Spektrální teorie kompaktních operátorů - Spectral theory of compact operators

Tento článek možná bude muset být přepsáno vyhovět požadavkům Wikipedie standardy kvality, protože je napsán jako učebnice matematiky, nikoli jako encyklopedický článek. Můžeš pomoct. The diskusní stránka může obsahovat návrhy. (Září 2017)

v funkční analýza, kompaktní operátory jsou lineární operátory na Banachových prostorech, které mapují ohraničené množiny na relativně kompaktní sady. V případě Hilbertova prostoru H, kompaktní operátory jsou uzavření operátorů konečné pozice v topologii jednotného operátoru. Obecně platí, že operátoři v nekonečně rozměrných prostorech mají vlastnosti, které se neobjevují v případě konečných rozměrů, tj. Pro matice. Kompaktní operátory jsou pozoruhodné v tom, že sdílejí tolik podobnosti s maticemi, jaké lze očekávat od obecného operátora. Zejména spektrální vlastnosti kompaktních operátorů se podobají vlastnostem čtvercových matic.

Tento článek nejprve shrnuje odpovídající výsledky z maticového případu, než bude diskutováno o spektrálních vlastnostech kompaktních operátorů. Čtenář uvidí, že většina příkazů se přenáší doslovně z maticového případu.

Spektrální teorie kompaktních operátorů byla poprvé vyvinuta F. Riesz.

Spektrální teorie matic

Klasickým výsledkem pro čtvercové matice je Jordanův kanonický tvar, který uvádí následující:

Teorém. Nechat A být n × n komplexní matice, tj. A lineární operátor působící na Cⁿ. Li λ₁...λ_k jsou zřetelná vlastní čísla A, pak Cⁿ lze rozložit na invariantní podprostory A

${displaystyle mathbf {C} ^ {n} = igoplus _ {i = 1} ^ {k} Y_ {i}.}$

Podprostor Y_i = Ker(λ_i − A)^m kde Ker(λ_i − A)^m = Ker(λ_i − A)^m+1. Kromě toho fungují póly resolventu ζ → (ζ − A)⁻¹ se shoduje s množinou vlastních čísel A.

Kompaktní operátory

Prohlášení

Důkaz

Předběžné lemmy

Věta tvrdí několik vlastností operátoru λ − C kde λ ≠ 0. Bez ztráty obecnosti lze předpokládat, že λ = 1. Proto uvažujeme Já − C, Já jako operátor identity. Důkaz bude vyžadovat dvě lemata.

Tato skutečnost bude opakovaně použita v argumentu vedoucím k teorému. Všimněte si, že když X je Hilbertův prostor, lemma je triviální.

Uzavření důkazu

Invariantní podprostory

Stejně jako v případě matice vedou výše uvedené spektrální vlastnosti k rozkladu X do invariantních podprostorů kompaktního operátora C. Nechat λ ≠ 0 je vlastní hodnota C; tak λ je izolovaný bod σ(C). Pomocí holomorfního funkčního počtu definujte Rieszova projekce E(λ) od

${displaystyle E (lambda) = {1 nad 2pi i} int _ {gamma} (xi -C) ^ {- 1} dxi}$

kde y je obrys Jordan, který pouze uzavírá λ z σ(C). Nechat Y být podprostorem Y = E(λ)X. C omezeno na Y je kompaktní invertibilní operátor se spektrem {λ}, proto Y je konečně-dimenzionální. Nechat ν být takový, že Ker(λ − C)^ν = Ker(λ − C)^{ν + 1}. Prohlédnutím jordánské formy vidíme, že (λ − C)^ν = 0 while (λ − C)^{ν − 1} ≠ 0. Laurentova řada mapování resolventů se soustředila na λ ukázat to

${displaystyle E (lambda) (lambda -C) ^ {u} = (lambda -C) ^ {u} E (lambda) = 0.}$

Tak Y = Ker(λ − C)^ν.

The E(λ) uspokojit E(λ)² = E(λ), takže jsou skutečně operátory projekce nebo spektrální projekce. Podle definice dojíždějí C. navíc E(λ)E(μ) = 0, pokud λ ≠ μ.

• Nechat X(λ) = E(λ)X pokud λ je nenulová vlastní hodnota. Tím pádem X(λ) je konečně-dimenzionální invariantní podprostor, zobecněný vlastní prostor λ.
• Nechat X(0) je křižovatkou jader E(λ). Tím pádem X(0) je uzavřený podprostor invariantní pod C a omezení C na X(0) je kompaktní operátor se spektrem {0}.

Provozovatelé s kompaktním výkonem

Li B je operátor na Banachově prostoru X takhle Bⁿ je pro některé kompaktní n, pak platí i výše prokázaná věta B.

Viz také

• Spektrální věta
• Spektrální teorie normálních C * -algeber

Reference

• John B. Conway, kurz funkční analýzy, postgraduální texty z matematiky 96Springer 1990. ISBN  0-387-97245-5