Tenzory v křivočarých souřadnicích - Tensors in curvilinear coordinates

Křivočaré souřadnice lze formulovat v tenzorový počet s důležitými aplikacemi v fyzika a inženýrství, zejména pro popis transportu fyzikálních veličin a deformace hmoty v mechanika tekutin a mechanika kontinua.

Vektorová a tenzorová algebra v trojrozměrných křivočarých souřadnicích

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Elementární vektorová a tenzorová algebra v křivočarých souřadnicích se používá v některé ze starších vědeckých literatur v mechanika a fyzika a může být nepostradatelný pro porozumění práci z počátku a poloviny 20. století, například textu od Greena a Zerny.^[1] V této části jsou uvedeny některé užitečné vztahy v algebře vektorů a tenzorů druhého řádu v křivočarých souřadnicích. Notace a obsah jsou primárně z Ogdenu,^[2] Naghdi,^[3] Simmonds,^[4] Zelená a Zerna,^[1] Basar a Weichert,^[5] a Ciarlet.^[6]

Transformace souřadnic

Zvažte dva souřadnicové systémy s proměnnými souřadnic ${ displaystyle (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})}$ a ${ displaystyle (Z ^ { akutní {1}}, Z ^ { akutní {2}}, Z ^ { akutní {3}})}$ , což v krátkosti představíme ${ displaystyle Z ^ {i}}$ a ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ respektive a vždy předpokládat náš index ${ displaystyle i}$ probíhá od 1 do 3. Budeme předpokládat, že tyto souřadnicové systémy jsou zakotveny v trojrozměrném euklidovském prostoru. Souřadnice ${ displaystyle Z ^ {i}}$ a ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ lze použít k vzájemnému vysvětlení, protože když se pohybujeme podél souřadnicové čáry v jednom souřadnicovém systému, můžeme použít druhý k popisu naší polohy. Tímto způsobem souřadnice ${ displaystyle Z ^ {i}}$ a ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ jsou vzájemnými funkcemi

${ displaystyle Z ^ {i} = f ^ {i} (Z ^ { akutní {1}}, Z ^ { akutní {2}}, Z ^ { akutní {3}})}$ pro ${ displaystyle i = 1,2,3}$

které lze zapsat jako

${ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} (Z ^ { akutní {1}}, Z ^ { akutní {2}}, Z ^ { akutní {3}}) = Z ^ {i } (Z ^ { akutní {i}})}$ pro ${ displaystyle { akutní {i}}, i = 1,2,3}$

Tyto tři rovnice dohromady se také nazývají transformace souřadnic z ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ na ${ displaystyle Z ^ {i}}$ Označme tuto transformaci ${ displaystyle T}$ . Budeme tedy představovat transformaci ze souřadnicového systému s proměnnými souřadnic ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ do souřadnicového systému se souřadnicemi ${ displaystyle Z ^ {i}}$ tak jako:

${ displaystyle Z = T ({ akutní {z}})}$

Podobně můžeme reprezentovat ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ jako funkce ${ displaystyle Z ^ {i}}$ jak následuje:

${ displaystyle Z ^ { akutní {i}} = g ^ { akutní {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})}$ pro ${ displaystyle { akutní {i}} = 1,2,3}$

podobně můžeme volné rovnice psát kompaktněji

${ displaystyle Z ^ { akutní {i}} = Z ^ { akutní {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3}) = Z ^ { akutní {i} } (Z ^ {i})}$ pro ${ displaystyle { akutní {i}}, i = 1,2,3}$

Tyto tři rovnice dohromady se také nazývají transformace souřadnic z ${ displaystyle Z ^ {i}}$ na ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ . Označme tuto transformaci ${ displaystyle S}$ . Transformaci ze souřadnicového systému budeme představovat pomocí souřadnicových proměnných ${ displaystyle Z ^ {i}}$ do souřadnicového systému se souřadnicemi ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ tak jako:

${ displaystyle { akutní {z}} = S (z)}$

Pokud transformace ${ displaystyle T}$ je bijektivní, pak nazýváme obraz transformace, jmenovitě ${ displaystyle Z ^ {i}}$ , sada přípustné souřadnice pro ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ . Li ${ displaystyle T}$ je lineární souřadnicový systém ${ displaystyle Z ^ {i}}$ se bude jmenovat afinní souřadnicový systém ,v opačném případě ${ displaystyle Z ^ {i}}$ se nazývá a křivočarý souřadnicový systém

Jacobian

Jak nyní vidíme, že souřadnice ${ displaystyle Z ^ {i}}$ a ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$ jsou funkce navzájem, můžeme vzít derivaci souřadnicové proměnné ${ displaystyle Z ^ {i}}$ vzhledem k proměnné souřadnic ${ displaystyle Z ^ { akutní {i}}}$

zvážit

${ displaystyle částečné {Z ^ {i}} nad částečné {Z ^ { akutní {i}}}}$ ${ displaystyle { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}}}$ ${ displaystyle J _ { akutní {i}} ^ {i}}$ pro ${ displaystyle { akutní {i}}, i = 1,2,3}$ , tyto deriváty mohou být uspořádány do matice, řekněme ${ displaystyle J}$ ,ve kterém ${ displaystyle J _ { akutní {i}} ^ {i}}$ je prvek v ${ displaystyle i ^ {th}}$ řádek a ${ displaystyle { akutní {i}} ^ {th}}$ sloupec

${ displaystyle J}$ ${ displaystyle =}$ ${ displaystyle { begin {pmatrix} J _ { akutní {1}} ^ {1} & J _ { akutní {2}} ^ {1} & J _ { akutní {3}} ^ {1} J _ { akutní {1}} ^ {2} & J _ { akutní {2}} ^ {2} & J _ { akutní {3}} ^ {2} J _ { akutní {1}} ^ {3} & J _ { akutní {2}} ^ {3} & J _ { akutní {3}} ^ {3} end {pmatrix}}}$ ${ displaystyle =}$ ${ displaystyle { begin {pmatrix} { částečné {Z ^ {1}} nad částečné {Z ^ { akutní {1}}}} & { částečné {Z ^ {1}} nad částečné {Z ^ { akutní {2}}}} & { částečné {Z ^ {1}} nad částečné {Z ^ { akutní {3}}}} { částečné {Z ^ {2} } nad částečné {Z ^ { akutní {1}}}} & { částečné {Z ^ {2}} nad částečné {Z ^ { akutní {2}}}} & { částečné {Z ^ {2}} nad částečné {Z ^ { akutní {3}}}} { částečné {Z ^ {3}} nad částečné {Z ^ { akutní {1}}}} & { částečné {Z ^ {3}} nad částečné {Z ^ { akutní {2}}}} & { částečné {Z ^ {3}} nad částečné {Z ^ { akutní {3} }}} end {pmatrix}}}$

Výsledná matice se nazývá Jacobova matice.

Vektory v křivočarých souřadnicích

Nechť (b₁, b₂, b₃) být libovolným základem pro trojrozměrný euklidovský prostor. Obecně platí, že základní vektory jsou ani jednotkové vektory, ani vzájemně kolmé. Musí však být lineárně nezávislé. Pak vektor proti lze vyjádřit jako^[4]^(p27)

{ displaystyle mathbf {v} = v ^ {k} , mathbf {b} _ {k}}

Komponenty proti^k jsou protikladný složky vektoru proti.

The vzájemný základ (b¹, b², b³) je definován vztahem ^[4]^{(str. 28–29)}

{ displaystyle mathbf {b} ^ {i} cdot mathbf {b} _ {j} = delta _ {j} ^ {i}}

kde δⁱ _j je Kroneckerova delta.

Vektor proti lze také vyjádřit na základě vzájemnosti:

{ displaystyle mathbf {v} = v_ {k} ~ mathbf {b} ^ {k}}

Komponenty proti_k jsou kovariantní složky vektoru ${ displaystyle mathbf {v}}$ .

Tenzory druhého řádu v křivočarých souřadnicích

Tenzor druhého řádu lze vyjádřit jako

{ displaystyle { boldsymbol {S}} = S ^ {ij} ~ mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} = S_ {~ j} ^ {i} ~ mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} ^ {~ j} ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} _ {j} = S_ {ij} ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j}}

Komponenty S^ij se nazývají protikladný komponenty, Sⁱ _j the smíšený pravý kovariant komponenty, S_i ^j the smíšený levý kovariant součásti a S_ij the kovariantní komponenty tenzoru druhého řádu.

