Zvyšování a snižování indexů - Raising and lowering indices

v matematika a matematická fyzika, zvyšování a snižování indexů jsou operace na tenzory které mění jejich typ. Zvyšování a snižování indexů je formou manipulace s indexem v tenzorových výrazech.

Typ tenzoru

Vzhledem k tenzorové pole na potrubí $M$ , v přítomnosti a nesmyslná forma na $M$ (například a Riemannova metrika nebo Minkowského metrika ), lze změnit typ pomocí zvýšení nebo snížení indexu $(A, b)$ tenzor na a $(A + 1, b - 1)$ tensor (zvýšit index) nebo na a $(A - 1, b + 1)$ tensor (dolní index), kde notace $(A, b)$ byl použit k označení tenzorové pořadí $A + b$ s $A$ horní indexy a $b$ nižší indexy.

Jeden to dělá vynásobením kovariantní nebo kontrariantní metrický tenzor a pak uzavírání smluv indexy, což znamená, že dva indexy jsou nastaveny stejně a poté se sčítají přes opakované indexy (použití Einsteinova notace ). Viz příklady níže.

Vektory (tenzory řádu 1)

Vynásobením kontrariantní metrický tenzor $G ij$ a kontrakce produkuje další tenzor s horním indexem:

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = B ^ {i} ,,}

Stejný základní symbol se obvykle používá k označení tohoto nového tenzoru a přemístění indexu se v tomto kontextu obvykle chápe jako odkaz na tento nový tenzor a nazývá se zvýšení indexu, který by byl napsán

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} ,.}

Podobně, vynásobením kovariantní metrický tenzor a kontrakce snižuje index (se stejným porozuměním ohledně opětovného použití základního symbolu):

{displaystyle g_ {ij} A ^ {j} = A_ {i} ,.}

Formulář $G ij$ nemusí být nonsingular ke snížení indexu, ale pro získání inverze (a tedy zvýšení indexu) to musí být nonsingular.

Zvýšení a následné snížení stejného indexu (nebo naopak) jsou inverzní operace, což se projeví v kovariantních a kontravariantních metrických tenzorech, které jsou navzájem inverzní:

{displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = g_ {kj} g ^ {ji} = {delta ^ {i}} _ {k} = {delta _ {k}} ^ {i}}

kde $δ i k$ je Kroneckerova delta nebo matice identity. Protože existují různé možnosti metriky s různými metrické podpisy (znaky podél diagonálních prvků, tj. tenzorové komponenty se stejnými indexy), je obvykle uvedeno jméno a podpis, aby nedošlo k záměně. Různí autoři používají různé metriky a podpisy z různých důvodů.

Mnemonicky (ačkoli nesprávně), jeden by mohl myslet na indexy "rušení" mezi metrikou a jiným tenzorem a metrika zvyšování nebo snižování indexu. Ve výše uvedených příkladech jsou takové „zrušení“ a „kroky“ podobné

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = {zrušit {g}} ^ {i {zrušit {j}}} A_ {zrušit {j}} = A ^ {i} ,,}

I když je to užitečný průvodce, jde pouze o mnemotechniku a nikoli o vlastnost tenzorů, protože indexy se nezruší jako v rovnicích, jedná se pouze o koncept notace. Výsledky pokračují níže pro tenzory vyššího řádu (tj. Více indexů).

Při zvyšování indexů veličin v časoprostoru pomáhá rozložit souhrny na „časové komponenty“ (kde indexy jsou nulové) a „vesmírné komponenty“ (kde indexy jsou 1, 2, 3, běžně reprezentované latinskými písmeny).

