Symbol Levi-Civita - Levi-Civita symbol

v matematika, zejména v lineární algebra, tenzorová analýza, a diferenciální geometrie, Symbol Levi-Civita představuje soubor čísel; definované z znamení permutace z přirozená čísla 1, 2, …, n, pro nějaké kladné celé číslo n. Je pojmenována po italském matematikovi a fyzikovi Tullio Levi-Civita. Jiná jména zahrnují permutace symbol, antisymetrický symbolnebo střídavý symbol, které odkazují na jeho antisymetrický vlastnost a definice z hlediska permutací.

Standardní písmena označující symbol Levi-Civita jsou malá řecká písmena epsilon ε nebo ϵ, nebo méně často latinská malá písmena E. Indexová notace umožňuje zobrazit permutace způsobem kompatibilním s tenzorovou analýzou:

${ displaystyle varepsilon _ {i_ {1} i_ {2} tečky i_ {n}}}$

kde každý index i₁, i₂, ..., i_n bere hodnoty 1, 2, ..., n. Existují nⁿ indexované hodnoty ε_i1i2…in, které lze uspořádat do n-dimenzionální pole. Vlastnost definující klíč je úplná antisymetrie v indexech. Když jsou libovolné dva indexy zaměněny, stejné nebo ne, symbol je negován:

${ displaystyle varepsilon _ { tečky i_ {p} tečky i_ {q} tečky} = - varepsilon _ { tečky i_ {q} tečky i_ {p} tečky}.}$

Pokud jsou libovolné dva indexy stejné, symbol je nula. Když jsou všechny indexy nerovné, máme:

${ displaystyle varepsilon _ {i_ {1} i_ {2} tečky i_ {n}} = (- 1) ^ {p} varepsilon _ {1 , 2 , tečky n},}$

kde str (nazývá se parita permutace) je počet párových záměn indexů nezbytných k dešifrování i₁, i₂, ..., i_n do objednávky 1, 2, ..., na faktor (−1)^str se nazývá podepsat nebo podpis permutace. Hodnota ε_{1 2 ... n} musí být definovány, jinak jsou konkrétní hodnoty symbolu pro všechny permutace neurčité. Většina autorů si vybere ε_{1 2 ... n} = +1, což znamená, že symbol Levi-Civita se rovná znaménku permutace, když jsou všechny indexy nerovné. Tato volba se používá v tomto článku.

Termín "n-dimenzionální symbol Levi-Civita "odkazuje na skutečnost, že počet indexů na symbolu n odpovídá rozměrnost z vektorový prostor dotyčný, což může být Euklidovský nebo neeuklidovský, například, ℝ³ nebo Minkowského prostor. Hodnoty symbolu Levi-Civita jsou nezávislé na jakýchkoli metrický tenzor a souřadnicový systém. Specifický termín „symbol“ také zdůrazňuje, že se nejedná o a tenzor kvůli tomu, jak se transformuje mezi souřadnicovými systémy; lze jej však interpretovat jako a hustota tenzoru.

Symbol Levi-Civita umožňuje určující čtvercové matice a křížový produkt dvou vektorů v trojrozměrném euklidovském prostoru, které mají být vyjádřeny v Einsteinova indexová notace.

Definice

Symbol Levi-Civita se nejčastěji používá ve třech a čtyřech rozměrech a do určité míry ve dvou rozměrech, takže zde jsou uvedeny před definováním obecného případu.

Dva rozměry

v dva rozměry, symbol Levi-Civita je definován:

${ displaystyle varepsilon _ {ij} = { begin {cases} +1 & { text {if}} (i, j) = (1,2) - 1 & { text {if}} (i, j) = (2,1) ; ; , 0 & { text {if}} i = j end {případů}}}$

Hodnoty lze uspořádat do formátu 2 × 2 antisymetrická matice:

${ displaystyle { begin {pmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$

Použití dvourozměrného symbolu je poměrně neobvyklé, i když v určitých specializovaných tématech supersymetrie^[1] a teorie twistorů^[2] objevuje se v kontextu 2-rotory. Obvykle se používají trojrozměrné a výškové symboly Levi-Civita.

