Metrický tenzor (obecná relativita) - Metric tensor (general relativity) - Wikipedia

${ displaystyle { begin {pmatrix} g_ {00} & g_ {01} & g_ {02} & g_ {03} g_ {10} & g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} g_ {20} & g_ {21} & g_ {22} & g_ {23} g_ {30} & g_ {31} & g_ {32} & g_ {33} end {pmatrix}}}$ Metrický tenzor časoprostoru v obecné relativitě psaný jako matice

v obecná relativita, metrický tenzor (v této souvislosti často zkráceně jednoduše metrický) je základním předmětem studia. Lze to volně považovat za zobecnění gravitační potenciál z Newtonova gravitace.^{[je zapotřebí objasnění ]} Metrika zachycuje všechny geometrické a kauzální struktura z vesmírný čas, se používá k definování pojmů, jako je čas, vzdálenost, objem, zakřivení, úhel a oddělení budoucnosti a minulosti.

Zápis a konvence

V celém tomto článku pracujeme s metrický podpis to je většinou pozitivní (− + + +); vidět podepsat konvenci. The gravitační konstanta ${ displaystyle G}$ bude ponecháno výslovné. Tento článek využívá Konvence Einsteinova součtu, kde se opakované indexy automaticky sčítají.

Definice

Matematicky je časoprostor reprezentován čtyřrozměrným diferencovatelné potrubí ${ displaystyle M}$ a metrický tenzor je uveden jako a kovariantní, druhý-stupeň, symetrický tenzor na ${ displaystyle M}$, běžně označované ${ displaystyle g}$. Kromě toho musí být metrika nedegenerovat s podpis (− + + +). Potrubí ${ displaystyle M}$ vybavené takovou metrikou je typ Lorentzian potrubí.

Výslovně je metrický tenzor a symetrická bilineární forma na každém tečný prostor z ${ displaystyle M}$ který se liší plynulým (nebo diferencovatelným) způsobem od bodu k bodu. Vzhledem k tomu, dva tangenciální vektory ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle M}$, metriku lze vyhodnotit ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ uvést skutečné číslo:

${ displaystyle g_ {x} (u, v) = g_ {x} (v, u) v mathbb {R}.}$

Toto je zevšeobecnění Tečkovaný produkt obyčejný Euklidovský prostor. Na rozdíl od euklidovského prostoru - kde je bodový součin pozitivní určitý - metrika je neurčitá a dává každému tangenciálnímu prostoru strukturu Minkowského prostor.

Místní souřadnice a maticové reprezentace

Fyzici obvykle pracují lokální souřadnice (tj. souřadnice definované na některých místní patch z ${ displaystyle M}$). V místních souřadnicích ${ displaystyle x ^ { mu}}$ (kde ${ displaystyle mu}$ je index, který běží od 0 do 3) metriku lze zapsat do formuláře

${ displaystyle g = g _ { mu nu} dx ^ { mu} další dx ^ { nu}.}$

Faktory ${ displaystyle dx ^ { mu}}$ jsou jeden formulář přechody skalárních souřadnicových polí ${ displaystyle x ^ { mu}}$. Metrika je tedy lineární kombinací tenzorové výrobky jednoformátových přechodů souřadnic. Koeficienty ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ je sada 16 funkcí se skutečnou hodnotou (od tenzoru ${ displaystyle g}$ je tenzorové pole, který je definován ve všech bodech a vesmírný čas potrubí). Aby byla metrika symetrická, musíme ji mít

${ displaystyle g _ { mu nu} = g _ { nu mu},}$

dává 10 nezávislých koeficientů.

Pokud jsou lokální souřadnice zadány nebo chápány z kontextu, lze metriku zapsat jako 4 × 4 symetrická matice se záznamy ${ displaystyle g _ { mu nu}}$. Nedgenerace ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ znamená, že tato matice je ne singulární (tj. má nezanikající determinant), zatímco Lorentzianův podpis ${ displaystyle g}$ znamená, že matice má jeden záporný a tři pozitivní vlastní čísla. Všimněte si, že fyzici často odkazují na tuto matici nebo souřadnice ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ sami sebe jako metriku (viz však abstraktní indexová notace ).