Příklad z Minkowského časoprostor

Kovariant 4 polohy darováno

{displaystyle X_ {mu} = (- ct, x, y, z)}

s komponenty:

{displaystyle X_ {0} = - ct, quad X_ {1} = x, quad X_ {2} = y, quad X_ {3} = z}

(kde $X$ , $y$ , $z$ jsou obvyklé Kartézské souřadnice ) a Minkowského metrika tenzor s podpisem (- + + +) je definován jako

{displaystyle eta _ {mu u} = eta ^ {mu u} = {egin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}

v komponentách:

{displaystyle eta _ {00} = - 1, quad eta _ {i0} = eta _ {0i} = 0, quad eta _ {ij} = delta _ {ij}, (i, jeq 0).}

Chcete-li zvýšit index, vynásobte tenzorem a kontrakcí:

{displaystyle X ^ {lambda} = eta ^ {lambda mu} X_ {mu} = eta ^ {lambda 0} X_ {0} + eta ^ {lambda i} X_ {i}}

pak pro $λ = 0$ :

{displaystyle X ^ {0} = eta ^ {00} X_ {0} + eta ^ {0i} X_ {i} = - X_ {0}}

a pro $λ = j = 1, 2, 3$ :

{displaystyle X ^ {j} = eta ^ {j0} X_ {0} + eta ^ {ji} X_ {i} = delta ^ {ji} X_ {i} = X_ {j} ,.}

Kontrovariantní 4 pozice se zvýšeným indexem je tedy:

{displaystyle X ^ {mu} = (ct, x, y, z) ,.}

Tenzory (vyššího řádu)

Objednávka 2

Pro tenzor objednávky 2^[1] dvojnásobné vynásobení kontravariantním metrickým tenzorem a kontrakce v různých indexech zvyšuje každý index:

{displaystyle A ^ {alpha eta} = g ^ {alpha gamma} g ^ {eta delta} A_ {gamma delta}}

a dvojnásobné násobení kovariantním metrickým tenzorem a kontrakce v různých indexech snižuje každý index:

{displaystyle A_ {alpha eta} = g_ {alpha gamma} g_ {eta delta} A ^ {gamma delta}}

Příklad z klasický elektromagnetismus a speciální relativita

The kontrariantní elektromagnetický tenzor v $(+ - - -)$ podpis je dán^[2]

{displaystyle F ^ {alpha eta} = {egin {pmatrix} 0 & - {frac {E_ {x}} {c}} & - {frac {E_ {y}} {c}} & - {frac {E_ {z }} {c}} {frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} {frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ { x} {frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {pmatrix}}}

v komponentách:

{displaystyle F ^ {0i} = - F ^ {i0} = - {frac {E ^ {i}} {c}}, čtyřkolka F ^ {ij} = - varepsilon ^ {ijk} B_ {k}}

Chcete-li získat kovariantní tenzor $F αβ$ , vynásobte metrickým tenzorem a kontraktem:

{displaystyle {egin {aligned} F_ {alpha eta} & = eta _ {alpha gamma} eta _ {eta delta} F ^ {gamma delta} & = eta _ {alpha 0} eta _ {eta 0} F ^ { 00} + eta _ {alpha i} eta _ {eta 0} F ^ {i0} + eta _ {alpha 0} eta _ {eta i} F ^ {0i} + eta _ {alpha i} eta _ {eta j } F ^ {ij} konec {zarovnáno}}}

a od té doby F⁰⁰ = 0 a F⁰ⁱ = − Fⁱ⁰, to se sníží na

{displaystyle F_ {alpha eta} = left (eta _ {alpha i} eta _ {eta 0} -eta _ {alpha 0} eta _ {eta i} ight) F ^ {i0} + eta _ {alpha i} eta _ {eta j} F ^ {ij}}

Nyní pro $α = 0$ , $β = k = 1, 2, 3$ :

{displaystyle {egin {aligned} F_ {0k} & = left (eta _ {0i} eta _ {k0} -eta _ {00} eta _ {ki} ight) F ^ {i0} + eta _ {0i} eta _ {kj} F ^ {ij} & = {igl (} 0 - (- delta _ {ki}) {igr)} F ^ {i0} +0 & = F ^ {k0} = - F ^ { 0k} end {zarovnáno}}}

a antisymetrií pro $α = k = 1, 2, 3$ , $β = 0$ :