Tři rozměry

Pro indexy (i, j, k) v ε_ijk, hodnoty 1, 2, 3 vyskytující se v   cyklický řád (1, 2, 3) odpovídají ε = +1, zatímco se vyskytují v   obrácené cyklické pořadí odpovídá ε = −1, v opačném případě ε = 0.

v tři rozměry, symbol Levi-Civita je definován:^[3]

${ displaystyle varepsilon _ {ijk} = { begin {cases} +1 & { text {if}} (i, j, k) { text {is}} (1,2,3), (2, 3,1), { text {or}} (3,1,2), - 1 & { text {if}} (i, j, k) { text {is}} (3,2, 1), (1,3,2), { text {nebo}} (2,1,3), ; ; , 0 & { text {if}} i = j, { text { nebo}} j = k, { text {nebo}} k = i end {případy}}}$

To znamená, ε_ijk je 1 -li (i, j, k) je dokonce permutace z (1, 2, 3), −1 pokud je to lichá permutace a 0, pokud se nějaký index opakuje. Pouze ve třech rozměrech cyklické permutace z (1, 2, 3) jsou všechny dokonce permutace, podobně anticyklické permutace jsou všechny liché permutace. To znamená, že ve 3D stačí vzít cyklickou nebo anticyklickou permutaci (1, 2, 3) a snadno získat všechny sudé nebo liché obměny.

Analogicky k dvourozměrným maticím lze hodnoty trojrozměrného symbolu Levi-Civita uspořádat do 3 × 3 × 3 pole:

kde i je hloubka (modrý: i = 1; Červené: i = 2; zelená: i = 3), j je řádek a k je sloupec.

Nějaké příklady:

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {Violet} {3} color {Orange} {2}} = - varepsilon _ { color {BrickRed} { 1} color {Orange} {2} color {Violet} {3}} & = - 1 varepsilon _ { color {Violet} {3} color {BrickRed} {1} color {Orange} {2}} = - varepsilon _ { color {Orange} {2} color {BrickRed} {1} color {Violet} {3}} & = - (- varepsilon _ { color {BrickRed} { 1} color {Orange} {2} color {Violet} {3}}) = 1 varepsilon _ { color {Orange} {2} color {Violet} {3} color {BrickRed} { 1}} = - varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {Violet} {3} color {Orange} {2}} & = - (- varepsilon _ { color {BrickRed} {1 } color {Orange} {2} color {Violet} {3}}) = 1 varepsilon _ { color {Orange} {2} color {Violet} {3} color {Orange} {2 }} = - varepsilon _ { color {Orange} {2} color {Violet} {3} color {Orange} {2}} & = 0 end {aligned}}}$

Čtyři rozměry

v čtyři rozměry, symbol Levi-Civita je definován:

${ displaystyle varepsilon _ {ijkl} = { begin {cases} +1 & { text {if}} (i, j, k, l) { text {je sudá permutace}} (1,2, 3,4) - 1 & { text {if}} (i, j, k, l) { text {je lichá permutace}} (1,2,3,4) ; ; , 0 & { text {jinak}} end {případy}}}$

Tyto hodnoty lze uspořádat do a 4 × 4 × 4 × 4 pole, i když ve 4 dimenzích a vyšších je obtížné to nakreslit.

