Dopředný (diferenciální) - Pushforward (differential)

Pokud je mapa, φ, nese každý bod na potrubí M do potrubí N pak vpřed φ nese vektory v tečném prostoru v každém bodě M do tečného prostoru v každém bodě N.

v diferenciální geometrie, tlačit kupředu je lineární aproximace hladkých map na tečných prostorech φ : M → N je hladká mapa mezi hladké potrubí; pak rozdíl z φ v určitém okamžiku X je v určitém smyslu nejlepší lineární aproximace z φ u X. Lze to chápat jako zevšeobecnění celková derivace obyčejného počtu. Výslovně je to lineární mapa z tečný prostor z M na X do tečného prostoru N na φ(X). Proto to může být zvyklé tlačit tečné vektory na M vpřed na tečné vektory na NDiferenciál mapy φ je také nazýván, různými autory, derivát nebo celková derivace z φ.

Motivace

Nechat φ : U → PROTI být hladká mapa z otevřená podmnožina U z R^m do otevřené podmnožiny PROTI z Rⁿ. Pro jakýkoli bod X v U, Jacobian z φ na X (s ohledem na standardní souřadnice) je matice zastoupení celková derivace z φ na X, což je lineární mapa

${ displaystyle d varphi _ {x} tlusté mathbf {R} ^ {m} do mathbf {R} ^ {n} .}$

Chtěli bychom to zobecnit na tento případ φ je hladká funkce mezi žádný hladké potrubí M a N.

Diferenciál hladké mapy

Nechat φ : M → N být plynulá mapa hladkých potrubí. Vzhledem k některým X ∈ M, rozdíl z φ na X je lineární mapa

${ displaystyle d varphi _ {x}: T_ {x} M až T _ { varphi (x)} N ,}$

z tečný prostor z M na X do tečného prostoru N na φ(X). Aplikace dφ_X na tečný vektor X se někdy nazývá tlačit kupředu z X podle φ. Přesná definice této dopředné vazby závisí na definici, kterou jeden používá pro vektory tečen (různé definice viz tečný prostor ).

Pokud jeden definuje tečné vektory jako třídy ekvivalence křivek X pak je rozdíl dán vztahem

${ displaystyle d varphi _ {x} left ( gamma ^ { prime} (0) right) = ( varphi circ gamma) ^ { prime} (0).}$

Tady y je křivka v M s y(0) = X. Jinými slovy, posunutí tečného vektoru ke křivce y na 0 je pouze tečný vektor ke křivce φ ∘ y v 0.

Alternativně, pokud jsou tečné vektory definovány jako derivace působící na hladké funkce se skutečnou hodnotou, pak je rozdíl dán

${ displaystyle d varphi _ {x} (X) (f) = X (f circ varphi).}$

Tady X ∈ T_XM, proto X je odvození definované na M a F je plynulá funkce se skutečnou hodnotou N. Podle definice je přínosem pro X v daném okamžiku X v M je v T_φ(X)N a proto je sama o sobě derivací.

Po výběru grafy kolem X a φ(X), φ je místně určeno hladkou mapou

${ displaystyle { widehat { varphi}}: U na V}$

mezi otevřenými sadami R^m a Rⁿ, a dφ_X má zastoupení (v X)

${ displaystyle d varphi _ {x} vlevo ({ frac { částečné} { částečné u ^ {a}}} pravé) = { frac { částečné { widehat { varphi}} ^ { b}} { částečné u ^ {a}}} { frac { částečné} { částečné v ^ {b}}},}$

v Einsteinova součtová notace, kde jsou dílčí deriváty hodnoceny v bodě v U souhlasí s X v daném grafu.

Rozšíření o linearitu dává následující matici

${ displaystyle left (d varphi _ {x} right) _ {a} ^ {; b} = { frac { částečné { widehat { varphi}} ^ {b}} { částečné u ^ {a}}}.}$

Diferenciál je tedy lineární transformace mezi tečnými prostory, spojená s hladkou mapou φ v každém bodě. Proto je v některých vybraných lokálních souřadnicích reprezentován znakem Jacobian matrix odpovídající hladké mapy z R^m na Rⁿ. Obecně nemusí být diferenciál invertibilní. Li φ je místní difeomorfismus, pak vpřed na X je invertibilní a jeho inverzní dává zarazit z T_φ(X)N.