S množstvím ${ displaystyle dx ^ { mu}}$ být považován za složky nekonečně malého posunutí souřadnic čtyři-vektor (nezaměňovat s one-formami stejné notace výše), metrika určuje invariantní čtverec nekonečně malé prvek čáry, často označované jako interval. Interval je často označován

${ displaystyle ds ^ {2} = g _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}.}$

Interval ${ displaystyle ds ^ {2}}$ dodává informace o kauzální struktura časoprostoru. Když ${ displaystyle ds ^ {2} <0}$, interval je podobný a druhá odmocnina absolutní hodnoty ${ displaystyle ds ^ {2}}$ je přírůstkové správný čas. Masivní objekt může fyzicky překonat pouze časové intervaly. Když ${ displaystyle ds ^ {2} = 0}$, interval je podobný světlu a lze jím projet pouze světlem. Když ${ displaystyle ds ^ {2}> 0}$, interval je vesmírný a druhá odmocnina z ${ displaystyle ds ^ {2}}$ působí jako přírůstek správná délka. Prostorovými intervaly nelze procházet, protože spojují události, které jsou navzájem mimo světelné kužely. Události mohou být kauzálně příbuzné, pouze pokud jsou v navzájem světelných kuželech.

Komponenty metriky závisí na výběru místního souřadného systému. Pod změnou souřadnic ${ displaystyle x ^ { mu} až x ^ { bar { mu}}}$, metrické komponenty se transformují jako

${ displaystyle g _ {{ bar { mu}} { bar { nu}}} = { frac { částečné x ^ { rho}} { částečné x ^ { bar { mu}}} } { frac { částečné x ^ { sigma}} { částečné x ^ { bar { nu}}}} g _ { rho sigma} = Lambda ^ { rho} {} _ { bar { mu}} , Lambda ^ { sigma} {} _ { bar { nu}} , g _ { rho sigma}.}$

Příklady

Plochý časoprostor

Nejjednodušší příklad Lorentzian potrubí^{[je zapotřebí objasnění ]} je plochý časoprostor, které lze uvést jako R⁴ se souřadnicemi^{[je zapotřebí objasnění ]} ${ displaystyle (t, x, y, z)}$ a metrika

${ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = eta _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}. ,}$

Tyto souřadnice ve skutečnosti pokrývají všechny R⁴. Metrika plochého prostoru (nebo Minkowského metrika ) je často označován symbolem η a je metrika používaná v speciální relativita. Ve výše uvedených souřadnicích je maticová reprezentace η je

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} -c ^ {2} & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

(Alternativní konvence nahradí souřadnice ${ displaystyle t}$ podle ${ displaystyle ct}$a definuje ${ displaystyle eta}$ jako v Minkowského prostor § Standardní základ.)

v sférické souřadnice ${ displaystyle (t, r, theta, phi)}$, metrika plochého prostoru má podobu

${ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2} ,}$

kde

${ displaystyle d Omega ^ {2} = d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}}$

je standardní metrika na 2 koule^{[je zapotřebí objasnění ]}.

Metriky černé díry

Schwarzschildova metrika popisuje nenabitou, nerotující černou díru. Existují také metriky, které popisují rotující a nabité černé díry.

Schwarzschildova metrika

Kromě metriky plochého prostoru je nejdůležitější metrikou obecné relativity je Schwarzschildova metrika které lze zadat v jedné sadě místních souřadnic pomocí

${ displaystyle ds ^ {2} = - left (1 - { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) c ^ {2} dt ^ {2} + left (1 - { frac {2GM} {rc ^ {2}}} vpravo) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2}}$

kde opět ${ displaystyle d Omega ^ {2}}$ je standardní metrika na 2 koule. Tady, ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta a ${ displaystyle M}$ je konstanta s rozměry Hmotnost. Jeho původ lze nalézt tady. Schwarzschildova metrika se blíží k Minkowského metrice jako ${ displaystyle M}$ se blíží nule (kromě počátku, kde není definováno). Podobně, když ${ displaystyle r}$ jde do nekonečna, Schwarzschildova metrika se blíží k Minkowského metrice.

Se souřadnicemi

${ displaystyle left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} right) = (ct, r, theta, varphi) ,,}$

můžeme metriku napsat jako

${ displaystyle g _ { mu nu} = { begin {bmatrix} - left (1 - { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) & 0 & 0 & 0 0 & left (1- { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) ^ {- 1} & 0 & 0 0 & 0 & r ^ {2} & 0 0 & 0 & 0 & r ^ {2} sin ^ {2} theta end {bmatrix} } ,.}$

Pro Schwarzschildovu metriku bylo navrženo několik dalších systémů souřadnic: Souřadnice Eddington – Finkelstein, Souřadnice Gullstrand – Painlevé, Kruskal – Szekeres souřadnice, a Lemaître souřadnice.