Nějaké příklady:

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {RedViolet} {4} color {Violet} {3} color {Orange} { color {Orange} {2 }}} = - varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {Orange} { color {Orange} {2}} color {Violet} {3} color {RedViolet} {4}} & = -1 varepsilon _ { color {Orange} { color {Orange} {2}} color {BrickRed} {1} color {Violet} {3} color {RedViolet} {4}} = - varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {Orange} { color {Orange} {2}} color {Violet} {3} color {RedViolet} {4}} & = - 1 varepsilon _ { color {RedViolet} {4} color {Violet} {3} color {Orange} { color {Orange} {2}} color {BrickRed} {1}} = - varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {Violet} {3} color {Orange} { color {Orange} {2}} color {RedViolet} {4}} & = - (- varepsilon _ { color {BrickRed} {1} color {Orange} { color {Orange} {2}} color {Violet} {3} color {RedViolet} {4}}) = 1 varepsilon _ { color {Violet} {3} color {Orange} { color {Orange} {2}} color {RedViolet} {4} color {Violet} {3}} = - varepsilon _ { color {Violet} {3} color {Orange} { color {Orange} {2}} c olor {RedViolet} {4} color {Violet} {3}} & = 0 end {zarovnáno}}}$

Zobecnění na n rozměry

Obecněji v n rozměry, symbol Levi-Civita je definován:^[4]

${ displaystyle varepsilon _ {a_ {1} a_ {2} a_ {3} ldots a_ {n}} = { begin {cases} +1 & { text {if}} (a_ {1}, a_ { 2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}) { text {je sudá permutace}} (1,2,3, dots, n) - 1 & { text {if}} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}) { text {je lichá permutace}} (1,2,3, dots, n) ; ; , 0 & { text {jinak}} end {případů}}}$

Jedná se tedy o znak permutace v případě permutace a jinak nula.

Za použití zápis velkého pí ∏ pro běžné násobení čísel je explicitní výraz pro symbol:

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {a_ {1} a_ {2} a_ {3} ldots a_ {n}} & = prod _ {1 leq i$

Kde funkce signum (označeno sgn) vrací znaménko svého argumentu, zatímco vyřazuje absolutní hodnota pokud je nenulová. Vzorec je platný pro všechny hodnoty indexu a pro všechny n (když n = 0 nebo n = 1, to je prázdný produkt ). Výpočet výše uvedeného vzorce však má naivně časová složitost z Ó(n²), zatímco znaménko lze vypočítat z parity permutace z jeho disjunktní cykly pouze dovnitř Ó(n log (n)) náklady.

Vlastnosti

Tenzor, jehož komponenty v ortonormální základ jsou dány symbolem Levi-Civita (tenzor kovariantní hodnost n) se někdy nazývá a permutační tenzor.

Podle běžných pravidel transformace pro tenzory se symbol Levi-Civita nezmění při čistých rotacích, což odpovídá tomu, že je (podle definice) stejný ve všech souřadnicových systémech souvisejících s ortogonálními transformacemi. Symbol Levi-Civita je však a pseudotenzor protože pod ortogonální transformace z Jacobian determinant −1, například a odraz v lichém počtu rozměrů by měl získat znaménko mínus, pokud by šlo o tenzor. Protože se vůbec nemění, symbol Levi-Civita je ze své podstaty pseudotenzor.

Protože symbol Levi-Civita je pseudotenzor, je výsledkem převzetí křížového produktu a pseudovektor, ne vektor.^[5]

Pod generálem změna souřadnic, jsou složky permutačního tenzoru vynásobeny Jacobian z transformační matice. To znamená, že v souřadnicových rámcích odlišných od toho, ve kterém byl definován tenzor, se jeho komponenty mohou lišit od komponent symbolu Levi-Civita o celkový faktor. Pokud je rámeček ortonormální, bude činitel ± 1 v závislosti na tom, zda je orientace rámečku stejná nebo ne.^[5]

V bez indexové tenzorové notaci je symbol Levi-Civita nahrazen konceptem Hodge dual.

Symboly součtu lze eliminovat pomocí Einsteinova notace, kde index opakovaný mezi dvěma nebo více výrazy označuje součet nad tímto indexem. Například,

${ displaystyle varepsilon _ {ijk} varepsilon ^ {imn} equiv sum _ {i = 1,2,3} varepsilon _ {ijk} varepsilon ^ {imn}}$.

V následujících příkladech se používá Einsteinova notace.

