Vnější kovariantní derivát - Exterior covariant derivative - Wikipedia

v matematika, vnější kovarianční derivace je obdobou vnější derivace která bere v úvahu přítomnost a spojení.

Definice

Nechat G být ležovou skupinou a P → M být ředitel školy G- svazek na hladké potrubí M. Předpokládejme, že existuje spojení na P; tím se získá přirozený přímý rozklad součtu ${ displaystyle T_ {u} P = H_ {u} oplus V_ {u}}$ každého tečného prostoru do horizontální a vertikální podprostory. Nechat ${ displaystyle h: T_ {u} P až H_ {u}}$ být projekcí do vodorovného podprostoru.

Li ϕ je k-formulář na P s hodnotami ve vektorovém prostoru PROTI, pak jeho vnější kovariantní derivace Dϕ je forma definovaná

${ displaystyle D phi (v_ {0}, v_ {1}, tečky, v_ {k}) = d phi (hv_ {0}, hv_ {1}, tečky, hv_ {k})}$

kde proti_i jsou tečné vektory k P na u.

Předpokládejme to ρ : G → GL (PROTI) je zastoupení z G na vektorovém prostoru PROTI. Li ϕ je ekvivariant V tom smyslu, že

${ displaystyle R_ {g} ^ {*} phi = rho (g) ^ {- 1} phi}$

kde ${ displaystyle R_ {g} (u) = ug}$, pak Dϕ je tenzorový (k + 1)-formulář na P typu ρ: je ekvivariantní a horizontální (forma ψ je vodorovná, pokud ψ(proti₀, ..., proti_k) = ψ(hv₀, ..., hv_k).)

Podle zneužití notace, rozdíl ρ na prvku identity může být opět označen ρ:

${ displaystyle rho: { mathfrak {g}} do { mathfrak {gl}} (V).}$

Nechat ${ displaystyle omega}$ být připojení v jedné formě a ${ displaystyle rho ( omega)}$ reprezentace spojení v ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (V).}$ To znamená, ${ displaystyle rho ( omega)}$ je ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$- hodnotná forma, mizející na vodorovném podprostoru. Li ϕ je tenzor k-forma typu ρ, pak

${ Displaystyle D phi = d phi + rho ( omega) cdot phi,}$^[1]

kde podle zápisu v Ležácká algebra oceňovaná diferenciální forma § Operace, psali jsme

${ displaystyle ( rho ( omega) cdot phi) (v_ {1}, tečky, v_ {k + 1}) = {1 nad (1 + k)!} součet _ { sigma} operatorname {sgn} ( sigma) rho ( omega (v _ { sigma (1)})) phi (v _ { sigma (2)}, dots, v _ { sigma (k + 1)} ).}$

Na rozdíl od obvyklých vnější derivace, který umocňuje druhou mocninu na 0, vnější kovariantní derivace nikoli. Obecně platí, že jeden má pro tenzorovou nulovou formu ϕ,

${ displaystyle D ^ {2} phi = F cdot phi.}$^[2]

kde F = ρ(Ω) je reprezentace^{[je zapotřebí objasnění ]} v ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$ z zakřivení dvou tvarů Ω. Forma F se někdy označuje jako tenzor intenzity pole, analogicky s rolí, ve které hraje elektromagnetismus. Všimněte si, že D² zmizí pro ploché připojení (tj. kdy Ω = 0).

Li ρ : G → GL (Rⁿ), pak lze psát

${ displaystyle rho ( Omega) = F = součet {F ^ {i}} _ {j} {e ^ {j}} _ {i}}$

kde ${ displaystyle {e ^ {i}} _ {j}}$ je matice s 1 na (i, j)-tý záznam a nula na ostatních záznamech. Matice ${ displaystyle {F ^ {i}} _ {j}}$ jejichž položky jsou ve 2 formách P se nazývá zakřivení matice.

Vnější kovariantní derivát pro vektorové svazky

Když ρ : G → GL (PROTI) je zastoupení, lze vytvořit přidružený balíček E = P ×_ρ PROTI. Pak vnější kovariantní derivace D dané spojením na P indukuje vnější kovariantní derivát (někdy nazývaný vnější připojení ) na přidruženém balíčku, tentokrát pomocí nabla symbol:

${ displaystyle nabla: Gamma (M, E) až Gamma (M, T ^ {*} M ot E)}$

Zde Γ označuje prostor místní sekce vektorového svazku. Rozšíření se provádí prostřednictvím korespondence mezi E-hodnotící formy a tenzorické formy typu ρ (vidět tenzorové formy na hlavních svazcích.)

Vyžadující ∇ k uspokojení Leibnizova pravidla ∇ také působí na jakékoli E- hodnotná forma; je tedy uveden na rozložitelných prvcích prostoru ${ displaystyle Omega ^ {k} (M; E) = Gamma ( Lambda ^ {k} (T ^ {*} M) krát E)}$ z ${ displaystyle E}$-hodnota k-formuje podle

${ Displaystyle nabla ( omega otimes s) = (d omega) otimes s + (- 1) ^ {k} omega klín nabla s in Omega ^ {k + 1} (M; E )}$.

Pro sekce s z E, také jsme nastavili

${ displaystyle nabla _ {X} s = i_ {X} nabla s}$

kde ${ displaystyle i_ {X}}$ je kontrakce od X.

Naopak, vzhledem k vektorovému svazku E, jeden může vzít svazek rámů, což je hlavní svazek, a tak získáte vnější kovariantní diferenciaci na E (v závislosti na připojení). Identifikace tenzorových forem a E- hodnotné formy, lze to ukázat

${ displaystyle -2F (X, Y) s = left ([ nabla _ {X}, nabla _ {Y}] - nabla _ {[X, Y]} right) s}$

které lze snadno rozpoznat jako definici Riemannův tenzor zakřivení na Riemannovy rozdělovače.

Příklad

• Bianchiho druhá identita, který říká, že vnější kovariantní derivace Ω je nula (tj. DΩ = 0) lze uvést jako: ${ displaystyle d Omega + operatorname {ad} ( omega) cdot Omega = d Omega + [ omega klín Omega] = 0}$.

Poznámky

Reference

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Základy diferenciální geometrie, Sv. 1 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.