Rotující a nabité černé díry

Schwarzschildovo řešení předpokládá objekt, který se neotáčí v prostoru a není nabitý. Abychom zohlednili poplatek, musí metrika splňovat rovnice Einsteinova pole jako dříve, stejně jako Maxwellovy rovnice v zakřiveném časoprostoru. Nabitou nerotující hmotu popisuje Reissner – Nordströmova metrika.

Rotující černé díry jsou popsány v Metrika Kerr a Metrika Kerr – Newman.^{[je třeba další vysvětlení ]}

Další metriky

Jiné pozoruhodné metriky jsou:

• Alcubierrova metrika,
• de Sitter /anti-de Sitter metriky,
• Friedmann – Lemaître – Robertson – Walkerova metrika,
• Izotropní souřadnice,
• Metrika Lemaître – Tolman (aka Bondi metrické^{[je zapotřebí objasnění ]}),
• Peresova metrika,
• Rindlerovy souřadnice,
• Souřadnice Weyl-Lewis-Papapetrou,
• Gödelova metrika.

Některé z nich jsou bez horizont událostí nebo může být bez gravitační singularita.

Objem

Metrika G indukuje přirozené objemová forma (až po znaménko), které lze použít k integraci přes a kraj potrubí. Vzhledem k místním souřadnicím ${ displaystyle x ^ { mu}}$ pro potrubí lze zapsat svazek

${ displaystyle mathrm {vol} _ {g} = pm { sqrt {| det [g _ { mu nu}] |}} , dx ^ {0} klín dx ^ {1} klín dx ^ {2} klín dx ^ {3}}$

kde ${ displaystyle det [g _ { mu nu}]}$ je určující matice komponent metrického tenzoru pro daný souřadný systém.

Zakřivení

Metrika ${ displaystyle g}$ zcela určuje zakřivení časoprostoru. Podle základní věta o Riemannově geometrii existuje jedinečný spojení ∇ na jakékoli semi-Riemannian potrubí který je kompatibilní s metrickými a kroucení -volný, uvolnit. Toto spojení se nazývá Připojení Levi-Civita. The Christoffel symboly tohoto spojení jsou uvedeny jako parciální derivace metriky v lokálních souřadnicích ${ displaystyle x ^ { mu}}$ podle vzorce

${ displaystyle Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu} = {1 nad 2} g ^ { lambda rho} vlevo ({ částečný g _ { rho mu} nad částečné x ^ { nu}} + { částečné g _ { rho nu} nad částečné x ^ { mu}} - { částečné g _ { mu nu} nad částečné x ^ { rho }} right) = {1 nad 2} g ^ { lambda rho} left (g _ { rho mu, nu} + g _ { rho nu, mu} -g _ { mu nu, rho} right)}$

(kde čárky označují částečné derivace ).

Zakřivení časoprostoru je pak dáno vztahem Riemannův tenzor zakřivení který je definován z hlediska spojení Levi-Civita ∇. V místních souřadnicích je tento tenzor dán vztahem:

${ displaystyle {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = částečné _ { mu} gama ^ { rho} {} _ { nu sigma} - částečné _ { nu} Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} + Gamma ^ { rho} {} _ { mu lambda} Gamma ^ { lambda} {} _ { nu sigma } - Gamma ^ { rho} {} _ { nu lambda} Gamma ^ { lambda} {} _ { mu sigma}.}$

Zakřivení je pak vyjádřitelné čistě z hlediska metriky ${ displaystyle g}$ a jeho deriváty.

Einsteinovy ​​rovnice

Jednou z hlavních myšlenek obecné relativity je, že metriku (a související geometrii časoprostoru) určuje hmota a energie obsah vesmírný čas. Einsteinovy ​​rovnice pole:

${ displaystyle R _ { mu nu} - {1 nad 2} Rg _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} , T _ { mu nu }}$

Kde Ricciho tenzor zakřivení

${ displaystyle R _ { nu rho} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {R ^ { mu}} _ { nu mu rho}}$

a skalární zakřivení

${ displaystyle R { stackrel { mathrm {def}} {=}} g ^ { mu nu} R _ { mu nu}}$

vztahují metriku (a související tenzory zakřivení) k tenzor napětí a energie ${ displaystyle T _ { mu nu}}$. Tento tenzor rovnice je složitá množina nelineárních parciální diferenciální rovnice pro metrické komponenty. Přesná řešení Einsteinových polních rovnic je velmi obtížné najít.

Viz také

• Alternativy k obecné relativitě
• Základní úvod do matematiky zakřiveného časoprostoru
• Matematika obecné relativity
• Ricciho počet

Reference

• Vidět obecné zdroje relativity pro seznam referencí.