Dva rozměry

Ve dvou rozměrech, když jsou všechny i, j, m, n každý nabývá hodnot 1 a 2,^[3]

${ displaystyle varepsilon _ {ij} varepsilon ^ {mn} = { delta _ {i}} ^ {m} { delta _ {j}} ^ {n} - { delta _ {i}} ^ {n} { delta _ {j}} ^ {m}}$

(1)

${ displaystyle varepsilon _ {ij} varepsilon ^ {in} = { delta _ {j}} ^ {n}}$

(2)

${ displaystyle varepsilon _ {ij} varepsilon ^ {ij} = 2.}$

(3)

Tři rozměry

Hodnoty indexu a symbolu

Ve třech rozměrech, když jsou všechny i, j, k, m, n každý nabývá hodnot 1, 2 a 3:^[3]

${ displaystyle varepsilon _ {ijk} varepsilon ^ {imn} = delta _ {j} {} ^ {m} delta _ {k} {} ^ {n} - delta _ {j} {} ^ {n} delta _ {k} {} ^ {m}}$

(4)

${ displaystyle varepsilon _ {jmn} varepsilon ^ {imn} = 2 { delta _ {j}} ^ {i}}$

(5)

${ displaystyle varepsilon _ {ijk} varepsilon ^ {ijk} = 6.}$

(6)

Produkt

Symbol Levi-Civita souvisí s Kroneckerova delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi (vertikální čáry označují determinant):^[4]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} varepsilon _ {ijk} varepsilon _ {lmn} & = { begin {vmatrix} delta _ {il} & delta _ {im} & delta _ {in} delta _ {jl} & delta _ {jm} & delta _ {jn} delta _ {kl} & delta _ {km} & delta _ {kn} end {vmatrix} } [6pt] & = delta _ {il} left ( delta _ {jm} delta _ {kn} - delta _ {jn} delta _ {km} right) - delta _ { im} left ( delta _ {jl} delta _ {kn} - delta _ {jn} delta _ {kl} right) + delta _ {in} left ( delta _ {jl} delta _ {km} - delta _ {jm} delta _ {kl} right). end {aligned}}}$

Zvláštní případ tohoto výsledku je (4):

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} varepsilon _ {ijk} varepsilon _ {imn} = delta _ {jm} delta _ {kn} - delta _ {jn} delta _ {km}}$

někdy nazývané „smluvně epsilon identity ".

V Einsteinově zápisu je duplikace i index znamená součet i. Předchozí je pak označeno ε_ijkε_imn = δ_jmδ_kn − δ_jnδ_km.

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} sum _ {j = 1} ^ {3} varepsilon _ {ijk} varepsilon _ {ijn} = 2 delta _ {kn}}$

n rozměry

Hodnoty indexu a symbolu

v n rozměry, když vše i₁, …,i_n, j₁, ..., j_n brát hodnoty 1, 2, ..., n:

${ displaystyle varepsilon _ {i_ {1} tečky i_ {n}} varepsilon ^ {j_ {1} tečky j_ {n}} = n! delta _ {[i_ {1}} ^ {j_ { 1}} dots delta _ {i_ {n}]} ^ {j_ {n}} = delta _ {i_ {1} dots i_ {n}} ^ {j_ {1} dots j_ {n} }}$

(7)

${ displaystyle varepsilon _ {i_ {1} tečky i_ {k} ~ i_ {k + 1} tečky i_ {n}} varepsilon ^ {i_ {1} tečky i_ {k} ~ j_ {k + 1} dots j_ {n}} = k! (Nk)! ~ Delta _ {[i_ {k + 1}} ^ {j_ {k + 1}} dots delta _ {i_ {n}]} ^ {j_ {n}} = k! ~ delta _ {i_ {k + 1} tečky i_ {n}} ^ {j_ {k + 1} tečky j_ {n}}}$

(8)

${ displaystyle varepsilon _ {i_ {1} tečky i_ {n}} varepsilon ^ {i_ {1} tečky i_ {n}} = n!}$

(9)

kde vykřičník (!) označuje faktoriál, a δ^α…
_β… je zobecněná delta Kronecker. Pro všechny n, vlastnictví

${ displaystyle sum _ {i, j, k, dots = 1} ^ {n} varepsilon _ {ijk dots} varepsilon _ {ijk dots} = n!}$

vyplývá ze skutečností, že

• každá permutace je sudá nebo lichá,
• (+1)² = (−1)² = 1, a
• počet permutací jakékoli n- číslo sady prvků je přesně n!.