Metrický tenzor a vztahy mezi komponentami

Množství G_ij, G^ij jsou definovány jako^[4]^(str)

{ displaystyle g_ {ij} = mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j} = g_ {ji} ~; ~~ g ^ {ij} = mathbf {b} ^ { i} cdot mathbf {b} ^ {j} = g ^ {ji}}

Z výše uvedených rovnic máme

{ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} ~ v_ {k} ~; ~~ v_ {i} = g_ {ik} ~ v ^ {k} ~; ~~ mathbf {b} ^ {i } = g ^ {ij} ~ mathbf {b} _ {j} ~; ~~ mathbf {b} _ {i} = g_ {ij} ~ mathbf {b} ^ {j}}

Složky vektoru jsou spojeny pomocí^[4]^{(str. 30–32)}

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} ~ mathbf {b} _ {k} cdot mathbf {b} ^ {i} = v ^ { k} ~ delta _ {k} ^ {i} = v ^ {i}}

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} _ {i} = v_ {k} ~ mathbf {b} ^ {k} cdot mathbf {b} _ {i} = v_ {k} ~ delta _ {i} ^ {k} = v_ {i}}

Taky,

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} _ {i} = v ^ {k} ~ mathbf {b} _ {k} cdot mathbf {b} _ {i} = g_ {ki } ~ v ^ {k}}

{ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {b} ^ {i} = v_ {k} ~ mathbf {b} ^ {k} cdot mathbf {b} ^ {i} = g ^ {ki } ~ v_ {k}}

Složky tenzoru druhého řádu spolu souvisejí

{ displaystyle S ^ {ij} = g ^ {ik} ~ S_ {k} ^ {~ j} = g ^ {jk} ~ S_ {~ k} ^ {i} = g ^ {ik} ~ g ^ { jl} ~ S_ {kl}}

Střídavý tenzor

Na ortonormální pravotočivé bázi třetí řád střídavý tenzor je definován jako

{ displaystyle { boldsymbol { mathcal {E}}} = varepsilon _ {ijk} ~ mathbf {e} ^ {i} otimes mathbf {e} ^ {j} otimes mathbf {e} ^ {k}}

Na obecné křivočaré bázi lze stejný tenzor vyjádřit jako

{ displaystyle { boldsymbol { mathcal {E}}} = { mathcal {E}} _ {ijk} ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} otimes mathbf {b} ^ {k} = { mathcal {E}} ^ {ijk} ~ mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} otimes mathbf {b} _ { k}}

To lze ukázat

{ displaystyle { mathcal {E}} _ {ijk} = left [ mathbf {b} _ {i}, mathbf {b} _ {j}, mathbf {b} _ {k} right] = ( mathbf {b} _ {i} times mathbf {b} _ {j}) cdot mathbf {b} _ {k} ~; ~~ { mathcal {E}} ^ {ijk} = left [ mathbf {b} ^ {i}, mathbf {b} ^ {j}, mathbf {b} ^ {k} right]}

Nyní,

{ displaystyle mathbf {b} _ {i} times mathbf {b} _ {j} = J ~ varepsilon _ {ijp} ~ mathbf {b} ^ {p} = { sqrt {g}} ~ varepsilon _ {ijp} ~ mathbf {b} ^ {p}}

Proto,

{ displaystyle { mathcal {E}} _ {ijk} = J ~ varepsilon _ {ijk} = { sqrt {g}} ~ varepsilon _ {ijk}}

Podobně to můžeme ukázat

{ displaystyle { mathcal {E}} ^ {ijk} = { cfrac {1} {J}} ~ varepsilon ^ {ijk} = { cfrac {1} { sqrt {g}}} ~ varepsilon ^ {ijk}}

Vektorové operace

Mapa identity

Mapa identity Já definován ${ displaystyle mathbf {I} cdot mathbf {v} = mathbf {v}}$ lze ukázat jako:^[4]^(str)

{ displaystyle mathbf {I} = g ^ {ij} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} = g_ {ij} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {i} = mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} _ {i }}

Skalární (tečkovaný) produkt

Skalární součin dvou vektorů v křivočarých souřadnicích je^[4]^(p32)

{ displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} = u ^ {i} v_ {i} = u_ {i} v ^ {i} = g_ {ij} u ^ {i} v ^ {j} = g ^ {ij} u_ {i} v_ {j}}

Vektorový (křížový) produkt

The křížový produkt dvou vektorů je dáno vztahem:^[4]^(pp32–34)

{ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = varepsilon _ {ijk} u_ {j} v_ {k} mathbf {e} _ {i}}

kde ε_ijk je symbol obměny a E_i je kartézský základní vektor. V křivočarých souřadnicích je ekvivalentní výraz:

{ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = [( mathbf {b} _ {m} times mathbf {b} _ {n}) cdot mathbf {b} _ {s} ] u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s} = { mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s }}

kde ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {ijk}}$ je střídavý tenzor třetího řádu. The křížový produkt dvou vektorů je dáno vztahem:

{ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = varepsilon _ {ijk} { hat {u}} _ {j} { hat {v}} _ {k} mathbf {e} _ {i}}

kde ε_ijk je symbol obměny a ${ displaystyle mathbf {e} _ {i}}$ je kartézský základní vektor. Proto,

{ displaystyle mathbf {e} _ {p} times mathbf {e} _ {q} = varepsilon _ {ipq} mathbf {e} _ {i}}

a

{ displaystyle mathbf {b} _ {m} krát mathbf {b} _ {n} = { frac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {m}}} krát { frac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {n}}} = { frac { částečné (x_ {p} mathbf {e} _ {p})} { částečné q ^ {m }}} times { frac { částečné (x_ {q} mathbf {e} _ {q})} { částečné q ^ {n}}} = { frac { částečné x_ {p}} { částečné q ^ {m}}} { frac { částečné x_ {q}} { částečné q ^ {n}}} mathbf {e} _ {p} times mathbf {e} _ {q} = varepsilon _ {ipq} { frac { částečné x_ {p}} { částečné q ^ {m}}} { frac { částečné x_ {q}} { částečné q ^ {n}}} mathbf {e} _ {i}.}

Proto,

{ displaystyle ( mathbf {b} _ {m} krát mathbf {b} _ {n}) cdot mathbf {b} _ {s} = varepsilon _ {ipq} { frac { částečné x_ {p}} { částečné q ^ {m}}} { frac { částečné x_ {q}} { částečné q ^ {n}}} { frac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {s}}}}

Návrat k vektorovému produktu a použití vztahů:

{ displaystyle { hat {u}} _ {j} = { frac { částečné x_ {j}} { částečné q ^ {m}}} u ^ {m}, quad { hat {v} } _ {k} = { frac { částečné x_ {k}} { částečné q ^ {n}}} v ^ {n}, quad mathbf {e} _ {i} = { frac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {s}}} mathbf {b} ^ {s},}

nám dává:

{ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = varepsilon _ {ijk} { hat {u}} _ {j} { hat {v}} _ {k} mathbf {e} _ {i} = varepsilon _ {ijk} { frac { částečné x_ {j}} { částečné q ^ {m}}} { frac { částečné x_ {k}} { částečné q ^ {n} }} { frac { částečné x_ {i}} { částečné q ^ {s}}} u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s} = [( mathbf {b} _ {m} times mathbf {b} _ {n}) cdot mathbf {b} _ {s}] u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s} = { mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} mathbf {b} ^ {s}}

Tenzorové operace

Mapa identity

Mapa identity ${ displaystyle { mathsf {I}}}$ definován ${ displaystyle { mathsf {I}} cdot mathbf {v} = mathbf {v}}$ lze ukázat jako^[4]^(p39)

{ displaystyle { mathsf {I}} = g ^ {ij} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} = g_ {ij} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {i} = mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} _ {i}}

Působení tenzoru druhého řádu na vektor

Akce ${ displaystyle mathbf {v} = { boldsymbol {S}} cdot mathbf {u}}$ lze vyjádřit v křivočarých souřadnicích jako

{ displaystyle v ^ {i} mathbf {b} _ {i} = S ^ {ij} u_ {j} mathbf {b} _ {i} = S_ {j} ^ {i} u ^ {j} mathbf {b} _ {i}; qquad v_ {i} mathbf {b} ^ {i} = S_ {ij} u ^ {i} mathbf {b} ^ {i} = S_ {i} ^ {j} u_ {j} mathbf {b} ^ {i}}

Vnitřní produkt dvou tenzorů druhého řádu

Vnitřní produkt dvou tenzorů druhého řádu ${ displaystyle { boldsymbol {U}} = { boldsymbol {S}} cdot { boldsymbol {T}}}$ lze vyjádřit v křivočarých souřadnicích jako

{ displaystyle U_ {ij} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = S_ {ik} T _ {. j} ^ {k} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} ^ {. k} T_ {kj} mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j}}

Alternativně,

{ displaystyle { boldsymbol {U}} = S ^ {ij} T _ {. n} ^ {m} g_ {jm} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {n} = S _ {. M} ^ {i} T _ {. N} ^ {m} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {n} = S ^ {ij} T_ {jn} mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {n}}

Rozhodující tenzoru druhého řádu

Li ${ displaystyle { boldsymbol {S}}}$ je tenzor druhého řádu, pak je determinant definován vztahem

{ displaystyle left [{ boldsymbol {S}} cdot mathbf {u}, { boldsymbol {S}} cdot mathbf {v}, { boldsymbol {S}} cdot mathbf {w} right] = det { boldsymbol {S}} left [ mathbf {u}, mathbf {v}, mathbf {w} right]}

kde ${ displaystyle mathbf {u}, mathbf {v}, mathbf {w}}$ jsou libovolné vektory a

{ displaystyle left [ mathbf {u}, mathbf {v}, mathbf {w} right]: = mathbf {u} cdot ( mathbf {v} times mathbf {w}). }

Vztahy mezi křivočarými a kartézskými bazálními vektory

Nechť (E₁, E₂, E₃) být obvyklými kartézskými bazálními vektory pro euklidovský prostor zájmu a nechat

{ displaystyle mathbf {b} _ {i} = { boldsymbol {F}} cdot mathbf {e} _ {i}}

kde F_i je transformátor druhého řádu, který mapuje E_i na b_i. Pak,

{ displaystyle mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {e} _ {i} = ({ boldsymbol {F}} cdot mathbf {e} _ {i}) otimes mathbf {e } _ {i} = { boldsymbol {F}} cdot ( mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {i}) = { boldsymbol {F}} ~.}

Z tohoto vztahu to můžeme ukázat

{ displaystyle mathbf {b} ^ {i} = { boldsymbol {F}} ^ {- { rm {T}}} cdot mathbf {e} ^ {i} ~; ~~ g ^ {ij } = [{ boldsymbol {F}} ^ {- { rm {1}}} cdot { boldsymbol {F}} ^ {- { rm {T}}}] _ {ij} ~; ~~ g_ {ij} = [g ^ {ij}] ^ {- 1} = [{ boldsymbol {F}} ^ { rm {T}} cdot { boldsymbol {F}}] _ {ij}}

Nechat ${ displaystyle J: = det { boldsymbol {F}}}$ být Jacobian transformace. Poté z definice determinantu

{ displaystyle left [ mathbf {b} _ {1}, mathbf {b} _ {2}, mathbf {b} _ {3} right] = det { boldsymbol {F}} vlevo [ mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3} right] ~.}

Od té doby

{ displaystyle left [ mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3} right] = 1}

my máme

{ displaystyle J = det { boldsymbol {F}} = left [ mathbf {b} _ {1}, mathbf {b} _ {2}, mathbf {b} _ {3} right] = mathbf {b} _ {1} cdot ( mathbf {b} _ {2} times mathbf {b} _ {3})}

Pomocí výše uvedených vztahů lze odvodit řadu zajímavých výsledků.

Nejprve zvažte

{ displaystyle g: = det [g_ {ij}]}

Pak

{ displaystyle g = det [{ boldsymbol {F}} ^ { rm {T}}] cdot det [{ boldsymbol {F}}] = J cdot J = J ^ {2}}

Podobně to můžeme ukázat

{ displaystyle det [g ^ {ij}] = { cfrac {1} {J ^ {2}}}}

Proto s využitím skutečnosti, že ${ displaystyle [g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1}}$ ,

{ displaystyle { cfrac { částečné g} { částečné g_ {ij}}} = 2 ~ J ~ { cfrac { částečné J} { částečné g_ {ij}}} = g ~ g ^ {ij} }

Další zajímavý vztah je odvozen níže. Odvolej to

{ displaystyle mathbf {b} ^ {i} cdot mathbf {b} _ {j} = delta _ {j} ^ {i} quad Rightarrow quad mathbf {b} ^ {1} cdot mathbf {b} _ {1} = 1, ~ mathbf {b} ^ {1} cdot mathbf {b} _ {2} = mathbf {b} ^ {1} cdot mathbf {b } _ {3} = 0 quad Rightarrow quad mathbf {b} ^ {1} = A ~ ( mathbf {b} _ {2} times mathbf {b} _ {3})}

kde A je, přesto neurčená, konstanta. Pak

{ displaystyle mathbf {b} ^ {1} cdot mathbf {b} _ {1} = A ~ mathbf {b} _ {1} cdot ( mathbf {b} _ {2} krát mathbf {b} _ {3}) = AJ = 1 quad Rightarrow quad A = { cfrac {1} {J}}}

Toto pozorování vede k vztahům

{ displaystyle mathbf {b} ^ {1} = { cfrac {1} {J}} ( mathbf {b} _ {2} times mathbf {b} _ {3}) ~; ~~ mathbf {b} ^ {2} = { cfrac {1} {J}} ( mathbf {b} _ {3} times mathbf {b} _ {1}) ~; ~~ mathbf {b} ^ {3} = { cfrac {1} {J}} ( mathbf {b} _ {1} times mathbf {b} _ {2})}

V indexové notaci

{ displaystyle varepsilon _ {ijk} ~ mathbf {b} ^ {k} = { cfrac {1} {J}} ( mathbf {b} _ {i} times mathbf {b} _ {j }) = { cfrac {1} { sqrt {g}}} ( mathbf {b} _ {i} times mathbf {b} _ {j})}

kde ${ displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ je obvyklé symbol obměny.

Nezjistili jsme explicitní výraz pro tenzor transformace F protože alternativní forma mapování mezi křivočarými a kartézskými bázemi je užitečnější. Za předpokladu dostatečné míry plynulosti mapování (a trochu zneužití notace), máme

{ displaystyle mathbf {b} _ {i} = { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {i}}} = { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečný x_ {j}}} ~ { cfrac { částečný x_ {j}} { částečný q ^ {i}}} = mathbf {e} _ {j} ~ { cfrac { částečný x_ {j} } { částečné q ^ {i}}}}

Podobně,

{ displaystyle mathbf {e} _ {i} = mathbf {b} _ {j} ~ { cfrac { částečné q ^ {j}} { částečné x_ {i}}}}

Z těchto výsledků máme

{ displaystyle mathbf {e} ^ {k} cdot mathbf {b} _ {i} = { frac { částečné x_ {k}} { částečné q ^ {i}}} quad Rightarrow quad { frac { částečné x_ {k}} { částečné q ^ {i}}} ~ mathbf {b} ^ {i} = mathbf {e} ^ {k} cdot ( mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {i}) = mathbf {e} ^ {k}}

a

{ displaystyle mathbf {b} ^ {k} = { frac { částečné q ^ {k}} { částečné x_ {i}}} ~ mathbf {e} ^ {i}}

Vektorový a tenzorový počet v trojrozměrných křivočarých souřadnicích

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Simmonds,^[4] ve své knize o tenzorová analýza, citáty Albert Einstein rčení^[7]

Kouzlo této teorie se stěží nedokáže vnutit každému, kdo jí skutečně porozuměl; představuje skutečný triumf metody absolutního diferenciálního počtu, kterou založili Gauss, Riemann, Ricci a Levi-Civita.

Vektorový a tenzorový počet obecně křivočarých souřadnic se používá při tenzorové analýze na čtyřrozměrných křivočarých rozdělovače v obecná relativita,^[8] v mechanika zakřivené mušle,^[6] při zkoumání invariance vlastnosti Maxwellovy rovnice o který byl zájem metamateriály^[9]^[10] a v mnoha dalších oblastech.

Některé užitečné vztahy v počtu vektorů a tenzorech druhého řádu v křivočarých souřadnicích jsou uvedeny v této části. Notace a obsah jsou primárně z Ogdenu,^[2] Simmonds,^[4] Zelená a Zerna,^[1] Basar a Weichert,^[5] a Ciarlet.^[6]

Základní definice

Nechť polohu bodu v prostoru charakterizují tři proměnné souřadnic ${ displaystyle (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}$ .

The souřadnicová křivka q¹ představuje křivku, na které q², q³ jsou konstantní. Nechat X být vektor polohy bodu vzhledem k nějakému počátku. Pak, za předpokladu, že takové mapování a jeho inverzní existuje a jsou spojité, můžeme psát ^[2]^{(str. 55)}

{ displaystyle mathbf {x} = { boldsymbol { varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) ~; ~~ q ^ {i} = psi ^ { i} ( mathbf {x}) = [{ boldsymbol { varphi}} ^ {- 1} ( mathbf {x})] ^ {i}}

Pole ψⁱ(X) se nazývají křivočaré souřadnice z křivočarý souřadnicový systém ψ(X) = φ⁻¹(X).

The qⁱ souřadnicové křivky jsou definovány jednoparametrovou rodinou funkcí daných

{ displaystyle mathbf {x} _ {i} ( alpha) = { boldsymbol { varphi}} ( alpha, q ^ {j}, q ^ {k}) ~, ~~ i neq j neq k}

s q^j, q^k pevný.

