.
Kategorie afinní schémata je ekvivalent na opak kategorie komutativní prsteny.
The Pontryaginova dualita omezuje na rovnocennost mezi kategorií kompaktní Hausdorff abelian topologické skupiny a opak kategorie (diskrétních) abelianských skupin.
Podle věty Gelfand – Neumark, kategorie lokalizovatelné měřitelné prostory (s měřitelné mapy ) je ekvivalentní kategorii komutativní Von Neumannovy algebry (s normální unital homomorfismy * -algebry ).^[1]

Vlastnosti

Naproti konzervuje produkty:

{ displaystyle (C krát D) ^ { text {op}} cong C ^ { text {op}} krát D ^ { text {op}}}

(vidět kategorie produktů )

Naproti zavařeniny funktory:

{ displaystyle ( mathrm {Funct} (C, D)) ^ { text {op}} cong mathrm {Funct} (C ^ { text {op}}, D ^ { text {op}} )}

^[2]^[3] (vidět kategorie funktorů, opačný funktor )

Naproti konzervuje plátky:

{ displaystyle (F downarrow G) ^ { text {op}} cong (G ^ { text {op}} downarrow F ^ { text {op}})}

(vidět kategorie čárky )

Viz také

Reference

^ „Existuje úvod do teorie pravděpodobnosti ze strukturální / kategorické perspektivy?“. MathOverflow. Citováno 25. října 2010.
^ H. Herrlich, G. E. Strecker, Teorie kategorie, 3. vydání, Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6, str. 99.
^ O. Wyler, Poznámky k přednášce o Topoi a Quasitopoi, World Scientific, 1991, s. 8.

Opak kategorie v nLab
Danilov, V.I. (2001) [1994], „Duální kategorie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York. str. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
Awodey, Steve (2010). Teorie kategorií (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. str.53 –55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.

[MO1-1] „Existuje úvod do teorie pravděpodobnosti ze strukturální / kategorické perspektivy?“. MathOverflow. Citováno 25. října 2010.

[2] H. Herrlich, G. E. Strecker, Teorie kategorie, 3. vydání, Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6, str. 99.

[3] O. Wyler, Poznámky k přednášce o Topoi a Quasitopoi, World Scientific, 1991, s. 8.

[1]

[2]

[3]