Produkt

Obecně platí, že pro n rozměry lze napsat produkt dvou symbolů Levi-Civita jako:

${ displaystyle varepsilon _ {i_ {1} i_ {2} tečky i_ {n}} varepsilon _ {j_ {1} j_ {2} tečky j_ {n}} = { začít {vmatrix} delta _ {i_ {1} j_ {1}} & delta _ {i_ {1} j_ {2}} & dots & delta _ {i_ {1} j_ {n}} delta _ {i_ { 2} j_ {1}} & delta _ {i_ {2} j_ {2}} & dots & delta _ {i_ {2} j_ {n}} vdots & vdots & ddots & vdots delta _ {i_ {n} j_ {1}} & delta _ {i_ {n} j_ {2}} & dots & delta _ {i_ {n} j_ {n}} konec {vmatrix}}}$.

Důkazy

Pro (1), obě strany jsou vůči sobě nesymetrické ij a mn. Musíme tedy pouze zvážit případ i ≠ j a m ≠ n. Substitucí vidíme, že rovnice platí ε₁₂ε¹², to znamená pro i = m = 1 a j = n = 2. (Obě strany jsou pak jedna). Protože rovnice je v něm antisymetrická ij a mn, kteroukoli sadu hodnot pro tyto lze snížit na výše uvedený případ (který platí). Rovnice tedy platí pro všechny hodnoty ij a mn.

Použitím (1), máme pro (2)

${ displaystyle varepsilon _ {ij} varepsilon ^ {in} = delta _ {i} {} ^ {i} delta _ {j} {} ^ {n} - delta _ {i} {} ^ {n} delta _ {j} {} ^ {i} = 2 delta _ {j} {} ^ {n} - delta _ {j} {} ^ {n} = delta _ {j} { } ^ {n} ,.}$

Tady jsme použili Konvence Einsteinova součtu s i od 1 do 2. Dále, (3) vyplývá obdobně z (2).

Zřídit (5), všimněte si, že obě strany zmizí, když i ≠ j. Opravdu, pokud i ≠ j, pak si člověk nemůže vybrat m a n takže oba symboly permutace vlevo jsou nenulové. Pak s i = j pevné, existují pouze dva způsoby, jak si vybrat m a n ze zbývajících dvou indexů. Pro všechny takové indexy máme

${ displaystyle varepsilon _ {jmn} varepsilon ^ {imn} = left ( varepsilon ^ {imn} right) ^ {2} = 1}$

(bez součtu) a následuje výsledek.

Pak (6) následuje od té doby 3! = 6 a pro jakékoli odlišné indexy i, j, k brát hodnoty 1, 2, 3, my máme

${ displaystyle varepsilon _ {ijk} varepsilon ^ {ijk} = 1}$ (žádné shrnutí, odlišné i, j, k)

Aplikace a příklady

Determinanty

V lineární algebře je určující a 3 × 3 čtvercová matice A = [A_ij] lze psát^[6]

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = součet _ {i = 1} ^ {3} součet _ {j = 1} ^ {3} součet _ {k = 1} ^ {3} varepsilon _ {ijk} a_ {1i} a_ {2j} a_ {3k}}$

Podobně determinant an n × n matice A = [A_ij] lze psát jako^[5]

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = varepsilon _ {i_ {1} tečky i_ {n}} a_ {1i_ {1}} tečky a_ {ni_ {n}},}$

kde každý i_r by měly být shrnuty 1, …, nnebo ekvivalentně:

${ displaystyle det ( mathbf {A}) = { frac {1} {n!}} varepsilon _ {i_ {1} dots i_ {n}} varepsilon _ {j_ {1} dots j_ {n}} a_ {i_ {1} j_ {1}} tečky a_ {i_ {n} j_ {n}},}$

kde teď každý i_r a každý j_r by měly být shrnuty 1, …, n. Obecněji řečeno, máme identitu^[5]

${ displaystyle sum _ {i_ {1}, i_ {2}, dots} varepsilon _ {i_ {1} dots i_ {n}} a_ {i_ {1} , j_ {1}} tečky a_ {i_ {n} , j_ {n}} = det ( mathbf {A}) varepsilon _ {j_ {1} dots j_ {n}}}$

Vektor křížový produkt

Křížový součin (dva vektory)

Li A = (A¹, A², A³) a b = (b¹, b², b³) jsou vektory v ℝ³ (zastoupeno v některých pravostranný souřadnicový systém pomocí ortonormálního základu), jejich křížový produkt lze zapsat jako determinant:^[5]

${ displaystyle mathbf {a times b} = { begin {vmatrix} mathbf {e_ {1}} & mathbf {e_ {2}} & mathbf {e_ {3}} a ^ {1 } & a ^ {2} & a ^ {3} b ^ {1} & b ^ {2} & b ^ {3} end {vmatrix}} = sum _ {i = 1} ^ {3} součet _ {j = 1} ^ {3} sum _ {k = 1} ^ {3} varepsilon _ {ijk} mathbf {e} _ {i} a ^ {j} b ^ {k}}$

tedy také pomocí symbolu Levi-Civita a jednodušeji:

${ displaystyle ( mathbf {a times b}) ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {3} součet _ {k = 1} ^ {3} varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k}.}$

V Einsteinově zápisu mohou být symboly součtu vynechány a ita složka jejich křížového produktu se rovná^[4]

${ displaystyle ( mathbf {a times b}) ^ {i} = varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k}.}$

První složka je

${ displaystyle ( mathbf {a krát b}) ^ {1} = a ^ {2} b ^ {3} -a ^ {3} b ^ {2} ,,}$

pak cyklickou permutací 1, 2, 3 ostatní lze odvodit okamžitě, aniž byste je výslovně vypočítali z výše uvedených vzorců:

${ displaystyle { begin {aligned} ( mathbf {a times b}) ^ {2} & = a ^ {3} b ^ {1} -a ^ {1} b ^ {3} ,, ( mathbf {a times b}) ^ {3} & = a ^ {1} b ^ {2} -a ^ {2} b ^ {1} ,. end {zarovnáno}}}$

Trojitý skalární součin (tři vektory)

Z výše uvedeného výrazu pro křížový produkt máme:

${ displaystyle mathbf {a krát b} = - mathbf {b krát a}}$.

Li C = (C¹, C², C³) je třetí vektor, pak trojitý skalární součin rovná se

${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b times c}) = varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ {j} c ^ {k}.}$

Z tohoto výrazu je patrné, že trojitý skalární součin je při výměně jakékoli dvojice argumentů antisymetrický. Například,

${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b times c}) = - mathbf {b} cdot ( mathbf {a times c})}$.

Curl (jedno vektorové pole)

Li F = (F¹, F², F³) je vektorové pole definované na některých otevřená sada z ℝ³ jako funkce z pozice X = (X¹, X², X³) (použitím Kartézské souřadnice ). Pak itá složka kučera z F rovná se^[4]

${ displaystyle ( nabla times mathbf {F}) ^ {i} ( mathbf {x}) = varepsilon ^ {ijk} { frac { částečné} { částečné x ^ {j}}} F_ {k} ( mathbf {x}),}$

který vyplývá z křížového výrazu výše, nahrazením složek spád vektor operátor (nabla).

Hustota tenzoru

V libovolném křivočarý souřadnicový systém a dokonce i při absenci a metrický na potrubí, symbol Levi-Civita, jak je definován výše, lze považovat za a hustota tenzoru pole dvěma různými způsoby. Lze jej považovat za protikladný hustota tenzoru hmotnosti +1 nebo jako kovariantní hustota tenzoru hmotnosti -1. v n rozměry pomocí zobecněné delty Kronecker,^[7][8]

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon ^ { mu _ {1} dots mu _ {n}} & = delta _ {, 1 , dots , n} ^ { mu _ {1} dots mu _ {n}} , varepsilon _ { nu _ {1} dots nu _ {n}} & = delta _ { nu _ {1} dots nu _ {n}} ^ {, 1 , tečky , n} ,. end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že jsou numericky identické. Znamení je zejména stejné.

Tenzory Levi-Civita

Na pseudo-Riemannovo potrubí, je možné definovat pole invariantních souřadnic tenzorové pole, jehož zobrazení souřadnic souhlasí se symbolem Levi-Civita, kdekoli je souřadný systém takový, že základ tečného prostoru je ortonormální vzhledem k metrice a odpovídá vybrané orientaci. Tento tenzor by neměl být zaměňován s výše uvedeným polem hustoty tenzoru. Prezentace v této části pečlivě následuje Carroll 2004.

Kovarianční Levi-Civita tenzor (také známý jako Riemannova objemová forma ) v libovolném souřadnicovém systému, který odpovídá vybrané orientaci, je

${ displaystyle E_ {a_ {1} dots a_ {n}} = { sqrt { left | det [g_ {ab}] right |}} , varepsilon _ {a_ {1} dots a_ {n}} ,,}$

kde G_ab je reprezentace metriky v tomto souřadnicovém systému. Podobně můžeme uvažovat o kontravariantním tenzoru Levi-Civita zvýšením indexů pomocí metriky jako obvykle,

${ displaystyle E ^ {a_ {1} dots a_ {n}} = E_ {b_ {1} dots b_ {n}} prod _ {i = 1} ^ {n} g ^ {a_ {i} bi}},,}$

ale všimněte si, že pokud metrický podpis obsahuje lichý počet negativů q, pak se znaménko komponent tohoto tenzoru liší od standardního symbolu Levi-Civita:

${ displaystyle E ^ {a_ {1} dots a_ {n}} = { frac { operatorname {sgn} left ( det [g_ {ab}] right)} { sqrt { left | det [g_ {ab}] vpravo |}}} , varepsilon ^ {a_ {1} tečky a_ {n}},}$

kde sgn (det [např_ab]) = (−1)^q, a ${ displaystyle varepsilon ^ {a_ {1} tečky a_ {n}}}$ je obvyklý symbol Levi-Civita popsaný ve zbytku tohoto článku. Přesněji řečeno, když jsou tenzor a základní orientace zvoleny tak, že ${ displaystyle E_ {01 dots n} = + { sqrt { left | det [g_ {ab}] right |}}}$, máme to ${ displaystyle E ^ {01 dots n} = { frac { operatorname {sgn} ( det [g_ {ab}])} { sqrt { left | det [g_ {ab}] vpravo | }}}}$.

Z toho můžeme odvodit identitu,

${ displaystyle E ^ { mu _ {1} dots mu _ {p} alpha _ {1} dots alpha _ {np}} E _ { mu _ {1} dots mu _ {p } beta _ {1} dots beta _ {np}} = (- 1) ^ {q} p! delta _ { beta _ {1} dots beta _ {np}} ^ { alpha _ {1} dots alpha _ {np}} ,,}$

kde

${ displaystyle delta _ { beta _ {1} dots beta _ {np}} ^ { alpha _ {1} dots alpha _ {np}} = (np)! delta _ { beta _ {1}} ^ { lbrack alpha _ {1}} dots delta _ { beta _ {np}} ^ { alpha _ {np} rbrack}}$

je zobecněná delta Kronecker.

