Symetrický tenzor - Symmetric tensor
v matematika, a symetrický tenzor je tenzor to je neměnné pod a permutace jeho vektorových argumentů:
za každou obměnu σ symbolů {1, 2, ..., r}. Alternativně symetrický tenzor řádu r reprezentován v souřadnicích jako veličina s r indexy splňují
Prostor symetrických tenzorů řádu r na konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI je přirozeně izomorfní na duál prostoru homogenní polynomy stupně r na PROTI. Přes pole z charakteristická nula, odstupňovaný vektorový prostor všech symetrických tenzorů lze přirozeně identifikovat pomocí symetrická algebra na PROTI. Souvisejícím konceptem je koncept antisymetrický tenzor nebo střídavá forma. Symetrické tenzory se často vyskytují v inženýrství, fyzika a matematika.
Definice
Nechat PROTI být vektorovým prostorem a
tenzor řádu k. Pak T je symetrický tenzor, pokud
pro opletení map přidružené ke každé permutaci σ na symbolech {1,2, ...,k} (nebo ekvivalentně pro všechny transpozice na těchto symbolech).
Vzhledem k tomu, základ {Ei} z PROTI, libovolný symetrický tenzor T hodnosti k lze psát jako
pro nějaký jedinečný seznam koeficientů (dále jen komponenty tenzoru v základu), které jsou symetrické s indexy. To znamená
pro každého permutace σ.
Prostor všech symetrických tenzorů řádu k definováno dne PROTI je často označován Sk(PROTI) nebo Symk(PROTI). Je to sám vektorový prostor, a pokud PROTI má rozměr N pak rozměr Symk(PROTI) je binomický koeficient
Potom postavíme Sym (PROTI) jako přímý součet Symk(PROTI) pro k = 0,1,2,...
Příklady
Existuje mnoho příkladů symetrických tenzorů. Některé zahrnují metrický tenzor, , Einsteinův tenzor, a Ricciho tenzor, .
Mnoho vlastnosti materiálu a pole používané ve fyzice a inženýrství lze reprezentovat jako symetrická tenzorová pole; například: stres, kmen, a anizotropní vodivost. Také v difúzní MRI jeden často používá symetrické tenzory k popisu difúze v mozku nebo jiných částech těla.
Příkladem jsou elipsoidy algebraické odrůdy; a tak, pro obecnou hodnost, symetrické tenzory, v masce homogenní polynomy, se používají k definování projektivní odrůdy, a jsou často studovány jako takové.
Symetrická část tenzoru
Předpokládat je vektorový prostor nad polem charakteristický 0. Pokud T ∈ PROTI⊗k je tenzor řádu , pak symetrická část je symetrický tenzor definovaný znakem
součet přesahující symetrická skupina na k symboly. Z hlediska základny a zaměstnávání Konvence Einsteinova součtu, pokud
pak
Složky tenzoru, které se objevují vpravo, jsou často označeny
se závorkami () kolem indexů, které jsou symetrizovány. Hranaté závorky [] se používají k označení anti-symetrizace.
Symetrický produkt
Li T je jednoduchý tenzor, daný jako čistý tenzorový produkt
pak symetrická část T je symetrický součin faktorů:
Obecně můžeme obrátit Sym (PROTI) do algebra definováním komutativního a asociativního produktu ⊙.[1] Vzhledem k tomu, dva tenzory T1 ∈ Symk1(PROTI) a T2 ∈ Symk2(PROTI), používáme operátor symetrizace k definování:
Lze jej ověřit (jak to dělají Kostrikin a Manin[1]), že výsledný produkt je ve skutečnosti komutativní a asociativní. V některých případech je operátor vynechán: T1T2 = T1 ⊙ T2.
V některých případech se používá exponenciální notace:
Kde proti je vektor. V některých případech je ⊙ vynecháno:
Rozklad
Analogicky s teorií symetrické matice, (skutečný) symetrický tenzor řádu 2 lze „diagonalizovat“. Přesněji řečeno, pro jakýkoli tenzor T ∈ Sym2(PROTI), existuje celé číslo r, nenulové jednotkové vektory proti1,...,protir ∈ PROTI a váhy λ1,...,λr takhle
Minimální počet r pro které je takový rozklad možný, je (symetrická) hodnost T. Vektory objevující se v tomto minimálním vyjádření jsou hlavní osy tenzoru a obecně mají důležitý fyzikální význam. Například hlavní osy setrvačník tenzor definovat Poinsotův elipsoid představující moment setrvačnosti. Viz také Sylvestrov zákon setrvačnosti.
Pro symetrické tenzory libovolného řádu k, rozklady
jsou také možné. Minimální počet r pro které je takový rozklad možný, je symetrický hodnost z T.[2] Tento minimální rozklad se nazývá Waringův rozklad; je to symetrická forma rozklad tenzorových řad. U tenzorů druhého řádu to odpovídá hodnosti matice představující tenzor na jakémkoli základě a je dobře známo, že maximální hodnost se rovná dimenzi podkladového vektorového prostoru. U vyšších řádů to však nemusí platit: hodnost může být vyšší než počet dimenzí v podkladovém vektorovém prostoru. Kromě toho se hodnost a symetrická hodnost symetrického tenzoru mohou lišit.[3]
Viz také
Poznámky
- ^ A b Kostrikin, Alexej I.; Manin, Iurii Ivanovič (1997). Lineární algebra a geometrie. Algebra, logika a aplikace. 1. Gordon a Breach. str. 276–279. ISBN 9056990497.
- ^ Comon, P .; Golub, G .; Lim, L. H .; Mourrain, B. (2008). "Symetrické tenzory a hodnocení symetrických tenzorů". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 30 (3): 1254. arXiv:0802.1681. doi:10.1137/060661569.
- ^ Shitov, Yaroslav (2018). „Protiklad k Comonově domněnce“. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry. 2 (3): 428–443. arXiv:1705.08740. doi:10.1137 / 17m1131970. ISSN 2470-6566.
Reference
- Bourbaki, Nicolasi (1989), Základy matematiky, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Bourbaki, Nicolasi (1990), Základy matematiky, Algebra II, Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8.
- Greub, Werner Hildbert (1967), Multilineární algebra, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., New York, PAN 0224623.
- Sternberg, Shlomo (1983), Přednášky o diferenciální geometrii, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.
externí odkazy
- Cesar O. Aguilar, Dimenze symetrických k-tenzorů