Ricciho zakřivení - Ricci curvature
v diferenciální geometrie, Ricciho tenzor zakřivení, pojmenoval podle Gregorio Ricci-Curbastro, je geometrický objekt, který je určen volbou Riemannian nebo pseudoriemanianská metrika na potrubí. Dá se to obecně považovat za měřítko míry, v jaké se lokálně liší geometrie daného metrického tenzoru od běžné Euklidovský prostor nebo pseudoeuklidovský prostor.
Ricciho tenzor lze charakterizovat měřením toho, jak se tvar deformuje při jeho pohybu geodetika v prostoru. v obecná relativita, který zahrnuje pseudo-Riemannovo nastavení, se to odráží přítomností Ricciho tenzoru v Raychaudhuriho rovnice. Částečně z tohoto důvodu Einsteinovy rovnice pole navrhnout, že časoprostor lze popsat pomocí pseudo-Riemannovy metriky s nápadně jednoduchým vztahem mezi Ricciho tenzorem a hmotným obsahem vesmíru.
Stejně jako metrický tenzor přiřadí každému Ricciho tenzor tečný prostor potrubí a symetrická bilineární forma (Besse 1987, str. 43).[1] Obecně by se dalo analogizovat roli Ricciho zakřivení v Riemannově geometrii s rolí Ricciho zakřivení Laplacian při analýze funkcí; v této analogii je Riemannův tenzor zakřivení, jehož Ricciho zakřivení je přirozeným vedlejším produktem, by odpovídalo úplné matici druhých derivací funkce. Existují však Jiné zpusoby nakreslit stejnou analogii.
v trojrozměrná topologie, Ricciho tenzor obsahuje všechny informace, které jsou ve vyšších dimenzích kódovány složitějšími Riemannův tenzor zakřivení. Tato jednoduchost částečně umožňuje použití mnoha geometrických a analytických nástrojů, které vedly k řešení Poincarého domněnky prostřednictvím práce Richard S. Hamilton a Grigory Perelman.
V diferenciální geometrii umožňují dolní hranice Ricciho tenzoru na Riemannově varietě extrahovat globální geometrické a topologické informace srovnáním (srov. věta o srovnání ) s geometrií konstantního zakřivení vesmírná forma. Důvodem je, že dolní hranice Ricciho tenzoru lze úspěšně použít při studiu funkční délky v Riemannově geometrii, jak bylo poprvé ukázáno v roce 1941 prostřednictvím Myersova věta.
Jedním společným zdrojem Ricciho tenzoru je to, že vzniká vždy, když člověk dojíždí kovariantní derivaci s tenzorem Laplacian. To například vysvětluje jeho přítomnost v Bochnerův vzorec, který se v Riemannově geometrii používá všudypřítomně. Například tento vzorec vysvětluje, proč jsou odhady gradientu způsobeny Shing-Tung Yau (a jejich vývoj, jako jsou nerovnosti Cheng-Yau a Li-Yau) téměř vždy závisí na spodní hranici Ricciho zakřivení.
V roce 2007 John Lott, Karl-Theodor Sturm, a Cedric Villani rozhodně prokázáno, že dolní hranice Ricciho zakřivení lze zcela chápat z hlediska metrické prostorové struktury Riemannova potrubí, spolu s jeho objemovou formou. Tím se vytvořilo hluboké spojení mezi Ricciho zakřivením a Wassersteinova geometrie a optimální transport, který je v současné době předmětem mnoha výzkumů.
Definice
První podsekce je zde míněna jako indikace definice Ricciho tenzoru pro čtenáře, kterým vyhovuje lineární algebra a více proměnný počet. Pozdější podsekce používají propracovanější terminologii.
