v elektromagnetismus, elektromagnetický tenzor nebo tenzor elektromagnetického pole (někdy nazývaný tenzor intenzity pole, Faradayův tenzor nebo Maxwell bivector) je matematický objekt, který popisuje elektromagnetické pole v časoprostoru. Tenzor pole byl poprvé použit po čtyřrozměrném tenzor formulace speciální relativita byl představen Hermann Minkowski. Tenzor umožňuje psát související fyzikální zákony velmi stručně.
Definice
Elektromagnetický tenzor, konvenčně označený F, je definován jako vnější derivace z elektromagnetický čtyř potenciál, A, diferenciální 1 forma:[1][2]

Proto, F je diferenciální 2-forma - to je antisymetrické pole tenzoru 2. stupně - na Minkowského prostoru. Ve formě komponenty,

kde
je čtyřstupňový a
je čtyři potenciály.
SI jednotky pro Maxwellovy rovnice a znaková konvence fyziků částic pro podpis z Minkowského prostor (+ − − −), budou použity v tomto článku.
Vztah s klasickými poli
The elektrický a magnetické pole lze získat ze složek elektromagnetického tenzoru. Vztah je nejjednodušší v Kartézské souřadnice:

kde C je rychlost světla a

kde
je Tenzor Levi-Civita. To dává pole v určitém referenčním rámci; pokud dojde ke změně referenčního rámce, budou komponenty elektromagnetického tenzoru změněny transformovat kovariantně a pole v novém rámci budou dána novými komponentami.
V rozporu matice formulář,

Kovarianční forma je dána vztahem snižování indexu,

Faradayův tenzor Hodge dual je

Od nynějška v tomto článku, když jsou zmíněna elektrická nebo magnetická pole, předpokládá se kartézský souřadný systém a elektrická a magnetická pole jsou vzhledem k referenčnímu rámci souřadnicového systému, jako ve výše uvedených rovnicích.
Vlastnosti
Maticová forma tenzoru pole poskytuje následující vlastnosti:[3]
- Antisymetrie:

- Šest nezávislých komponent: V karteziánských souřadnicích se jedná pouze o tři prostorové složky elektrického pole (EX, E.y, E.z) a magnetické pole (BX, By, Bz).
- Vnitřní produkt: Pokud jeden tvoří vnitřní produkt tenzoru intenzity pole a Lorentzův invariant je vytvořen

což znamená, že toto číslo se od jednoho nemění referenční rámec jinému. - Pseudoscalar neměnný: Produkt tenzoru
s jeho Hodge dual
dává Lorentzův invariant:
kde
je hodnost 4 Symbol Levi-Civita. Znaménko pro výše uvedené závisí na konvenci použité pro symbol Levi-Civita. Konvence použitá zde je
. - Rozhodující:

což je úměrné čtverci výše uvedeného invariantu.
Význam
Tento tenzor zjednodušuje a snižuje Maxwellovy rovnice jako čtyři rovnice vektorového počtu do dvou rovnic tenzorového pole. v elektrostatika a elektrodynamika, Gaussův zákon a Ampereův zákon o oběhu jsou příslušně:

a redukovat na nehomogenní Maxwellovu rovnici:
, kde
je čtyřproudový.
v magnetostatika a magnetodynamika, Gaussův zákon pro magnetismus a Maxwellova – Faradayova rovnice jsou příslušně:

které se snižují na Bianchi identita:

nebo pomocí indexová notace s hranatými závorkami[poznámka 1] pro antisymetrickou část tenzoru:
![partial_ {[ alpha} F_ { beta gamma]} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f11586830935cfd6dce389116d57ecec6cc70d2)
Relativita
Tenzor pole odvozuje svůj název od skutečnosti, že bylo zjištěno, že elektromagnetické pole poslouchá zákon tenzorové transformace, tato obecná vlastnost fyzikálních zákonů byla uznána po příchodu speciální relativita. Tato teorie stanovila, že všechny zákony fyziky by měly mít stejnou formu ve všech souřadnicových systémech - to vedlo k zavedení tenzory. Tenzorový formalismus také vede k matematicky jednodušší prezentaci fyzikálních zákonů.
Nehomogenní Maxwellova rovnice vede k rovnice spojitosti:

naznačující zachování poplatku.
Maxwellovy zákony výše lze zobecnit na zakřivený časoprostor jednoduchou výměnou částečné derivace s kovarianční deriváty:
a 
kde středník notace představuje kovariantní derivaci, na rozdíl od částečné derivace. Tyto rovnice jsou někdy označovány jako zakřivený prostor Maxwellovy rovnice. Druhá rovnice opět znamená zachování náboje (v zakřiveném časoprostoru):

Lagrangeova formulace klasického elektromagnetismu
Klasický elektromagnetismus a Maxwellovy rovnice lze odvodit z akce:

kde
je v prostoru a čase.
To znamená Lagrangian hustota je

Dva střední členy v závorkách jsou stejné, stejně jako dva vnější členy, takže Lagrangeova hustota je

Nahrazením to do Euler-Lagrangeova rovnice pohybu pro pole:

Euler-Lagrangeova rovnice se tedy stává:

Množství v závorkách výše je pouze tenzor pole, takže se to nakonec zjednoduší

Tato rovnice je dalším způsobem psaní dvou nehomogenních Maxwellovy rovnice (a to, Gaussův zákon a Ampereův zákon o oběhu ) pomocí substitucí:

kde i, j, k vezměte hodnoty 1, 2 a 3.
Hamiltonova forma
The Hamiltonian hustotu lze získat s obvyklým vztahem,
.
Kvantová elektrodynamika a teorie pole
The Lagrangian z kvantová elektrodynamika přesahuje klasický Lagrangian ustavený v relativitě a zahrnuje vytvoření a zničení fotonů (a elektronů):

kde první část na pravé straně, obsahující Dirac spinor
, představuje Dirac pole. v kvantová teorie pole používá se jako šablona pro tenzor intenzity pole měřidla. Tím, že je zaměstnán vedle místní interakce Lagrangian, opakuje svou obvyklou roli v QED.
Viz také
Poznámky
- ^ Podle definice,
![T _ {[abc]} = frac {1} {3!} (T_ {abc} + T_ {bca} + T_ {cab} - T_ {acb} - T_ {bac} - T_ {cba})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530f7af52387f9cb71942cdd2a1c79a92cfad699)
Takže když

pak
![begin {zarovnat}
0 & = begin {matrix} frac {2} {6} end {matrix} ( partial_ gamma F_ { alpha beta} + partial_ alpha F_ { beta gamma} + částečné_ beta F_ { gamma alpha})
& = begin {matrix} frac {1} {6} end {matrix} { partial_ gamma (2F_ { alpha beta}) + partial_ alpha (2F_ { beta gamma}) + částečné_ beta (2F_ { gama alfa}) }
& = begin {matrix} frac {1} {6} end {matrix} { partial_ gamma (F_ { alpha beta} - F_ { beta alpha}) + partial_ alpha (F_ { beta gamma} - F_ { gamma beta}) + částečné_ beta (F_ { gamma alpha} - F_ { alpha gamma}) }
& = begin {matrix} frac {1} {6} end {matrix} ( partial_ gamma F_ { alpha beta} + partial_ alpha F_ { beta gamma} + částečné_ beta F_ { gamma alpha} - částečné_ gamma F_ { beta alfa} - částečné_ alpha F_ { gamma beta} - částečné_ beta F_ { alfa gamma})
& = částečné _ {[ gamma} F_ { alpha beta]}
end {zarovnat}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b96c5ee0db34726c4c49aa0c617a8903fbe90d)
Reference