Tečný vektor ke koordinaci křivek

The tečný vektor na křivku X_i na místě X_i(α) (nebo na souřadnicovou křivku q_i na místě X) je

{ displaystyle { cfrac { rm {{d} mathbf {x} _ {i}}} { rm {{d} alpha}}} equiv { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {i}}}}

Spád

Skalární pole

Nechat F(X) být skalární pole ve vesmíru. Pak

{ displaystyle f ( mathbf {x}) = f [{ boldsymbol { varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})] = f _ { varphi} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}

Přechod pole F je definováno

{ displaystyle [{ boldsymbol { nabla}} f ( mathbf {x})] cdot mathbf {c} = { cfrac { rm {d}} { rm {{d} alfa}} } f ( mathbf {x} + alpha mathbf {c}) { biggr |} _ { alpha = 0}}

kde C je libovolný konstantní vektor. Pokud definujeme komponenty Cⁱ z C jsou takové, že

{ displaystyle q ^ {i} + alpha ~ c ^ {i} = psi ^ {i} ( mathbf {x} + alpha ~ mathbf {c})}

pak

{ displaystyle [{ boldsymbol { nabla}} f ( mathbf {x})] cdot mathbf {c} = { cfrac { rm {d}} { rm {{d} alfa}} } f _ { varphi} (q ^ {1} + alpha ~ c ^ {1}, q ^ {2} + alpha ~ c ^ {2}, q ^ {3} + alpha ~ c ^ {3 }) { biggr |} _ { alpha = 0} = { cfrac { částečné f _ { varphi}} { částečné q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = { cfrac { částečné f} { částečné q ^ {i}}} ~ c ^ {i}}

Pokud jsme nastavili ${ displaystyle f ( mathbf {x}) = psi ^ {i} ( mathbf {x})}$ , od té doby ${ displaystyle q ^ {i} = psi ^ {i} ( mathbf {x})}$ , my máme

{ displaystyle [{ boldsymbol { nabla}} psi ^ {i} ( mathbf {x})] cdot mathbf {c} = { cfrac { částečné psi ^ {i}} { částečné q ^ {j}}} ~ c ^ {j} = c ^ {i}}

který poskytuje prostředek k extrakci kontravariantní složky vektoru C.

Li b_i je kovarianční (nebo přirozený) základ v bodě, a pokud bⁱ je tedy v tomto bodě kontravariantní (nebo vzájemný) základ

{ displaystyle [{ boldsymbol { nabla}} f ( mathbf {x})] cdot mathbf {c} = { cfrac { částečné f} { částečné q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = left ({ cfrac { parciální f} { parciální q ^ {i}}} ~ mathbf {b} ^ {i} right) left (c ^ {i} ~ mathbf { b} _ {i} right) quad Rightarrow quad { boldsymbol { nabla}} f ( mathbf {x}) = { cfrac { parciální f} { parciální q ^ {i}}} ~ mathbf {b} ^ {i}}

Stručné zdůvodnění této volby základu je uvedeno v následující části.

Vektorové pole

Podobný proces lze použít k dosažení přechodu vektorového pole F(X). Gradient je dán vztahem

{ displaystyle [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {f} ( mathbf {x})] cdot mathbf {c} = { cfrac { částečné mathbf {f}} { částečné q ^ {i}}} ~ c ^ {i}}

Pokud vezmeme v úvahu gradient pole vektoru polohy r(X) = X, pak to můžeme ukázat

{ displaystyle mathbf {c} = { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = mathbf {b} _ {i} ( mathbf {x}) ~ c ^ {i} ~; ~~ mathbf {b} _ {i} ( mathbf {x}): = { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné q ^ { já}}}}

Vektorové pole b_i je tečna k qⁱ souřadnicová křivka a tvoří a přírodní základ v každém bodě křivky. Tento základ, jak je popsán na začátku tohoto článku, se také nazývá kovariantní křivočarý základ. Můžeme také definovat a vzájemný základnebo kontrariantní křivočarý základ, bⁱ. Všechny algebraické vztahy mezi bazickými vektory, jak jsou popsány v části o tenzorové algebře, platí pro přirozený základ a jeho reciproční v každém bodě X.

Od té doby C je libovolné, můžeme psát

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {f} ( mathbf {x}) = { cfrac { částečné mathbf {f}} { částečné q ^ {i}}} další mathbf {b} ^ {i}}

Všimněte si, že vektor kontravariantní báze bⁱ je kolmá na povrch konstanty ψⁱ a je dán

{ displaystyle mathbf {b} ^ {i} = { boldsymbol { nabla}} psi ^ {i}}

Christoffel symboly prvního druhu

The Christoffel symboly prvního druhu jsou definovány jako

{ displaystyle mathbf {b} _ {i, j} = { frac { částečné mathbf {b} _ {i}} { částečné q ^ {j}}}: = gama _ {ijk} ~ mathbf {b} ^ {k} quad Rightarrow quad mathbf {b} _ {i, j} cdot mathbf {b} _ {l} = Gamma _ {ijl}}

Vyjádřit Γ_ijk ve smyslu G_ij poznamenáváme to

{ displaystyle { begin {seřazeno} g_ {ij, k} & = ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j}) _ {, k} = mathbf {b} _ {i, k} cdot mathbf {b} _ {j} + mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j, k} = Gamma _ {ikj} + Gamma _ {jki} g_ {ik, j} & = ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, j} = mathbf {b} _ {i , j} cdot mathbf {b} _ {k} + mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {k, j} = Gamma _ {ijk} + Gamma _ {kji } g_ {jk, i} & = ( mathbf {b} _ {j} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, i} = mathbf {b} _ {j, i} cdot mathbf {b} _ {k} + mathbf {b} _ {j} cdot mathbf {b} _ {k, i} = Gamma _ {jik} + Gamma _ {kij} end {zarovnaný}}}

Od té doby b_{já, j} = b_{j, i} máme Γ_ijk = Γ_jik. Pomocí nich můžete uspořádat výše uvedené vztahy

{ displaystyle Gamma _ {ijk} = { frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = { frac {1} { 2}} [( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + ( mathbf {b} _ {j} cdot mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - ( mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}

Christoffel symboly druhého druhu

The Christoffel symboly druhého druhu jsou definovány jako

{ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = Gamma _ {ji} ^ {k}}

ve kterém

{ displaystyle { cfrac { částečné mathbf {b} _ {i}} { částečné q ^ {j}}} = gama _ {ij} ^ {k} ~ mathbf {b} _ {k} }

To z toho vyplývá

{ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = { cfrac { částečné mathbf {b} _ {i}} { částečné q ^ {j}}} cdot mathbf {b} ^ {k } = - mathbf {b} _ {i} cdot { cfrac { částečné mathbf {b} ^ {k}} { částečné q ^ {j}}}}

Další vztahy, které následují, jsou

{ displaystyle { cfrac { částečné mathbf {b} ^ {i}} { částečné q ^ {j}}} = - gama _ {jk} ^ {i} ~ mathbf {b} ^ {k } ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} mathbf {b} _ {i} = Gamma _ {ij} ^ {k} ~ mathbf {b} _ {k} otimes mathbf {b} ^ {j} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} mathbf {b} ^ {i} = - Gamma _ {jk} ^ {i} ~ mathbf {b} ^ {k} otimes mathbf {b} ^ {j}}

Další zvláště užitečný vztah, který ukazuje, že Christoffelův symbol závisí pouze na metrickém tenzoru a jeho derivátech, je

{ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = { frac {g ^ {km}} {2}} vlevo ({ frac { částečné g_ {mi}} { částečné q ^ {j} }} + { frac { částečné g_ {mj}} { částečné q ^ {i}}} - { frac { částečné g_ {ij}} { částečné q ^ {m}}} vpravo)}

Výslovný výraz pro přechod vektorového pole

Následující výrazy pro gradient vektorového pole v křivočarých souřadnicích jsou docela užitečné.

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} & = left [{ cfrac { částečné v ^ {i}} { částečné q ^ {k}}} + Gamma _ {lk} ^ {i} ~ v ^ {l} vpravo] ~ mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {k} [8pt] & = left [ { cfrac { částečné v_ {i}} { částečné q ^ {k}}} - Gamma _ {ki} ^ {l} ~ v_ {l} vpravo] ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {k} end {zarovnáno}}}

Představující fyzické vektorové pole

Vektorové pole proti lze reprezentovat jako

{ displaystyle mathbf {v} = v_ {i} ~ mathbf {b} ^ {i} = { hat {v}} _ {i} ~ { hat { mathbf {b}}} ^ {i }}

kde ${ displaystyle v_ {i}}$ jsou kovarianční složky pole, ${ displaystyle { hat {v}} _ {i}}$ jsou fyzické komponenty a (č součet )

{ displaystyle { hat { mathbf {b}}} ^ {i} = { cfrac { mathbf {b} ^ {i}} { sqrt {g ^ {ii}}}}}

je normalizovaný kontravariantní základní vektor.

Tenzorové pole druhého řádu

Gradient tenzorového pole druhého řádu lze podobně vyjádřit jako

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol {S}} = { cfrac { částečný { boldsymbol {S}}} { částečný q ^ {i}}} otimes mathbf {b} ^ {i}}

Explicitní výrazy pro přechod

Pokud vezmeme v úvahu výraz pro tenzor z hlediska kontravariantního základu, pak

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol {S}} = { cfrac { částečné} { částečné q ^ {k}}} [S_ {ij} ~ mathbf {b} ^ {i } otimes mathbf {b} ^ {j}] otimes mathbf {b} ^ {k} = left [{ cfrac { částečné S_ {ij}} { částečné q ^ {k}}} - Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} right] ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b } ^ {j} otimes mathbf {b} ^ {k}}

Můžeme také psát

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol {S}} & = left [{ cfrac { částečné S ^ {ij}} { částečné q ^ {k}} } + Gamma _ {kl} ^ {i} ~ S ^ {lj} + Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S ^ {il} right] ~ mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} _ {j} otimes mathbf {b} ^ {k} [8pt] & = left [{ cfrac { částečné S_ {~ j} ^ {i}} { částečné q ^ {k}}} + Gamma _ {kl} ^ {i} ~ S_ {~ j} ^ {l} - Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} vpravo ] ~ mathbf {b} _ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} otimes mathbf {b} ^ {k} [8pt] & = left [{ cfrac { částečné S_ {i} ^ {~ j}} { částečné q ^ {k}}} - Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + Gamma _ {kl} ^ {j } ~ S_ {i} ^ {~ l} right] ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} _ {j} otimes mathbf {b} ^ {k} end {zarovnáno }}}

Představující fyzické tenzorové pole druhého řádu

Fyzické složky tenzorového pole druhého řádu lze získat pomocí normalizované kontravariantní báze, tj.

{ displaystyle { boldsymbol {S}} = S_ {ij} ~ mathbf {b} ^ {i} otimes mathbf {b} ^ {j} = { hat {S}} _ {ij} ~ { hat { mathbf {b}}} ^ {i} otimes { hat { mathbf {b}}} ^ {j}}

kde byly normalizovány Hattovy základní vektory. To znamená, že (opět žádné shrnutí)

{ displaystyle { hat {S}} _ {ij} = S_ {ij} ~ { sqrt {g ^ {ii} ~ g ^ {jj}}}}

Divergence

Vektorové pole

The divergence vektorového pole ( ${ displaystyle mathbf {v}}$ ) je definován jako

{ displaystyle operatorname {div} ~ mathbf {v} = { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { text {tr}} ({ boldsymbol { nabla}} mathbf { v})}

Pokud jde o komponenty s ohledem na křivočarou bázi

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { cfrac { částečné v ^ {i}} { částečné q ^ {i}}} + gama _ { ell i} ^ {i} ~ v ^ { ell} = left [{ cfrac { částečný v_ {i}} { částečný q ^ {j}}} - Gamma _ {ji} ^ { ell} ~ v_ { ell} right] ~ g ^ {ij}}

Často se používá alternativní rovnice pro divergenci vektorového pole. Pro odvození tohoto vztahu si to připomeňme

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { frac { částečné v ^ {i}} { částečné q ^ {i}}} + gama _ { ell i} ^ {i} ~ v ^ { ell}}

Nyní,

{ displaystyle Gamma _ { ell i} ^ {i} = Gamma _ {i ell} ^ {i} = { cfrac {g ^ {mi}} {2}} vlevo [{ frac { částečné g_ {im}} { částečné q ^ { ell}}} + { frac { částečné g _ { ell m}} { částečné q ^ {i}}} - { frac { částečné g_ {il}} { částečné q ^ {m}}} vpravo]}

Berouce na vědomí, že kvůli symetrii ${ displaystyle { boldsymbol {g}}}$ ,

{ displaystyle g ^ {mi} ~ { frac { částečný g _ { ell m}} { částečný q ^ {i}}} = g ^ {mi} ~ { frac { částečný g_ {i ell }} { částečné q ^ {m}}}}

my máme

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { frac { částečné v ^ {i}} { částečné q ^ {i}}} + { cfrac {g ^ {mi }} {2}} ~ { frac { částečné g_ {im}} { částečné q ^ { ell}}} ~ v ^ { ell}}

Připomeňme, že pokud [G_ij] je matice, jejíž komponenty jsou G_ij, pak inverzní matice je ${ displaystyle [g_ {ij}] ^ {- 1} = [g ^ {ij}]}$ . Inverze matice je dána vztahem

{ displaystyle [g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1} = { cfrac {A ^ {ij}} {g}} ~; ~~ g: = det ([g_ { ij}]) = det { boldsymbol {g}}}

kde A^ij jsou Kofaktorová matice komponent G_ij. Z maticové algebry máme

{ displaystyle g = det ([g_ {ij}]) = součet _ {i} g_ {ij} ~ A ^ {ij} quad Rightarrow quad { frac { částečný g} { částečný g_ {ij}}} = A ^ {ij}}

Proto,

{ displaystyle [g ^ {ij}] = { cfrac {1} {g}} ~ { frac { částečný g} { částečný g_ {ij}}}}

Zapojení tohoto vztahu do výrazu pro divergenci dává

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { frac { částečné v ^ {i}} { částečné q ^ {i}}} + { cfrac {1} {2g }} ~ { frac { částečný g} { částečný g_ {mi}}} ~ { frac { částečný g_ {im}} { částečný q ^ { ell}}} ~ v ^ { ell} = { frac { částečné v ^ {i}} { částečné q ^ {i}}} + { cfrac {1} {2g}} ~ { frac { částečné g} { částečné q ^ { ell}}} ~ v ^ { ell}}

Trochu manipulace vede ke kompaktnější formě

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { cfrac {1} { sqrt {g}}} ~ { frac { částečné} { částečné q ^ {i}} } (v ^ {i} ~ { sqrt {g}})}

Tenzorové pole druhého řádu

The divergence pole tenzoru druhého řádu je definováno pomocí

{ displaystyle ({ boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol {S}}) cdot mathbf {a} = { boldsymbol { nabla}} cdot ({ boldsymbol {S}} cdot mathbf {a})}

kde A je libovolný konstantní vektor.^[11]V křivočarých souřadnicích,

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol {S}} & = left [{ cfrac { částečný S_ {ij}} { částečný q ^ {k} }} - Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} right] ~ g ^ {ik} ~ mathbf {b} ^ {j} [8pt] & = left [{ cfrac { částečné S ^ {ij}} { částečné q ^ {i}}} + gama _ {il} ^ {i} ~ S ^ { lj} + Gamma _ {il} ^ {j} ~ S ^ {il} vpravo] ~ mathbf {b} _ {j} [8pt] & = left [{ cfrac { částečné S_ { ~ j} ^ {i}} { částečné q ^ {i}}} + Gamma _ {il} ^ {i} ~ S_ {~ j} ^ {l} - Gamma _ {ij} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} right] ~ mathbf {b} ^ {j} [8pt] & = left [{ cfrac { částečný S_ {i} ^ {~ j}} { částečné q ^ {k}}} - Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S_ {i} ^ {~ l } right] ~ g ^ {ik} ~ mathbf {b} _ {j} end {zarovnáno}}}

Laplacian

Skalární pole

The Laplacian of a scalar field φ(X) je definován jako

{displaystyle abla ^{2}varphi :={oldsymbol { abla }}cdot ({oldsymbol { abla }}varphi )}

Using the alternative expression for the divergence of a vector field gives us

{displaystyle abla ^{2}varphi ={cfrac {1}{sqrt {g}}}~{frac {partial }{partial q^{i}}}([{oldsymbol { abla }}varphi ]^{i}~{sqrt {g}})}

Nyní

{displaystyle {oldsymbol { abla }}varphi ={frac {partial varphi }{partial q^{l}}}~mathbf {b} ^{l}=g^{li}~{frac {partial varphi }{partial q^{l}}}~mathbf {b} _{i}quad Rightarrow quad [{oldsymbol { abla }}varphi ]^{i}=g^{li}~{frac {partial varphi }{partial q^{l}}}}

Proto,

{displaystyle abla ^{2}varphi ={cfrac {1}{sqrt {g}}}~{frac {partial }{partial q^{i}}}left(g^{li}~{frac {partial varphi }{partial q^{l}}}~{sqrt {g}} ight)}

Curl of a vector field

The curl of a vector field proti in covariant curvilinear coordinates can be written as

{displaystyle {oldsymbol { abla }} imes mathbf {v} ={mathcal {E}}^{rst}v_{s|r}~mathbf {b} _{t}}

kde

{displaystyle v_{s|r}=v_{s,r}-Gamma _{sr}^{i}~v_{i}}

Orthogonal curvilinear coordinates

Assume, for the purposes of this section, that the curvilinear coordinate system is ortogonální, tj.,

{displaystyle mathbf {b} _{i}cdot mathbf {b} _{j}={egin{cases}g_{ii}&{ ext{if }}i=j�&{ ext{if }}i eq j,end{cases}}}

nebo ekvivalentně

{displaystyle mathbf {b} ^{i}cdot mathbf {b} ^{j}={egin{cases}g^{ii}&{ ext{if }}i=j�&{ ext{if }}i eq j,end{cases}}}

kde ${displaystyle g^{ii}=g_{ii}^{-1}}$ . As before, ${displaystyle mathbf {b} _{i},mathbf {b} _{j}}$ are covariant basis vectors and bⁱ, b^j are contravariant basis vectors. Also, let (E¹, E², E³) be a background, fixed, Kartézský základ. A list of orthogonal curvilinear coordinates is given below.

