Formulář připojení - Connection form - Wikipedia

v matematika a konkrétně diferenciální geometrie, a formulář připojení je způsob organizace dat a spojení pomocí jazyka pohyblivé rámečky a diferenciální formy.

Historicky byly formy připojení zavedeny Élie Cartan v první polovině 20. století jako součást a jedna z hlavních motivací pro jeho metodu pohybu rámů. Forma připojení obecně závisí na výběru a souřadnicový rám, a tak tomu není tenzorový objekt. Po Cartanově počátečním díle byly formulovány různé zobecnění a reinterpretace formuláře spojení. Zejména na a hlavní balíček, a hlavní připojení je přirozená reinterpretace formy spojení jako tenzorového objektu. Na druhou stranu má forma připojení tu výhodu, že se jedná o diferenciální formu definovanou na diferencovatelné potrubí, spíše než na abstraktním hlavním svazku nad ním. Proto, navzdory jejich nedostatečné tenzorialitě, se formy připojení stále používají kvůli relativní snadnosti provádění výpočtů s nimi.^[1] v fyzika, formy připojení se také široce používají v kontextu teorie měřidel, skrz měřidlo kovarianční derivace.

Ke každému je přidružen formulář připojení základ a vektorový svazek A matice různých forem. Formulář připojení není tenzorový, protože pod a změna základny se forma připojení transformuje způsobem, který zahrnuje vnější derivace z přechodové funkce, v podstatě stejným způsobem jako Christoffel symboly pro Připojení Levi-Civita. Hlavní tenzorový invariant formy připojení je jeho zakřivená forma. V přítomnosti a pájecí forma identifikace vektorového svazku s tečný svazek existuje další invariant: torzní forma. V mnoha případech jsou formy připojení považovány za vektorové svazky s další strukturou: a svazek vláken s strukturní skupina.

Vektorové svazky

Rámečky na vektorovém svazku

Nechat E být vektorový svazek rozměr vlákna k přes diferencovatelné potrubí M. A místní rám pro E je objednaný základ z místní sekce z E. Vždy je možné sestavit místní rámec, protože vektorové svazky jsou vždy definovány z hlediska místní trivializace, analogicky k atlas potrubí. To znamená, s ohledem na jakýkoli bod X na základním potrubí M, existuje otevřené sousedství U ⊂ M z X u kterého vektorový svazek skončil U je izomorfní s prostorem U × R^k: toto je místní bagatelizace. Struktura vektorového prostoru zapnuta R^k tím lze rozšířit na celou lokální bagatelizaci a základ na R^k lze také prodloužit; toto definuje místní rámec. (Tady, R má znamenat reálná čísla ℝ, i když velkou část vývoje lze rozšířit na moduly nad prsteny obecně a zejména na vektorové prostory nad komplexními čísly).)

Nechat E = (E_α)_α=1,2,...,k být lokálním rámcem E. Tento rámec lze použít k místnímu vyjádření libovolné části E. Předpokládejme například, že ξ je místní řez definovaný ve stejné otevřené sadě jako rám E. Pak

${ displaystyle xi = součet _ { alpha = 1} ^ {k} e _ { alpha} xi ^ { alpha} ( mathbf {e})}$

kde ξ^α(E) označuje komponenty z ξ v rámu E. Jako maticová rovnice to zní

${ displaystyle xi = { mathbf {e}} { začátek {bmatrix} xi ^ {1} ( mathbf {e}) xi ^ {2} ( mathbf {e}) vdots xi ^ {k} ( mathbf {e}) end {bmatrix}} = { mathbf {e}} , xi ( mathbf {e})}$

v obecná relativita, jsou taková pole rámce označována jako tetrady. Tetrad specificky spojuje místní rámec s explicitním souřadným systémem na základním potrubí M (souřadnicový systém zapnut M zavádí atlas).

Vnější připojení

A spojení v E je typ operátor diferenciálu

${ displaystyle D: Gamma (E) rightarrow Gamma (E otimes Omega ^ {1} M)}$

kde Γ označuje snop místních sekce vektorového svazku a Ω¹M je balíček různých 1 forem na M. Pro D aby bylo připojení, musí být správně připojeno k vnější derivace. Konkrétně pokud proti je místní část E, a F je tedy plynulá funkce

${ displaystyle D (fv) = proti otimes (df) + fDv}$

kde df je vnější derivát F.