Úvod a místní definice
Nechat U být otevřenou podmnožinou ℝna pro každou dvojici čísel i a j mezi 1 a n, nechť Gij : U → ℝ být plynulá funkce, s výhradou podmínky, že pro každého p v Umatice
je symetrický a invertibilní. Pro každého i a j mezi 1 a n, definovat funkce Gij : U → ℝ a Rij : U → ℝ následujícím způsobem: pro každého p v U, nech n × n matice [Gij(p)] být inverzní k výše uvedené matici [Gij(p)]. Funkce Rij jsou definovány výslovně následujícími vzorci:
Přímo z kontroly tohoto vzorce je patrné, že Rij musí se rovnat Rji pro všechny i a j. Takže je možné zobrazit funkce Rij jako přidružení k jakémukoli bodu p z U symetrický n × n matice. Tato mapa s hodnotami matice na U se nazývá Ricciho zakřivení spojené se shromažďováním funkcí Gij.
Jak je uvedeno, na definici Ricciho zakřivení není nic intuitivního ani přirozeného. Je vybrán jako objekt pro studium pouze proto, že splňuje následující pozoruhodnou vlastnost. Nechat PROTI ⊂ ℝn být další otevřená množina a nechat y : PROTI → U být plynulá mapa, jejíž matice prvních derivací
je invertibilní pro jakoukoli volbu q ∈ PROTI. Definovat Gij : PROTI → ℝ maticovým produktem
Pomocí pravidla produktu a pravidla řetězu lze vypočítat následující vztah mezi Ricciho zakřivením kolekce funkcí Gij a Ricciho zakřivení kolekce funkcí Gij: pro všechny q v PROTI, jeden má
To je docela neočekávané, protože přímé připojení vzorce, který definuje Gij do definování vzorce Rij, člověk vidí, že bude muset zvážit až třetí deriváty y, vznikající, když druhé deriváty v prvních čtyřech pojmech definice Rij působit na složky J. „Zázrakem“ je, že impozantní soubor prvních derivací, druhých derivací a inverzí zahrnující definici Ricciho zakřivení je dokonale nastaven tak, aby všechny tyto vyšší deriváty y zrušit a jednomu zbývá pozoruhodně čistý maticový vzorec, který se týká výše Rij a Rij. Je ještě pozoruhodnější, že toto zrušení podmínek je takové, že maticový vzorec souvisí Rij na Rij je totožný s maticovým vzorcem Gij na Gij.
S využitím sofistikované terminologie lze definici Ricciho zakřivení shrnout takto:
Nechat U být otevřenou podmnožinou ℝn. Vzhledem k plynulému mapování G na U který je oceňován v prostoru invertible symetric n × n matice, lze definovat (složitým vzorcem zahrnujícím různé parciální derivace složek z G) Ricciho zakřivení G být plynulým mapováním z U do prostoru symetrického n × n matice.
Pozoruhodnou a nečekanou vlastnost Ricciho zakřivení lze shrnout jako:
Nechat J označit jakobiánskou matici difeomorfismu y z nějaké jiné otevřené sady PROTI na U. Ricciho zakřivení funkce s hodnotou matice dané produktem matice JT(G∘y)J je dán součinem matice JT(R∘y)J, kde R označuje Ricciho zakřivení G.
V matematice se o této vlastnosti hovoří tím, že Ricciho zakřivení je „tenzorovou veličinou“ a označuje vzorec definující Ricciho zakřivení, i když může být komplikovaný, a má mimořádný význam v oblasti diferenciální geometrie.[2] Fyzicky je tato vlastnost projevem „obecná kovariance „a je hlavním důvodem, proč Albert Einstein využil definování vzorce Rij při formulování obecná relativita. V této souvislosti možnost výběru mapování y rovná se možnosti volby mezi referenčními snímky; „neočekávaná vlastnost“ Ricciho zakřivení je odrazem širokého principu, že fyzikální rovnice nezávisí na referenčním rámci.
Toto je diskutováno z pohledu diferencovatelné potrubí v následující podsekci, i když je základní obsah prakticky totožný s obsahem této podsekce.
Definice prostřednictvím místních souřadnic na plynulém potrubí
Nechat (M, G) být hladký Riemannian nebo pseudo-Riemannian n- potrubí. Vzhledem k plynulému grafu (U, ) jeden pak má funkce Gij :
(U) → ℝ a Gij :
(U) → ℝ pro každého i a j mezi 1 a n které uspokojí