Metric tensor in orthogonal curvilinear coordinates

Nechat r(X) být vektor polohy of the point X with respect to the origin of the coordinate system. The notation can be simplified by noting that X = r(X). At each point we can construct a small line element dX. The square of the length of the line element is the scalar product dX • dX and is called the metrický z prostor. Recall that the space of interest is assumed to be Euklidovský when we talk of curvilinear coordinates. Let us express the position vector in terms of the background, fixed, Cartesian basis, i.e.,

{displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{3}x_{i}~mathbf {e} _{i}}

Za použití řetězové pravidlo, we can then express dX in terms of three-dimensional orthogonal curvilinear coordinates (q¹, q², q³) tak jako

{displaystyle mathrm {d} mathbf {x} =sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3}left({cfrac {partial x_{i}}{partial q^{j}}}~mathbf {e} _{i} ight)mathrm {d} q^{j}}

Therefore, the metric is given by

{displaystyle mathrm {d} mathbf {x} cdot mathrm {d} mathbf {x} =sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3}sum _{k=1}^{3}{cfrac {partial x_{i}}{partial q^{j}}}~{cfrac {partial x_{i}}{partial q^{k}}}~mathrm {d} q^{j}~mathrm {d} q^{k}}

The symmetric quantity

{displaystyle g_{ij}(q^{i},q^{j})=sum _{k=1}^{3}{cfrac {partial x_{k}}{partial q^{i}}}~{cfrac {partial x_{k}}{partial q^{j}}}=mathbf {b} _{i}cdot mathbf {b} _{j}}

se nazývá fundamental (or metric) tensor z Euklidovský prostor in curvilinear coordinates.

Note also that

{displaystyle g_{ij}={cfrac {partial mathbf {x} }{partial q^{i}}}cdot {cfrac {partial mathbf {x} }{partial q^{j}}}=left(sum _{k}h_{ki}~mathbf {e} _{k} ight)cdot left(sum _{m}h_{mj}~mathbf {e} _{m} ight)=sum _{k}h_{ki}~h_{kj}}

kde h_ij are the Lamé coefficients.

If we define the scale factors, h_i, using

{displaystyle mathbf {b} _{i}cdot mathbf {b} _{i}=g_{ii}=sum _{k}h_{ki}^{2}=:h_{i}^{2}quad Rightarrow quad left|{cfrac {partial mathbf {x} }{partial q^{i}}} ight|=left|mathbf {b} _{i} ight|={sqrt {g_{ii}}}=h_{i}}

we get a relation between the fundamental tensor and the Lamé coefficients.

Example: Polar coordinates

If we consider polar coordinates for R², note that

{displaystyle (x,y)=(rcos heta ,rsin heta )}

(r, θ) are the curvilinear coordinates, and the Jacobian determinant of the transformation (r,θ) → (r cos θ, r sin θ) is r.

The ortogonální basis vectors are b_r = (cos θ, sin θ), b_θ = (−r sin θ, r cos θ). The normalized basis vectors are E_r = (cos θ, sin θ), E_θ = (−sin θ, cos θ) and the scale factors are h_r = 1 a h_θ= r. The fundamental tensor is G₁₁ =1, G₂₂ =r², G₁₂ = G₂₁ =0.

Line and surface integrals

If we wish to use curvilinear coordinates for vektorový počet calculations, adjustments need to be made in the calculation of line, surface and volume integrals. For simplicity, we again restrict the discussion to three dimensions and orthogonal curvilinear coordinates. However, the same arguments apply for ${ displaystyle n}$ -dimensional problems though there are some additional terms in the expressions when the coordinate system is not orthogonal.

Line integrals

Normally in the calculation of line integrals we are interested in calculating

{displaystyle int _{C}f,ds=int _{a}^{b}f(mathbf {x} (t))left|{partial mathbf {x} over partial t} ight|;dt}

kde X(t) parametrizes C in Cartesian coordinates.In curvilinear coordinates, the term

{displaystyle left|{partial mathbf {x} over partial t} ight|=left|sum _{i=1}^{3}{partial mathbf {x} over partial q^{i}}{partial q^{i} over partial t} ight|}

podle řetězové pravidlo. And from the definition of the Lamé coefficients,

{displaystyle {partial mathbf {x} over partial q^{i}}=sum _{k}h_{ki}~mathbf {e} _{k}}

a tudíž

{displaystyle {egin{aligned}left|{partial mathbf {x} over partial t} ight|&=left|sum _{k}left(sum _{i}h_{ki}~{cfrac {partial q^{i}}{partial t}} ight)mathbf {e} _{k} ight|[8pt]&={sqrt {sum _{i}sum _{j}sum _{k}h_{ki}~h_{kj}{cfrac {partial q^{i}}{partial t}}{cfrac {partial q^{j}}{partial t}}}}={sqrt {sum _{i}sum _{j}g_{ij}~{cfrac {partial q^{i}}{partial t}}{cfrac {partial q^{j}}{partial t}}}}end{aligned}}}

Now, since ${displaystyle g_{ij}=0}$ když ${displaystyle i eq j}$ , my máme

{displaystyle left|{partial mathbf {x} over partial t} ight|={sqrt {sum _{i}g_{ii}~left({cfrac {partial q^{i}}{partial t}} ight)^{2}}}={sqrt {sum _{i}h_{i}^{2}~left({cfrac {partial q^{i}}{partial t}} ight)^{2}}}}

and we can proceed normally.

Surface integrals

Likewise, if we are interested in a surface integral, the relevant calculation, with the parameterization of the surface in Cartesian coordinates is:

{displaystyle int _{S}f,dS=iint _{T}f(mathbf {x} (s,t))left|{partial mathbf {x} over partial s} imes {partial mathbf {x} over partial t} ight|,ds,dt}

Again, in curvilinear coordinates, we have

{displaystyle left|{partial mathbf {x} over partial s} imes {partial mathbf {x} over partial t} ight|=left|left(sum _{i}{partial mathbf {x} over partial q^{i}}{partial q^{i} over partial s} ight) imes left(sum _{j}{partial mathbf {x} over partial q^{j}}{partial q^{j} over partial t} ight) ight|}

and we make use of the definition of curvilinear coordinates again to yield

{displaystyle {partial mathbf {x} over partial q^{i}}{partial q^{i} over partial s}=sum _{k}left(sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{partial q^{i} over partial s} ight)mathbf {e} _{k}~;~~{partial mathbf {x} over partial q^{j}}{partial q^{j} over partial t}=sum _{m}left(sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{partial q^{j} over partial t} ight)mathbf {e} _{m}}

Proto,

{displaystyle {egin{aligned}left|{partial mathbf {x} over partial s} imes {partial mathbf {x} over partial t} ight|&=left|sum _{k}sum _{m}left(sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{partial q^{i} over partial s} ight)left(sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{partial q^{j} over partial t} ight)mathbf {e} _{k} imes mathbf {e} _{m} ight|[8pt]&=left|sum _{p}sum _{k}sum _{m}{mathcal {E}}_{kmp}left(sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{partial q^{i} over partial s} ight)left(sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{partial q^{j} over partial t} ight)mathbf {e} _{p} ight|end{aligned}}}

kde ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je permutation symbol.

