Dyadics - Dyadics
v matematika konkrétně multilineární algebra, a dyadický nebo dyadický tenzor je sekunda objednat tenzor, napsaný v zápisu, který zapadá do vektorová algebra.
Existuje mnoho způsobů, jak znásobit dva Euklidovské vektory. The Tečkovaný produkt vezme dva vektory a vrátí a skalární, zatímco křížový produkt vrací a pseudovektor. Oba mají různé významné geometrické interpretace a jsou široce používány v matematice, fyzika, a inženýrství. The dyadický produkt vezme dva vektory a vrátí tenzor druhého řádu zvaný a dyadický v tomto kontextu. Dyadic lze použít k uložení fyzických nebo geometrických informací, ačkoli obecně neexistuje přímý způsob, jak je geometricky interpretovat.
Dyadický produkt je distribuční přes vektorové přidání, a asociativní s skalární násobení. Dyadický produkt tedy je lineární v obou operandech. Obecně lze přidat dvě dyadics získat další dyadic, a znásobeno čísly k škálování dyadic. Produkt však není komutativní; změna pořadí vektorů má za následek jinou dyadiku.
Formalismus dyadická algebra je rozšíření vektorové algebry tak, aby zahrnovalo dyadický produkt vektorů. Dyadický produkt je také asociativní s produkty tečky a kříže s jinými vektory, což umožňuje kombinovat produkty tečky, kříže a dyadiky společně za účelem získání dalších skalárů, vektorů nebo dyadiků.
Má také některé aspekty maticová algebra, do kterého lze řadit číselné složky vektorů vektory řádků a sloupců a tenzory druhého řádu v čtvercové matice. Také tečkovaný, křížový a dyadický součin lze vyjádřit v maticové formě. Dyadické výrazy se mohou velmi podobat ekvivalentům matice.
Tečkový součin dyadické s vektorem dává další vektor a převzetí tečkového součinu tohoto výsledku dává skalární odvozený od dyadické. Účinek, který má daná dyadika na jiné vektory, může poskytnout nepřímé fyzické nebo geometrické interpretace.
Dyadická notace byla poprvé zavedena Josiah Willard Gibbs v roce 1884. Zápis a terminologie jsou dnes relativně zastaralé. Jeho použití ve fyzice zahrnuje mechanika kontinua a elektromagnetismus.
V tomto článku velkými tučnými proměnnými se označují dyadika (včetně dyád), zatímco malými tučnými proměnnými se označují vektory. Alternativní notace používá dvojité a jednoduché nad nebo pod pruhy.
Definice a terminologie
Dyadické, vnější a tenzorové produkty
A dyad je tenzor z objednat dva a hodnost jedna a je dvojitým produktem dvou vektory (komplexní vektory obecně), zatímco a dyadický je generál tenzor z objednat dva (což může být i plné hodnocení).
Pro tento produkt existuje několik ekvivalentních výrazů a poznámek:
- the dyadický produkt dvou vektorů a je označen (vedle sebe; žádné symboly, znaky násobení, kříže, tečky atd.)
- the vnější produkt ze dvou vektory sloupců a je označen a definován jako nebo , kde prostředek přemístit,
- the tenzorový produkt dvou vektorů a je označen ,
V dyadickém kontextu mají všechny stejnou definici a význam a jsou používány jako synonyma, ačkoli tenzorový produkt je příkladem obecnějšího a abstraktnějšího použití termínu.
Dirac braketová notace vysvětluje intuitivně používání dyád a dyadik, viz Cahill (2013).
Trojrozměrný euklidovský prostor
Pro ilustraci ekvivalentního využití zvažte trojrozměrný Euklidovský prostor, umožňující:
být dva vektory, kde i, j, k (také označeno E1, E2, E3) jsou standardem základní vektory v tomhle vektorový prostor (viz také Kartézské souřadnice ). Pak dyadický produkt A a b lze vyjádřit jako součet:
nebo rozšířením z vektorů řádků a sloupců matice 3 × 3 (také výsledek vnějšího součinu nebo tenzorového součinu z A a b):
A dyad je složkou dyadic (a monomiální součtu nebo ekvivalentně vstupu matice) - dyadický produkt dvojice základní vektory skalární násobení o číslo.
Stejně jako standardní základní (a jednotkové) vektory i, j, k, mít zastoupení: