Fraktální derivát - Fractal derivative
![]() | Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
|
v aplikovaná matematika a matematická analýza, fraktální derivát nebo Hausdorffův derivát je nenewtonovské zobecnění derivát zabývající se měřením fraktály, definované ve fraktální geometrii. Fraktální deriváty byly vytvořeny pro studium anomální difúze, při které tradiční přístupy nezohledňují fraktální povahu média. A fraktální opatření t je zmenšen podle tα. Takový derivát je na rozdíl od podobně aplikovaného lokální frakční derivát.
Fyzické pozadí
Porézní média, kolektory, turbulence a další média obvykle vykazují fraktální vlastnosti. Klasické fyzikální zákony jako Fickovy zákony šíření, Darcyho zákon, a Fourierův zákon již na taková média neplatí, protože jsou založeny na Euklidovská geometrie, což se nevztahuje na médiacelé číslo fraktální rozměry. Základní fyzikální pojmy jako např vzdálenost a rychlost ve fraktálních médiích je nutné předefinovat; váhy pro prostor a čas by se měly transformovat podle (Xβ, tα). Základní fyzikální pojmy jako rychlost v a fraktální časoprostor (Xβ, tα) lze předefinovat:
- ,
kde Sα, β představuje fraktální časoprostor s měřítkovými indexy α a β. Tradiční definice rychlosti nemá v nediferencovatelném fraktálovém časoprostoru smysl.
Definice
Na základě výše uvedené diskuse je koncept fraktální derivace funkce u(t) s ohledem na a fraktální opatření t byl zaveden následovně:
- ,
Obecnější definici dává
- .
Motivace
The deriváty funkce f lze definovat pomocí koeficientů ak v Taylor série rozšíření:
Z tohoto přístupu lze přímo získat:
To lze zobecnit aproximací f s funkcemi (xα-(X0)α)k:
poznámka: koeficient nejnižšího řádu musí být stále b0= f (x0), protože je to stále konstantní aproximace funkce f na x0.
Opět lze přímo získat:
Vlastnosti
Koeficienty roztažnosti
Stejně jako v expanzi Taylorovy řady jsou koeficienty bk lze vyjádřit jako fraktální derivace řádu k f:
Důkaz: předpoklad existuje, bk lze psát jako
lze nyní použít a od té doby
Spojení s derivátem
Pokud je pro danou funkci f jak derivace Df, tak fraktální derivace DαPokud existuje f, lze najít analogii k řetězovému pravidlu:
Poslední krok je motivován Věta o implicitní funkci což nám za vhodných podmínek dává dx / dxα = (dxα/ dx)−1
Podobně pro obecnější definici:

Aplikace při anomální difúzi
Jako alternativní přístup k modelování klasického Fickova druhého zákona se fraktální derivace používá k odvození lineární anomální transportně-difúzní rovnice anomální difúze proces,
kde 0 < α < 2, 0 < β <1 a δ(X) je Diracova delta funkce.
Za účelem získání zásadní řešení použijeme transformaci proměnných
potom se rovnice (1) stane rovnicí normální difúzní formy, řešení (1) má natažené Gaussian formulář:
The střední čtvercový posun výše uvedené rovnice difúzní derivace difúze má asymptota:
Fraktálně-frakční počet
Fraktální derivace je spojena s klasickou derivací, pokud existuje první derivace vyšetřované funkce. V tomto případě,
- .
Kvůli vlastnosti diferencovatelnosti integrálu jsou však zlomkové deriváty diferencovatelné, a proto byl představen následující nový koncept
Následující operátory diferenciálu byly zavedeny a použity velmi nedávno.[1] Předpokládejme, že y (t) je spojité a fraktálně diferencovatelné na (a, b) podle pořadí β, několik definic fraktálně-zlomkové derivace y (t) drží s řádem α ve smyslu Riemann – Liouville:[1]
- Mít jádro typu zákona o výkonu:
- S exponenciálně se rozpadajícím jádrem typu:
,
- Po zobecnění jádra typu Mittag-Leffler:
Každý z výše uvedených diferenciálních operátorů má přidružený fraktálně-zlomkový integrální operátor, a to následovně:[1]
- Jádro typu power law:
- Exponenciálně rozpadající se jádro typu:
.
- Zobecněné jádro typu Mittag-Leffler:
.FFM je posuzován jako fraktálně-zlomkový s generalizovaným jádrem Mittag-Leffler.
Viz také
Reference
- ^ A b C Atangana, Abdon; Sania, Qureshi (2019). "Modelování atraktorů chaotických dynamických systémů s fraktálně-zlomkovými operátory". Chaos, solitony a fraktály. 123: 320–337. Bibcode:2019CSF ... 123..320A. doi:10.1016 / j.chaos.2019.04.020.
- Chen, W. (2006). "Časoprostorová struktura pod anomální difúzí". Chaos, solitony a fraktály. 28 (4): 923–929. arXiv:math-ph / 0505023. Bibcode:2006CSF .... 28..923C. doi:10.1016 / j.chaos.2005.08.199. S2CID 18369880.
- Kanno, R. (1998). "Reprezentace náhodné chůze ve fraktálním časoprostoru". Physica A. 248 (1–2): 165–175. Bibcode:1998PhyA..248..165K. doi:10.1016 / S0378-4371 (97) 00422-6.
- Chen, W .; Sun, H.G .; Zhang, X .; Korosak, D. (2010). "Anomální difúzní modelování fraktálními a frakčními deriváty". Počítače a matematika s aplikacemi. 59 (5): 1754–8. doi:10.1016 / j.camwa.2009.08.020.
- Sun, H.G .; Meerschaert, M.M .; Zhang, Y .; Zhu, J .; Chen, W. (2013). „Fraktálova Richardsova rovnice k zachycení neboltzmannovského měřítka vodní dopravy v nenasycených médiích“. Pokroky ve vodních zdrojích. 52 (52): 292–5. Bibcode:2013AdWR ... 52..292S. doi:10.1016 / j.advwatres.2012.11.005. PMC 3686513. PMID 23794783.
- Cushman, J.H .; O'Malley, D .; Park, M. (2009). "Anomální difúze, jak je modelováno nestacionárním rozšířením Brownova pohybu". Phys. Rev.. 79 (3): 032101. Bibcode:2009PhRvE..79c2101C. doi:10.1103 / PhysRevE.79.032101. PMID 19391995.
- Mainardi, F .; Mura, A .; Pagnini, G. (2010). „Funkce M-Wright v procesech časově zlomkové difúze: Výukový průzkum“. Mezinárodní žurnál diferenciálních rovnic. 2010: 104505. arXiv:1004.2950. Bibcode:2010arXiv1004.2950M. doi:10.1155/2010/104505. S2CID 37271918.