Diferenciál se často vyjadřuje pomocí řady dalších notací, jako např

${ displaystyle D varphi _ {x}, ; left ( varphi _ {*} right) _ {x}, ; varphi '(x), ; T_ {x} varphi.}$

Z definice vyplývá, že diferenciál a kompozitní je složený z diferenciálů (tj. funkční chování). To je řetězové pravidlo pro hladké mapy.

Diferenciál a místní difeomorfismus je lineární izomorfismus tečných mezer.

Diferenciál na tangenciálním svazku

Diferenciál hladké mapy φ vyvolává, zjevným způsobem, a mapa svazku (ve skutečnosti vektorový svazek homomorfismus ) z tečný svazek z M k tangenciálnímu svazku N, označeno dφ nebo φ_∗, který zapadá do následujících komutativní diagram:

kde π_M a π_N označují projekce svazků tečných svazků M a N resp.

${ displaystyle operatorname {d} ! varphi}$ indukuje a mapa svazku z TM do stahovací balíček φ^∗TN přes M přes

${ displaystyle (m, v_ {m}) mapsto (m, operatorname {d} ! varphi (m, v_ {m})),}$

kde ${ displaystyle m v M}$ a ${ displaystyle v_ {m} v T_ {m} M.}$ Druhá mapa může být zase považována za a sekce z vektorový svazek Hom (TM, φ^∗TN) přes M. Mapa svazku dφ je také označen Tφ a zavolal tečná mapa. Takto, T je funktor.

Dopřednost vektorových polí

Vzhledem k hladké mapě φ : M → N a a vektorové pole X na M, obvykle není možné určit přívlastek z X o φ s nějakým vektorovým polem Y na N. Například pokud na mapě φ není surjektivní, neexistuje žádný přirozený způsob, jak definovat takovou předsunutou stranu mimo obraz φ. Také pokud φ není injektivní, v daném bodě může existovat více než jedna volba dopředu. Tuto obtížnost lze nicméně zpřesnit pomocí pojmu vektorové pole podél mapy.

A sekce z φ^∗TN přes M se nazývá a vektorové pole φ. Například pokud M je podmanifold N a φ je inkluze, pak vektorové pole φ je jen část tečného svazku N podél M; zejména vektorové pole na M definuje takovou část začleněním TM uvnitř TN. Tato myšlenka se zobecňuje na libovolné plynulé mapy.

Předpokládejme to X je vektorové pole na M, tj. část TM. Pak, ${ displaystyle operatorname {d} ! varphi circ X}$ výnosy ve výše uvedeném smyslu tlačit kupředu φ_∗X, což je vektorové pole φ, tj. část φ^∗TN přes M.

Libovolné vektorové pole Y na N definuje a stahovací část φ^∗Y z φ^∗TN s (φ^∗Y)_X = Y_φ(X). Vektorové pole X na M a vektorové pole Y na N se říká, že jsou φ-příbuzný -li φ_∗X = φ^∗Y jako vektorová pole φ. Jinými slovy pro všechny X v M, dφ_X(X) = Y_φ(X).

V některých situacích, vzhledem k X vektorové pole na M, existuje jedinečné vektorové pole Y na N který je φ- související s X. To platí zejména, když φ je difeomorfismus. V tomto případě dopředu definuje vektorové pole Y na N, dána

${ displaystyle Y_ {y} = varphi _ {*} left (X _ { varphi ^ {- 1} (y)} right).}$

Obecnější situace nastane, když φ je surjektivní (například svazek projekce svazku vláken). Pak vektorové pole X na M se říká, že je projektovatelný pokud pro všechny y v N, dφ_X(X_X) je nezávislý na výběru X v φ⁻¹({y}). To je přesně ta podmínka, která zaručuje, že se bude prosazovat X, jako vektorové pole na N, je dobře definován.

Viz také

• Zarazit

Reference

• Lee, John M. (2003). Úvod do hladkých potrubí. Springer Postgraduální texty z matematiky. 218.
• Jost, Jürgen (2002). Riemannova geometrie a geometrická analýza. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2. Viz část 1.6.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Základy mechaniky. Londýn: Benjamin-Cummings. ISBN  0-8053-0102-X. Viz sekce 1.7 a 2.3.