In determinant form, the cross product in terms of curvilinear coordinates will be:

{displaystyle {egin{vmatrix}mathbf {e} _{1}&mathbf {e} _{2}&mathbf {e} _{3}&&sum _{i}h_{1i}{partial q^{i} over partial s}&sum _{i}h_{2i}{partial q^{i} over partial s}&sum _{i}h_{3i}{partial q^{i} over partial s}&&sum _{j}h_{1j}{partial q^{j} over partial t}&sum _{j}h_{2j}{partial q^{j} over partial t}&sum _{j}h_{3j}{partial q^{j} over partial t}end{vmatrix}}}

Grad, curl, div, Laplacian

v ortogonální křivočaré souřadnice 3 rozměrů, kde

{ displaystyle mathbf {b} ^ {i} = součet _ {k} g ^ {ik} ~ mathbf {b} _ {k} ~; ~~ g ^ {ii} = { cfrac {1} {g_ {ii}}} = { cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}}}

lze vyjádřit spád a skalární nebo vektorové pole tak jako

{ displaystyle nabla varphi = součet _ {i} { částečné varphi nad částečné q ^ {i}} ~ mathbf {b} ^ {i} = součet _ {i} součet _ { j} { částečné varphi nad částečné q ^ {i}} ~ g ^ {ij} ~ mathbf {b} _ {j} = součet _ {i} { cfrac {1} {h_ {i } ^ {2}}} ~ { částečné f přes částečné q ^ {i}} ~ mathbf {b} _ {i} ~; ~~ nabla mathbf {v} = součet _ {i} { cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}} ~ { částečné mathbf {v} nad částečné q ^ {i}} otimes mathbf {b} _ {i}}

Pro ortogonální základ

{ displaystyle g = g_ {11} ~ g_ {22} ~ g_ {33} = h_ {1} ^ {2} ~ h_ {2} ^ {2} ~ h_ {3} ^ {2} quad Rightarrow quad { sqrt {g}} = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}

The divergence vektorového pole lze potom zapsat jako

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ { frac { částečný} { částečné q ^ {i}}} (h_ {1} h_ {2} h_ {3} ~ v ^ {i})}

Taky,

{ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} ~ v_ {k} quad Rightarrow v ^ {1} = g ^ {11} ~ v_ {1} = { cfrac {v_ {1}} { h_ {1} ^ {2}}} ~; ~~ v ^ {2} = g ^ {22} ~ v_ {2} = { cfrac {v_ {2}} {h_ {2} ^ {2}} } ~; ~~ v ^ {3} = g ^ {33} ~ v_ {3} = { cfrac {v_ {3}} {h_ {3} ^ {2}}}}

Proto,

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ sum _ {i} { frac { částečné} { částečné q ^ {i}}} vlevo ({ cfrac {h_ {1} h_ {2} h_ {3}} {h_ {i} ^ {2}}} ~ v_ {i} že jo)}

Můžeme získat výraz pro Laplacian podobným způsobem tím, že si to všimne

{ displaystyle g ^ {li} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {l}}} = vlevo {g ^ {11} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {1}}}, g ^ {22} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {2}}}, g ^ {33} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {3}}} pravé } = levé {{ cfrac {1} {h_ {1} ^ {2}}} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {1}}}, { cfrac {1} {h_ {2} ^ {2}}} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {2}}}, { cfrac {1 } {h_ {3} ^ {2}}} ~ { frac { částečné varphi} { částečné q ^ {3}}} pravé }}

Pak máme

{ displaystyle nabla ^ {2} varphi = { cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ součet _ {i} { frac { částečný} { částečný q ^ {i}}} left ({ cfrac {h_ {1} h_ {2} h_ {3}} {h_ {i} ^ {2}}} ~ { frac { partial varphi} { částečné q ^ {i}}} vpravo)}

Výrazy pro přechod, divergenci a laplacián lze přímo rozšířit na n-rozměry.

The kučera a vektorové pole darováno

{ displaystyle nabla times mathbf {v} = { frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {e } _ {i} sum _ {jk} varepsilon _ {ijk} h_ {i} { frac { částečný (h_ {k} v_ {k})} { částečný q ^ {j}}}}

kde ε_ijk je Symbol Levi-Civita.

Příklad: Válcové polární souřadnice

Pro válcové souřadnice my máme

{ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = mathbf {x} = { boldsymbol { varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ { 3}) = { boldsymbol { varphi}} (r, theta, z) = {r cos theta, r sin theta, z }}

a

{ displaystyle { psi ^ {1} ( mathbf {x}), psi ^ {2} ( mathbf {x}), psi ^ {3} ( mathbf {x}) } = ( q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) equiv (r, theta, z) = {{ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ { 2}}}, tan ^ {- 1} (x_ {2} / x_ {1}), x_ {3} }}

kde

{ Displaystyle 0

Pak jsou kovariantní a kontravariantní bazální vektory

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {b} _ {1} & = mathbf {e} _ {r} = mathbf {b} ^ {1} mathbf {b} _ {2} & = r ~ mathbf {e} _ { theta} = r ^ {2} ~ mathbf {b} ^ {2} mathbf {b} _ {3} & = mathbf {e} _ { z} = mathbf {b} ^ {3} end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {r}, mathbf {e} _ { theta}, mathbf {e} _ {z}}$ jsou jednotkové vektory v ${ displaystyle r, theta, z}$ Pokyny.

Všimněte si, že komponenty metrického tenzoru jsou takové, že

{ displaystyle g ^ {ij} = g_ {ij} = 0 (i neq j) ~; ~~ { sqrt {g ^ {11}}} = 1, ~ { sqrt {g ^ {22}} } = { cfrac {1} {r}}, ~ { sqrt {g ^ {33}}} = 1}

což ukazuje, že základna je ortogonální.

Nenulové složky symbolu Christoffel druhého druhu jsou

{ displaystyle Gamma _ {12} ^ {2} = Gamma _ {21} ^ {2} = { cfrac {1} {r}} ~; ~~ Gamma _ {22} ^ {1} = -r}

Představující fyzické vektorové pole

Normalizované kontravariantní bazální vektory ve válcových polárních souřadnicích jsou

{ displaystyle { hat { mathbf {b}}} ^ {1} = mathbf {e} _ {r} ~; ~~ { hat { mathbf {b}}} ^ {2} = mathbf {e} _ { theta} ~; ~~ { hat { mathbf {b}}} ^ {3} = mathbf {e} _ {z}}

a fyzické složky vektoru proti jsou

{ displaystyle ({ hat {v}} _ {1}, { hat {v}} _ {2}, { hat {v}} _ {3}) = (v_ {1}, v_ {2 } / r, v_ {3}) = :( v_ {r}, v _ { theta}, v_ {z})}

Gradient skalárního pole

Gradient skalárního pole, F(X), ve válcových souřadnicích lze nyní vypočítat z obecného výrazu v křivočarých souřadnicích a má tvar

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} f = { cfrac { částečné f} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} ~ { cfrac { částečné f} { částečné theta}} ~ mathbf {e} _ { theta} + { cfrac { částečné f} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} }

Přechod vektorového pole

Podobně gradient vektorového pole, proti(X), ve válcových souřadnicích lze zobrazit

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} & = { cfrac { částečné v_ {r}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r } otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} vlevo ({ cfrac { částečné v_ {r}} { částečné theta}} - v _ { theta} right) ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { theta} + { cfrac { parciální v_ {r}} { parciální z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { cfrac { částečné v _ { theta}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} vlevo ({ cfrac { částečný v _ { theta}} { částečný theta}} + v_ {r} vpravo) ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ { theta} + { cfrac { parciální v _ { theta}} { parciální z}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { cfrac { částečné v_ {z}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} { cfrac { částečný v_ {z}} { částečný theta}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ { theta} + { cfrac { parciální v_ {z}} { parciální z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z } end {zarovnáno}}}

Divergence vektorového pole

Pomocí rovnice pro divergenci vektorového pole v křivočarých souřadnicích lze divergenci ve válcových souřadnicích ukázat jako

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} & = { cfrac { částečné v_ {r}} { částečné r}} + { cfrac {1} {r}} vlevo ({ cfrac { částečné v _ { theta}} { částečné theta}} + v_ {r} pravé) + { cfrac { částečné v_ {z}} { částečné z }} end {zarovnáno}}}

Laplacián skalárního pole

Laplacian je snadněji vypočítán tím, že si to všimne ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} ^ {2} f = { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol { nabla}} f}$ . Ve válcových polárních souřadnicích

{ displaystyle mathbf {v} = { boldsymbol { nabla}} f = left [v_ {r} ~~ v _ { theta} ~~ v_ {z} right] = left [{ cfrac { částečné f} { částečné r}} ~~ { cfrac {1} {r}} { cfrac { částečné f} { částečné theta}} ~~ { cfrac { částečné f} { částečné z}} vpravo]}

Proto,

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = { boldsymbol { nabla}} ^ {2} f = { cfrac { částečné ^ {2} f} { částečné r ^ {2}}} + { cfrac {1} {r}} vlevo ({ cfrac {1} {r}} { cfrac { částečné ^ {2} f} { částečné theta ^ {2} }} + { cfrac { částečné f} { částečné r}} vpravo) + { cfrac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}} = { cfrac {1} {r}} vlevo [{ cfrac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { cfrac { částečné f} { částečné r}} pravé) pravé] + { cfrac {1 } {r ^ {2}}} { cfrac { částečné ^ {2} f} { částečné theta ^ {2}}} + { cfrac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}}

