Hudební izomorfismus - Musical isomorphism

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Hudební izomorfismus“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika - konkrétněji v diferenciální geometrie —The hudební izomorfismus (nebo kanonický izomorfismus) je izomorfismus mezi tečný svazek ${displaystyle mathrm {T} M}$ a kotangenský svazek ${displaystyle mathrm {T} ^ {*} M}$ a pseudo-Riemannovo potrubí vyvolané jeho metrický tenzor. Existují podobné izomorfismy symplektická potrubí. Termín hudební odkazuje na použití symbolů ${plochý styl zobrazení}$ (plochý) a ${displaystyle ostrý}$ (ostrý).^[1][2] Přesný původ této notace není znám, ale termín muzikálnost v této souvislosti by bylo způsobeno Marcel Berger.^[3]

v kovariantní a kontrariantní zápis, je také známý jako zvyšování a snižování indexů.

Diskuse

Nechat (M, G) být pseudo-Riemannovo potrubí. Předpokládat {E_i} je pohyblivý tečný rám (viz také hladký rám ) pro tečný svazek TM s, jako duální rám (viz také dvojí základ ), pohyblivý rám (A pohyblivý tečný rám pro kotangenský svazek ${displaystyle mathrm {T} ^ {*} M}$. Viz také kostra ) {Eⁱ}. Pak, lokálně, můžeme vyjádřit pseudoriemanianská metrika (což je 2-variantní tenzorové pole to je symetrický a nedegenerovat ) tak jako G = G_ijEⁱ ⊗ E^j (kde zaměstnáváme Konvence Einsteinova součtu ).

Vzhledem k vektorové pole X = XⁱE_i , definujeme jeho byt podle

${displaystyle X ^ {flat}: = g_ {ij} X ^ {i}, mathbf {e} ^ {j} = X_ {j}, mathbf {e} ^ {j}.}$

Toto se označuje jako „snížení indexu". Používání tradiční notace se symbolem diamantové závorky pro vnitřní produkt definován Gzískáme poněkud transparentnější vztah

${displaystyle X ^ {flat} (Y) = langle X, Yangle}$

pro všechna vektorová pole X a Y.

Stejným způsobem, vzhledem k covector pole ω = ω_iEⁱ , definujeme jeho ostrý podle

${displaystyle omega ^ {sharp}: = g ^ {ij} omega _ {i} mathbf {e} _ {j} = omega ^ {j} mathbf {e} _ {j},}$

kde G^ij jsou komponenty z inverzní metrický tenzor (dáno položkami inverzní matice na G_ij ). Odebírání ostrosti pole covector se označuje jako „zvýšení indexuVe vnitřní notaci produktu to zní

${displaystyle {igl langle} omega ^ {sharp}, Y {igr úhel} = omega (Y),}$

pro jakékoli pole covector ω a jakékoli vektorové pole Y.

Díky této konstrukci máme dva vzájemně inverzní izomorfismy

${displaystyle flat: {m {T}} M o {m {T}} ^ {*} M, qquad sharp: {m {T}} ^ {*} M o {m {T}} M.}$

Toto jsou izomorfismy vektorové svazky a proto máme pro každého p v M, vzájemně inverzní izomorfismy vektorového prostoru mezi T_pM a T^∗
_pM.

Rozšíření na tenzorové výrobky

Hudební izomorfismy lze rozšířit i na svazky

${displaystyle igotimes ^ {k} {m {T}} M, qquad igotimes ^ {k} {m {T}} ^ {*} M.}$

Je třeba uvést, který index má být zvýšen nebo snížen. Zvažte například (0, 2)-tenzorové pole X = X_ijEⁱ ⊗ E^j. Zvyšováním druhého indexu získáme (1, 1)-tenzorové pole

${displaystyle X ^ {sharp} = g ^ {jk} X_ {ij}, {m {e}} ^ {i} otimes {m {e}} _ {k}.}$

Rozšíření na k-vektory a k-formuláře

V kontextu vnější algebra, může být definováno rozšíření hudebních operátorů ⋀PROTI a jeho dvojí ⋀^∗
 PROTI, který s menšími zneužití notace, mohou být označeny stejně a jsou opět vzájemnými inverzemi:^[4]

${displaystyle flat: {igwedge} V o {igwedge} ^ {*} V, qquad sharp: {igwedge} ^ {*} V o {igwedge} V,}$

definován

${displaystyle (Xwedge ldots wedge Z) ^ {flat} = X ^ {flat} wedge ldots wedge Z ^ {flat}, qquad (alpha wedge ldots wedge gamma) ^ {sharp} = alpha ^ {sharp} wedge ldots wedge gamma ^ {ostrý}.}$

V tomto rozšíření, ve kterém ♭ mapy p-vektory do p-vektory a ♯ mapy p-vektory do p-vektory, všechny indexy a zcela antisymetrický tenzor jsou současně zvedány nebo spouštěny, takže není třeba uvádět žádný index:

${displaystyle Y ^ {sharp} = (Y_ {idots k} mathbf {e} ^ {i} otimes tečky otimes mathbf {e} ^ {k}) ^ {sharp} = g ^ {ir} tečky g ^ {kt} , Y_ {idots k}, mathbf {e} _ {r} jiné tečky jiné časy mathbf {e} _ {t}.}$

Stopa tenzoru metrickým tenzorem

Vzhledem k typu (0, 2) tenzorové pole X = X_ijEⁱ ⊗ E^j, definujeme stopa X přes metrický tenzor G podle

${displaystyle operatorname {tr} _ {g} (X): = operatorname {tr} (X ^ {sharp}) = operatorname {tr} (g ^ {jk} X_ {ij}, {f {e}} ^ { i} další {f {e}} _ {k}) = g ^ {ji} X_ {ij} = g ^ {ij} X_ {ij}.}$

Všimněte si, že definice stopy je nezávislá na výběru indexu, který se má zvýšit, protože metrický tenzor je symetrický.

Viz také

• Dualita (matematika)
• Zvyšování a snižování indexů
• Duální prostor § Bilineární produkty a duální prostory
• Hodge dual
• Vektorový svazek
• Flat (hudba) a Sharp (hudba) o znameních ♭ a ♯

Citace

Reference

• Lee, J. M. (2003). Úvod do hladkých potrubí. Springer postgraduální texty z matematiky. 218. ISBN  0-387-95448-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lee, J. M. (1997). Riemannovy rozdělovače - úvod do zakřivení. Springer postgraduální texty z matematiky. 176. New York · Berlín · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN  978-0-387-98322-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). Úvod do Cliffordských algeber a spinálů. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-878-292-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)