Příklad: Minkowského prostor

V Minkowského prostoru (čtyřrozměrném vesmírný čas z speciální relativita ), kovarianční Levi-Civita tenzor je

${ displaystyle E _ { alpha beta gamma delta} = pm { sqrt {| det [g _ { mu nu}] |}} , varepsilon _ { alpha beta gamma delta } ,,}$

kde označení závisí na orientaci základny. Kontrovariantní tenzor Levi-Civita je

${ displaystyle E ^ { alpha beta gamma delta} = g ^ { alpha zeta} g ^ { beta eta} g ^ { gamma theta} g ^ { delta iota} E_ { zeta eta theta iota} ,.}$

Následují příklady výše uvedené obecné identity specializované na Minkowského prostor (s negativním znamením vyplývajícím z lichého počtu negativů v podpisu metrického tenzoru v obou konvencích znaménka):

${ displaystyle { begin {sladěný} E _ { alpha beta gamma delta} E _ { rho sigma mu nu} & = - g _ { alpha zeta} g _ { beta eta} g_ { gamma theta} g _ { delta iota} delta _ { rho sigma mu nu} ^ { zeta eta theta iota} E ^ { alpha beta gamma delta} E ^ { rho sigma mu nu} & = - g ^ { alpha zeta} g ^ { beta eta} g ^ { gamma theta} g ^ { delta iota} delta _ { zeta eta theta iota} ^ { rho sigma mu nu} E ^ { alpha beta gamma delta} E _ { alpha beta gamma delta} & = - 24 E ^ { alpha beta gamma delta} E _ { rho beta gamma delta} & = - 6 delta _ { rho} ^ { alpha} E ^ { alpha beta gamma delta} E _ { rho sigma gamma delta} & = - 2 delta _ { rho sigma} ^ { alpha beta} E ^ { alpha beta gamma delta} E _ { rho sigma theta delta} & = - delta _ { rho sigma theta} ^ { alpha beta gamma} ,. End {zarovnáno}}}$

V projektivním prostoru

Projektivní prostor dimenze ${ displaystyle n}$ je obvykle popsán ${ displaystyle (n + 1)}$ bodové souřadnice ${ displaystyle x ^ {0}, x ^ {1}, ... x ^ {n}}$ daný modulo libovolný nenulový společný faktor. V tomto případě ${ displaystyle epsilon _ {i_ {0} i_ {1} ... i_ {n}}}$ je definována jako +1, pokud ${ displaystyle (i_ {0}, i_ {1}, ... i_ {n})}$ je pozitivní obměna ${ displaystyle (0, 1, ... n)}$, -1 pokud je záporné, 0 pokud jsou dva (nebo více) indexy stejné.^{[Citace je zapotřebí ]}

Podobně pro ${ displaystyle epsilon ^ {i_ {0} i_ {1} ... i_ {n}}}$ v duálním prostoru se souřadnicemi ${ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, ... u_ {n}}$. Dualita je často implicitní, např. rovnice ${ displaystyle u_ {i} x ^ {i} = 0}$ (s Einsteinova konvence součtu ) vyjadřuje shodu mezi bodem ${ displaystyle (x ^ {i})}$ a podprostor prvního řádu ${ displaystyle (u_ {i})}$ bez ohledu na to, zda ${ displaystyle x ^ {i}}$ jsou považovány za souřadnice a ${ displaystyle u_ {i}}$ jako koeficienty nebo naopak.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

• Seznam témat permutace
• Symetrický tenzor

Poznámky

Reference

• Wheeler, J. A .; Misner, C .; Thorne, K. S. (1973). Gravitace. W. H. Freeman & Co. str. 85–86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.
• Neuenschwander, D. E. (2015). Tenzorový počet pro fyziku. Johns Hopkins University Press. 11, 29, 95. ISBN  978-1-4214-1565-9.
• Carroll, Sean M. (2004), Časoprostor a geometrie, Addison-Wesley, ISBN  0-8053-8732-3

externí odkazy

Tento článek včlení materiál od Symbol obměny Levi-Civita na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

• Weisstein, Eric W. „Permutační tenzor“. MathWorld.