{displaystyle F_ {k0} = - F ^ {k0}}

pak konečně pro $α = k = 1, 2, 3$ , $β = l = 1, 2, 3$ ;

{displaystyle {egin {aligned} F_ {kl} & = left (eta _ {ki} eta _ {l0} -eta _ {k0} eta _ {li} ight) F ^ {i0} + eta _ {ki} eta _ {lj} F ^ {ij} & = 0 + delta _ {ki} delta _ {lj} F ^ {ij} & = F ^ {kl} end {zarovnáno}}}

(Kovariantní) nižší indexovaný tenzor je pak:

{displaystyle F_ {alpha eta} = {egin {pmatrix} 0 & {frac {E_ {x}} {c}} & {frac {E_ {y}} {c}} & {frac {E_ {z}} {c }} - {frac {E_ {x}} {c}} a 0 & -B_ {z} & B_ {y} - {frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} - {frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {pmatrix}}}

Objednat $n$

Když je vektorový prostor vybaven vnitřním produktem (nebo metrickým, jak se v tomto kontextu často nazývá), existují operace, které převádějí kontravariantní (horní) index na kovariantní (dolní) index a naopak. Samotná metrika je (symetrický) (0,2) -tenzor, je tedy možné uzavřít horní index tenzoru s jedním ze spodních indexů metriky. Tím se vytvoří nový tenzor se stejnou strukturou indexu jako předchozí, ale s nižším indexem v pozici smluvně horního indexu. Tato operace je docela graficky známá jako snižování indexu. Naopak metrika má inverzní funkci, což je (2,0) -tenzor. Tuto inverzní metriku lze zkrátit s dolním indexem a vytvořit horní index. Tato operace se nazývá vyvolání indexu.

Pro tenzor řádu $n$ , indexy jsou zvýšeny o (kompatibilní s výše):^[1]

{displaystyle g ^ {j_ {1} i_ {1}} g ^ {j_ {2} i_ {2}} cdots g ^ {j_ {n} i_ {n}} A_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}} = A ^ {j_ {1} j_ {2} cdots j_ {n}}}

a snížil o:

{displaystyle g_ {j_ {1} i_ {1}} g_ {j_ {2} i_ {2}} cdots g_ {j_ {n} i_ {n}} A ^ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ { n}} = A_ {j_ {1} j_ {2} cdots j_ {n}}}

a pro smíšený tenzor:

{displaystyle g_ {p_ {1} i_ {1}} g_ {p_ {2} i_ {2}} cdots g_ {p_ {n} i_ {n}} g ^ {q_ {1} j_ {1}} g ^ {q_ {2} j_ {2}} cdots g ^ {q_ {m} j_ {m}} {A ^ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}}} _ {j_ {1} j_ { 2} cdots j_ {m}} = {A_ {p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n}}} ^ {q_ {1} q_ {2} cdots q_ {m}}}

Viz také

Reference

^ ^A ^b Kay, D. C. (1988). Tenzorový počet. Schaum's Outlines. New York: McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
^ Pozn .: Některé texty, například: Griffiths, David J. (1987). Úvod do elementárních částic. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., zobrazí tento tenzor s celkovým faktorem -1. Je to proto, že použili zápor metrického tenzoru použitého zde: $(- + + +)$ viz metrický podpis. Ve starších textech, jako je Jackson (2. vydání), neexistují žádné faktory $C$ protože používají Gaussovy jednotky. Tady SI jednotky Jsou používány.

[Schaum’s_Outlines-1] A ^b Kay, D. C. (1988). Tenzorový počet. Schaum's Outlines. New York: McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.

[2] Pozn .: Některé texty, například: Griffiths, David J. (1987). Úvod do elementárních částic. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., zobrazí tento tenzor s celkovým faktorem -1. Je to proto, že použili zápor metrického tenzoru použitého zde: $(- + + +)$ viz metrický podpis. Ve starších textech, jako je Jackson (2. vydání), neexistují žádné faktory $C$ protože používají Gaussovy jednotky. Tady SI jednotky Jsou používány.

[1]

[2]