Někdy je vhodné rozšířit definici D na libovolné E- hodnotné formuláře, což jej považuje za diferenciálního operátora tenzorového součinu E s plným vnější algebra různých forem. Vzhledem k externímu připojení D splňující tuto vlastnost kompatibility, existuje jedinečné rozšíření D:

${ displaystyle D: Gamma (E otimes Omega ^ {*} M) rightarrow Gamma (E otimes Omega ^ {*} M)}$

takhle

${ displaystyle D (v klín alfa) = (Dv) klín alfa + (- 1) ^ {{ text {deg}} , v} v klín d alfa}$

kde proti je homogenní se stupněm deg proti. Jinými slovy, D je derivace na svazku odstupňovaných modulů Γ (E ⊗ Ω^*M).

Formuláře připojení

The formulář připojení vzniká při aplikaci vnějšího spojení na konkrétní rám E. Při použití vnějšího připojení k E_α, je to jedinečný k × k matice (ω_α^β) z jednoformátové na M takhle

${ displaystyle De _ { alpha} = sum _ { beta = 1} ^ {k} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta}.}$

Pokud jde o formu připojení, vnější připojení kterékoli části E nyní lze vyjádřit. Předpokládejme například, že ξ = Σ_α E_αξ^α. Pak

${ displaystyle D xi = součet _ { alpha = 1} ^ {k} D (e _ { alpha} xi ^ { alpha} ( mathbf {e})) = součet _ { alpha = 1} ^ {k} e _ { alpha} další d xi ^ { alpha} ( mathbf {e}) + sum _ { alpha = 1} ^ {k} sum _ { beta = 1 } ^ {k} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta} xi ^ { alpha} ( mathbf {e}).}$

Vezmeme komponenty na obou stranách,

${ displaystyle D xi ( mathbf {e}) = d xi ( mathbf {e}) + omega xi ( mathbf {e}) = (d + omega) xi ( mathbf {e} )}$

pokud se to rozumí d a ω odkazují na komponentní derivaci s ohledem na rámec E, a matice 1-forem, respektive, působících na složky ξ. Naopak matice 1-forem ω je a priori dostačující k úplnému určení spojení lokálně na otevřené množině, na které je základem sekcí E je definováno.

Změna rámu

Za účelem prodloužení ω do vhodného globálního objektu, je nutné prozkoumat, jak se chová, když se liší výběr základních sekcí E je vybrán. Psát si ω_α^β = ω_α^β(E) k označení závislosti na výběru E.

Předpokládejme to E′ Je jiná volba místního základu. Pak je tu invertible k × k matice funkcí G takhle

${ displaystyle { mathbf {e}} '= { mathbf {e}} , g, quad { text {tj.}} e' _ { alpha} = součet _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}.}$

Použití vnějšího spojení na obě strany dává zákon transformace pro ω:

${ displaystyle omega ( mathbf {e} , g) = g ^ {- 1} dg + g ^ {- 1} omega ( mathbf {e}) g.}$

Všimněte si zejména toho ω se nepodaří transformovat do a tenzorový způsobem, protože pravidlo pro přechod z jednoho snímku do druhého zahrnuje derivace přechodové matice G.

Globální formy připojení

Pokud {U_str} je otevřený obal Ma každý U_str je vybaven bagatelizací E_str z E, pak je možné definovat globální formulář připojení, pokud jde o data opravy mezi formuláři místního připojení v překrývajících se oblastech. Podrobně, a formulář připojení na M je systém matic ω(E_str) 1-forem definovaných na každé z nich U_str které splňují následující podmínku kompatibility

${ displaystyle omega ( mathbf {e} _ {q}) = ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) ^ {- 1} d ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) + ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) ^ {-1} omega ( mathbf {e} _ {p}) ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}).}$

Tento podmínka kompatibility zejména zajišťuje, že vnější spojení části E, jsou-li považovány abstraktně za část E ⊗ Ω¹M, nezávisí na výběru základního úseku použitého k definování připojení.

Zakřivení

The zakřivení dvou tvarů formuláře připojení v E je definováno

${ displaystyle Omega ( mathbf {e}) = d omega ( mathbf {e}) + omega ( mathbf {e}) klín omega ( mathbf {e}).}$

Na rozdíl od formy připojení se zakřivení chová tenzoricky při změně rámce, který lze zkontrolovat přímo pomocí Poincaré lemma. Konkrétně pokud E → E G je změna rámce, pak se zakřivení dvou forem transformuje o

${ displaystyle Omega ( mathbf {e} , g) = g ^ {- 1} Omega ( mathbf {e}) g.}$

Jedna interpretace tohoto transformačního zákona je následující. Nechat E^* být dvojí základ odpovídající rámečku E. Pak 2-forma

${ displaystyle Omega = { mathbf {e}} Omega ( mathbf {e}) { mathbf {e}} ^ {*}}$

je nezávislá na výběru rámu. Zejména je Ω dvouhodnotová vektorová hodnota M s hodnotami v endomorfismus prsten Hom (E,E). Symbolicky,

${ displaystyle Omega in Gamma ( Omega ^ {2} M otimes { text {Hom}} (E, E)).}$

Pokud jde o vnější připojení D, endomorfismus zakřivení je dán vztahem

${ displaystyle Omega (v) = D (Dv) = D ^ {2} v ,}$

pro proti ∈ E. Zakřivení tedy měří selhání sekvence

${ displaystyle Gamma (E) { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ {1} M) { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ {2} M) { stackrel {D} { to}} dots { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ { n} (M))}$

být a řetězový komplex (ve smyslu de Rhamova kohomologie ).

Pájení a kroucení

Předpokládejme, že rozměr vlákna k z E se rovná dimenzi potrubí M. V tomto případě vektorový svazek E je někdy kromě připojení vybaveno dalšími údaji: a pájecí forma. A pájecí forma je globálně definovaný vektorová hodnota jedné formy θ ∈ Ω¹(M,E) takové, že mapování

${ displaystyle theta _ {x}: T_ {x} M rightarrow E_ {x}}$

je lineární izomorfismus pro všechny X ∈ M. Pokud je uveden pájecí formulář, je možné definovat kroucení připojení (z hlediska vnějšího připojení) jako

${ displaystyle Theta = D theta. ,}$

Torze Θ je E-hodnota 2-forma na M.

Pájecí forma a související torze mohou být popsány v podmínkách lokálního rámu E z E. Pokud je θ pájecí forma, rozloží se na komponenty rámu

${ displaystyle theta = součet _ {i} theta ^ {i} ( mathbf {e}) e_ {i}.}$

Složky torze jsou tedy

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e}) = d theta ^ {i} ( mathbf {e}) + sum _ {j} omega _ {j} ^ {i} ( mathbf {e}) wedge theta ^ {j} ( mathbf {e}).}$

Stejně jako zakřivení lze ukázat, že Θ se chová jako a kontravariantní tenzor pod změnou rámu:

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e} , g) = součet _ {j} g_ {j} ^ {i} Theta ^ {j} ( mathbf {e}).}$

Torze nezávislá na rámu může být také obnovena z komponent rámu:

${ displaystyle Theta = součet _ {i} e_ {i} Theta ^ {i} ( mathbf {e}).}$

Bianchi identity

The Bianchi identity vztahují torzi k zakřivení. První identita Bianchi to říká

${ displaystyle D Theta = Omega klín theta.}$

zatímco druhá identita Bianchi to říká

${ displaystyle , D Omega = 0}$

Příklad: připojení Levi-Civita

Předpokládejme například, že M nese a Riemannova metrika. Pokud má někdo vektorový svazek E přes M, pak lze metriku rozšířit na celý vektorový svazek, jako metrika svazku. Jeden pak může definovat připojení, které je kompatibilní s touto metrikou balíčku, to je metrické připojení. Pro zvláštní případ E být tečný svazek TM, metrické připojení se nazývá Riemannovo spojení. Vzhledem k Riemannovu spojení lze vždy najít jedinečné ekvivalentní spojení bez kroucení. To je Připojení Levi-Civita na tangenciálním svazku TM z M.^[2][3]

Místní rámec na svazku tangenty je uspořádaný seznam vektorových polí E = (E_i | i = 1,2, ..., n = dim M) definované na otevřené podmnožině M které jsou lineárně nezávislé v každém bodě jejich domény. Symboly Christoffel definují spojení Levi-Civita podle

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = součet _ {k = 1} ^ {n} gama _ {ij} ^ {k} ( mathbf {e}) e_ {k} .}$

Pokud θ = {θⁱ | i = 1,2, ..., n}, označuje dvojí základ z kotangenský svazek, takže θⁱ(E_j) = δⁱ_j (dále jen Kroneckerova delta ), pak je formulář připojení

${ displaystyle omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) = součet _ {k} gama _ {ki} ^ {j} ( mathbf {e}) theta ^ {k} .}$

Pokud jde o formu připojení, vnější spojení na vektorovém poli proti = Σ_iE_iprotiⁱ darováno

${ displaystyle Dv = sum _ {k} e_ {k} otimes (dv ^ {k}) + sum _ {j, k} e_ {k} otimes omega _ {j} ^ {k} ( mathbf {e}) v ^ {j}.}$

Jeden může obnovit spojení Levi-Civita, v obvyklém smyslu, z toho smlouvou s E_i:

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} v = langle Dv, e_ {i} rangle = součet _ {k} e_ {k} vlevo ( nabla _ {e_ {i}} v ^ { k} + sum _ {j} Gamma _ {ij} ^ {k} ( mathbf {e}) v ^ {j} vpravo)}$

Zakřivení

Zakřivení 2-formy spojení Levi-Civita je matice (Ω_i^j) dána

${ displaystyle Omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) = d omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) + součet _ {k} omega _ { k} ^ {j} ( mathbf {e}) klín omega _ {i} ^ {k} ( mathbf {e}).}$

Pro jednoduchost předpokládejme, že rám E je holonomický, takže dθⁱ=0.^[4] Poté, nyní zaměstnává konvence součtu na opakovaných indexech,

${ displaystyle { begin {array} {ll} Omega _ {i} ^ {j} & = d ( Gamma _ {qi} ^ {j} theta ^ {q}) + ( Gamma _ {pk } ^ {j} theta ^ {p}) wedge ( Gamma _ {qi} ^ {k} theta ^ {q}) & & = theta ^ {p} wedge theta ^ {q} left ( partial _ {p} Gamma _ {qi} ^ {j} + Gamma _ {pk} ^ {j} Gamma _ {qi} ^ {k}) right) & & = { tfrac {1} {2}} theta ^ {p} wedge theta ^ {q} R_ {pqi} {} ^ {j} end {array}}}$

kde R je Riemannův tenzor zakřivení.

Kroucení

Spojení Levi-Civita je charakterizováno jako jedinečné metrické připojení v tangenciálním svazku s nulovou torzí. Chcete-li popsat kroucení, všimněte si, že vektorový svazek E je tangenta svazek. To nese kanonickou pájecí formu (někdy nazývanou kanonický jeden formulář, zejména v kontextu klasická mechanika ), což je řez θ Hom (TM, TM) = T^∗M ⊗ TM odpovídající endomorfismu identity tečných prostorů. V rámu E, pájecí forma je θ = Σ_i E_i ⊗ θⁱ, kde znovu θⁱ je dvojí základ.

Torze spojení je dána vztahem Θ = D θ, nebo pokud jde o rámové komponenty pájecí formy od

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e}) = d theta ^ {i} + součet _ {j} omega _ {j} ^ {i} ( mathbf {e}) klín theta ^ {j}.}$

Předpokládejme znovu pro jednoduchost E je holonomický, tento výraz se redukuje na

${ displaystyle Theta ^ {i} = Gamma _ {kj} ^ {i} theta ^ {k} klín theta ^ {j}}$,

který zmizí právě tehdy, když Γⁱ_kj je symetrický na svých nižších indexech.

Vzhledem k metrickému spojení s torzí lze vždy najít jediné jedinečné spojení bez torze, toto je spojení Levi-Civita. Rozdíl mezi riemannovským spojením a přidruženým spojením Levi-Civita je tenzor kontorze.

Skupiny struktur

Konkrétnější typ formuláře připojení lze sestavit, když je vektorový svazek E nese a strukturní skupina. To představuje preferovanou třídu rámců E na E, které souvisejí s a Lež skupina G. Například v přítomnosti a metrický v E, jeden pracuje s rámy, které tvoří ortonormální základ v každém bodě. Skupinou struktury je pak ortogonální skupina, protože tato skupina zachovává ortonální formu rámců. Mezi další příklady patří:

• Obvyklé rámy, uvažované v předchozí části, mají konstrukční skupinu GL (k) kde k je rozměr vlákna E.
• Holomorfní tangentní svazek a komplexní potrubí (nebo téměř složité potrubí ).^[5] Zde je skupina struktur GL_n(C) ⊂ GL_2n(R).^[6] V případě a poustevnická metrika je uveden, pak se skupina struktury redukuje na unitární skupina působící na jednotné rámy.^[5]
• Spinors na potrubí vybaveném a spinová struktura. Rámečky jsou jednotné s ohledem na neměnný vnitřní produkt v prostoru rotace a skupina se redukuje na spinová skupina.
• Holomorfní tangentní svazky na CR rozdělovače.^[7]

Obecně řečeno E být daným vektorovým svazkem vláken k a G ⊂ GL (k) daná Lieova podskupina obecné lineární skupiny R^k. Pokud (E_α) je místní rámec E, pak funkce s hodnotou matice (G_i^j): M → G může jednat o E_α k výrobě nového rámu

${ displaystyle e _ { alpha} '= sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}.}$

Dva takové rámy jsou G-příbuzný. Neformálně vektorový svazek E má struktura a G- svazek pokud je zadána preferovaná třída rámců, všechny jsou lokálně G- vzájemně související. Formálně E je svazek vláken se strukturní skupinou G jehož typické vlákno je R^k s přirozeným působením G jako podskupina GL (k).

Kompatibilní připojení

Spojení je kompatibilní se strukturou a G-bundle on E za předpokladu, že přidružené paralelní doprava mapy vždy pošlou jednu G-rám do jiného. Formálně musí podél křivky γ lokálně platit následující (tj. Pro dostatečně malé hodnoty t):

${ displaystyle Gamma ( gamma) _ {0} ^ {t} e _ { alpha} ( gamma (0)) = součet _ { beta} e _ { beta} ( gamma (t)) g_ { alpha} ^ { beta} (t)}$

pro nějakou matici G_α^β (což může také záviset na t). Diferenciace v t= 0 dává

${ displaystyle nabla _ {{ dot { gamma}} (0)} e _ { alpha} = součet _ { beta} e _ { beta} omega _ { alpha} ^ { beta} ( { dot { gamma}} (0))}$

kde koeficienty ω_α^β jsou v Lež algebra G skupiny Lie G.

S tímto pozorováním forma spojení ω_α^β definován

${ displaystyle De _ { alpha} = sum _ { beta} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta} ( mathbf {e})}$

je kompatibilní se strukturou jestliže matice jednoformátů ω_α^β(E) bere své hodnoty dovnitř G.

Forma zakřivení kompatibilního spojení je navíc a G-hodnota dvou forem.

Změna rámu

Pod změnou rámu

${ displaystyle e _ { alpha} '= sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}}$

kde G je G-hodnotová funkce definovaná na otevřené podmnožině M, forma připojení se transformuje pomocí

${ displaystyle omega _ { alpha} ^ { beta} ( mathbf {e} cdot g) = (g ^ {- 1}) _ { gamma} ^ { beta} dg _ { alpha} ^ { gamma} + (g ^ {- 1}) _ { gamma} ^ { beta} omega _ { delta} ^ { gamma} ( mathbf {e}) g _ { alpha} ^ { delta}.}$

Nebo pomocí maticových produktů:

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}} cdot g) = g ^ {- 1} dg + g ^ {- 1} omega g.}$

Chcete-li interpretovat každý z těchto výrazů, připomeňte si to G : M → G je G-hodnotená (místně definovaná) funkce. S ohledem na to

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}} cdot g) = g ^ {*} omega _ { mathfrak {g}} + { text {Ad}} _ {g ^ {- 1}} omega ( mathbf {e})}$

kde ω_G je Maurer-Cartanův formulář pro skupinu G, tady stáhl na M podél funkce Ga Ad je adjunkční reprezentace z G na jeho Lieově algebře.

Hlavní balíčky

Forma připojení, jak byla dosud zavedena, závisí na konkrétní volbě rámce. V první definici je rámec pouze lokálním základem řezů. Každému rámci je dán formulář připojení s transformačním zákonem pro přechod z jednoho snímku do druhého. Ve druhé definici samotné rámy nesou nějakou další strukturu poskytnutou Lieovou skupinou a změny rámce jsou omezeny na ty, které v ní mají své hodnoty. Jazyk hlavních svazků, který propagoval Charles Ehresmann ve čtyřicátých letech 20. století poskytuje způsob organizace těchto mnoha forem spojení a transformačních zákonů, které je spojují do jediné vnitřní formy s jediným pravidlem pro transformaci. Nevýhodou tohoto přístupu je, že formy již nejsou definovány na samotném potrubí, ale spíše na větším hlavním svazku.

Hlavní připojení pro formulář připojení

Předpokládejme to E → M je vektorový svazek se strukturní skupinou G. Nechť {U} být otevřenou obálkou M, spolu s G-rámce na každém U, označeno E_U. Ty souvisejí na křižovatkách překrývajících se otevřených množin o

${ displaystyle { mathbf {e}} _ {V} = { mathbf {e}} _ {U} cdot h_ {UV}}$

pro některé G-hodnotená funkce h_UV definováno dne U ∩ PROTI.

Ať F_GE být množinou všeho G- snímky převzaté z každého bodu M. Toto je jistina G-bundle přes M. Podrobně s využitím skutečnosti, že G-rámce jsou všechny G- související, F_GE lze realizovat z hlediska lepení dat mezi sadami otevřeného krytu:

${ displaystyle F_ {G} E = vlevo. coprod _ {U} U krát G vpravo / sim}$

Kde vztah ekvivalence ${ displaystyle sim}$ je definováno

${ displaystyle ((x, g_ {U}) v U krát G) sim ((x, g_ {V}) ve V krát G) iff { mathbf {e}} _ {V} = { mathbf {e}} _ {U} cdot h_ {UV} { text {and}} g_ {U} = h_ {UV} ^ {- 1} (x) g_ {V}.}$

Na F_GE, definujte a ředitel školy G-spojení následovně zadáním a G-hodnota jednoho formuláře na každém produktu U × G, který respektuje vztah ekvivalence na překrývajících se regionech. Nejprve nechte

${ displaystyle pi _ {1}: U krát G až U, quad pi _ {2}: U krát G až G}$

být projekční mapy. Nyní, pro bod (X,G) ∈ U × G, nastavit

${ displaystyle omega _ {(x, g)} = Ad_ {g ^ {- 1}} pi _ {1} ^ {*} omega ( mathbf {e} _ {U}) + pi _ {2} ^ {*} omega _ { mathbf {g}}.}$

Takto vytvořená 1 forma ω respektuje přechody mezi překrývajícími se množinami, a proto sestupuje, aby poskytla globálně definovanou 1 formu na hlavním svazku F_GE. Je možné ukázat, že ω je hlavní spojení v tom smyslu, že reprodukuje generátory pravice G akce na F_GEa ekvivariantně prolíná správnou akci na T (F._GE) s adjoint reprezentací G.

Formuláře připojení přidružené k hlavnímu připojení

Naopak, jistina G-pojení ω v jistině G- svazek P→M vytváří sbírku formulářů připojení na M. Předpokládejme to E : M → P je místní část P. Pak je zpětná vazba ω E definuje a G-hodnota jednoho formuláře na M:

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}}) = { mathbf {e}} ^ {*} omega.}$

Změna snímků o a G-hodnotená funkce G, jeden vidí, že ω (E) se transformuje požadovaným způsobem pomocí Leibnizova pravidla a přídavku:

${ displaystyle langle X, ({ mathbf {e}} cdot g) ^ {*} omega rangle = langle [d ( mathbf {e} cdot g)] (X), omega zvonit}$

kde X je vektor na M, a d označuje tlačit kupředu.

Viz také

• Ehresmann spojení
• Kartanové připojení
• Afinní spojení
• Zakřivená forma

Poznámky

Reference

• Chern, S.-S., Témata v diferenciální geometrii, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.
• Chern S. S .; Moser, J.K. (1974), „Skutečné hyperplochy ve složitých varietách“, Acta Math., 133: 219–271, doi:10.1007 / BF02392146
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principy algebraické geometrieJohn Wiley a synové, ISBN  0-471-05059-8
• Jost, Jürgen (2011), Riemannova geometrie a geometrická analýza (PDF)Universitext (šesté vydání), Springer, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN  978-3-642-21297-0, PAN  2829653
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, sv. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, sv. 2 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15732-5
• Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek 2), Publikovat nebo zahynout, ISBN  0-914098-71-3
• Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek 3), Publikovat nebo zahynout, ISBN  0-914098-72-1
• Wells, R.O. (1973), Diferenciální analýza složitých potrubí, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0
• Wells, R.O. (1980), Diferenciální analýza složitých potrubí, Prentice – Hall