Představující fyzické tenzorové pole druhého řádu

Fyzické složky tenzorového pole druhého řádu jsou ty, které se získají, když je tenzor vyjádřen pomocí normalizované kontravariantní báze. Ve válcových polárních souřadnicích jsou tyto komponenty:

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {S}} _ {11} & = S_ {11} =: S_ {rr}, & { hat {S}} _ {12} & = { frac {S_ {12}} {r}} =: S_ {r theta}, & { hat {S}} _ {13} & = S_ {13} =: S_ {rz} [6pt] { klobouk {S}} _ {21} & = { frac {S_ {21}} {r}} =: S _ { theta r}, & { hat {S}} _ {22} & = { frac {S_ {22}} {r ^ {2}}} =: S _ { theta theta}, & { hat {S}} _ {23} & = { frac {S_ {23}} {r} } =: S _ { theta z} [6pt] { hat {S}} _ {31} & = S_ {31} =: S_ {zr}, & { hat {S}} _ {32} & = { frac {S_ {32}} {r}} =: S_ {z theta}, & { hat {S}} _ {33} & = S_ {33} =: S_ {zz} end {zarovnaný}}}

Gradient tenzorového pole druhého řádu

Pomocí výše uvedených definic můžeme ukázat, že gradient tenzorového pole druhého řádu ve válcových polárních souřadnicích lze vyjádřit jako

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol {S}} & = { frac { částečný S_ {rr}} { částečný r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} left [{ frac { částečný S_ {rr}} { partial theta}} - (S _ { theta r} + S_ {r theta}) right] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S_ {rr}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S_ {r theta}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf { e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} left [{ frac { částečné S_ {r theta}} { částečné theta }} + (S_ {rr} -S _ { theta theta}) vpravo] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S_ {r theta}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S_ {rz}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { z} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} le ft [{ frac { částečné S_ {rz}} { částečné theta}} - S _ { theta z} vpravo] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z } otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { parciální S_ {rz}} { parciální z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { z} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S _ { theta r}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} left [{ frac { částečný S _ { theta r}} { partial theta}} + (S_ {rr} -S _ { theta theta}) right] ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S _ { theta r}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S _ { theta theta}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} left [{ frac { částečné S _ { theta theta}} { partial theta}} + (S_ {r theta} + S _ { theta r}) right] ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ { theta} další mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S _ { theta theta}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S _ { theta z}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} vlevo [{ frac { částečné S _ { theta z}} { částečné theta}} + S_ {rz} vpravo ] ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S _ { theta z}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečný S_ {zr}} { částečný r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1 } {r}} left [{ frac { částečný S_ {zr}} { částečný theta}} - S_ {z theta} pravý] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S_ {zr}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S_ {z theta}} { částečné r}} ~ mathbf {e } _ {z} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes math bf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} vlevo [{ frac { částečné S_ {z theta}} { částečné theta}} + S_ {zr} pravé] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečný S_ {z theta}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ { theta} otimes mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S_ {zz}} { částečné r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} ~ { frac { částečné S_ {zz}} { částečné theta}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e } _ { theta} + { frac { částečný S_ {zz}} { částečný z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf { e} _ {z} end {zarovnáno}}}

Divergence tenzorového pole druhého řádu

Divergenci tenzorového pole druhého řádu ve válcových polárních souřadnicích lze získat z výrazu pro gradient sbíráním členů, kde skalární součin dvou vnějších vektorů v dyadických produktech je nenulový. Proto,

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol {S}} & = { frac { částečný S_ {rr}} { částečný r}} ~ mathbf {e } _ {r} + { frac { částečný S_ {r theta}} { částečný r}} ~ mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečný S_ {rz}} { částečný r}} ~ mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { cfrac {1} {r}} vlevo [{ frac { částečný S_ {r theta}} { částečný theta}} + (S_ {rr} -S _ { theta theta}) right] ~ mathbf {e} _ {r} + { cfrac {1} {r}} left [{ frac { částečná S _ { theta theta}} { částečná theta}} + (S_ {r theta} + S _ { theta r}) right] ~ mathbf {e} _ { theta} + { cfrac {1} {r}} left [{ frac { částečný S _ { theta z}} { částečný theta}} + S_ {rz} pravý] ~ mathbf {e} _ {z} [8pt] & + { frac { částečné S_ {zr}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} + { frac { částečné S_ {z theta}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ { theta} + { frac { částečné S_ {zz}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} konec {zarovnáno}}}

Viz také

Reference

Poznámky

^ ^A ^b ^C Green, A.E .; Zerna, W. (1968). Teoretická pružnost. Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.
^ ^A ^b ^C Ogden, R. W. (2000). Nelineární elastické deformace. Doveru.
^ Naghdi, P. M. (1972). "Teorie mušlí a talířů". V S. Flügge (ed.). Příručka fyziky. VIa / 2. str. 425–640.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Simmonds, J. G. (1994). Stručný přehled tenzorové analýzy. Springer. ISBN 0-387-90639-8.
^ ^A ^b Basar, Y .; Weichert, D. (2000). Numerická mechanika kontinua těles: základní pojmy a perspektivy. Springer.
^ ^A ^b ^C Ciarlet, P. G. (2000). Teorie mušlí. 1. Elsevierova věda.
^ Einstein, A. (1915). „Příspěvek k teorii obecné relativity“. V Laczos, C. (ed.). Einsteinova dekáda. p. 213. ISBN 0-521-38105-3.
^ Misner, C. W .; Thorne, K. S .; Wheeler, J. A. (1973). Gravitace. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ Greenleaf, A .; Lassas, M .; Uhlmann, G. (2003). Msgstr "Anizotropní vodivosti, které ETI nemůže detekovat". Fyziologické měření. 24 (2): 413–419. doi:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426.
^ Leonhardt, U .; Philbin, T.G. (2006). "Obecná relativita v elektrotechnice". New Journal of Physics. 8: 247. arXiv:cond-mat / 0607418. Bibcode:2006NJPh .... 8..247L. doi:10.1088/1367-2630/8/10/247.
^ „Divergence tenzorového pole“. Úvod do elasticity / tenzorů. Wikiverzita. Citováno 2010-11-26.

Další čtení

Spiegel, M. R. (1959). Vektorová analýza. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
Arfken, George (1995). Matematické metody pro fyziky. Akademický tisk. ISBN 0-12-059877-9.

externí odkazy

[Green-1] A ^b ^C Green, A.E .; Zerna, W. (1968). Teoretická pružnost. Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.

[Ogden00-2] A ^b ^C Ogden, R. W. (2000). Nelineární elastické deformace. Doveru.

[Naghdi-3] Naghdi, P. M. (1972). "Teorie mušlí a talířů". V S. Flügge (ed.). Příručka fyziky. VIa / 2. str. 425–640.

[Simmonds-4] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Simmonds, J. G. (1994). Stručný přehled tenzorové analýzy. Springer. ISBN 0-387-90639-8.

[Basar-5] A ^b Basar, Y .; Weichert, D. (2000). Numerická mechanika kontinua těles: základní pojmy a perspektivy. Springer.

[Ciarlet-6] A ^b ^C Ciarlet, P. G. (2000). Teorie mušlí. 1. Elsevierova věda.

[Lanczos-7] Einstein, A. (1915). „Příspěvek k teorii obecné relativity“. V Laczos, C. (ed.). Einsteinova dekáda. p. 213. ISBN 0-521-38105-3.

[Misner-8] Misner, C. W .; Thorne, K. S .; Wheeler, J. A. (1973). Gravitace. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[Greenleaf-9] Greenleaf, A .; Lassas, M .; Uhlmann, G. (2003). Msgstr "Anizotropní vodivosti, které ETI nemůže detekovat". Fyziologické měření. 24 (2): 413–419. doi:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426.

[Leonhardt-10] Leonhardt, U .; Philbin, T.G. (2006). "Obecná relativita v elektrotechnice". New Journal of Physics. 8: 247. arXiv:cond-mat / 0607418. Bibcode:2006NJPh .... 8..247L. doi:10.1088/1367-2630/8/10/247.

[11] „Divergence tenzorového pole“. Úvod do elasticity / tenzorů. Wikiverzita. Citováno 2010-11-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Ortogonální souřadnicové systémy
Dvourozměrný	Kartézský Polární Parabolický Bipolární Eliptický
Trojrozměrný	Kartézský Válcový Sférické Parabolický Paraboloidní Obláte sféroidní Prolate sféroidní Elipsoidní Eliptický válcový Toroidní Bispherical Bipolární válcový Kuželovitý 6-koule