Voigtova notace - Voigt notation
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Říjen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, Voigtova notace nebo Voigtova forma v multilineární algebra je způsob, jak reprezentovat a symetrický tenzor snížením jeho pořadí.[1] K tomuto nápadu existuje několik variant a přidružených názvů: Mandelova notace, Mandel – Voigtova notace a Nová notace jsou další nalezeni. Kelvinova notace je oživení Helbig[2] starých nápadů Lord Kelvin. Rozdíly zde spočívají v určitých vahách připojených k vybraným položkám tenzoru. Nomenklatura se může lišit podle toho, co je tradiční v oblasti aplikace.
Například symetrický tenzor 2 × 2 X má pouze tři odlišné prvky, dva na diagonále a druhý mimo diagonální. Lze jej tedy vyjádřit jako vektor
- .
Jako další příklad:
Tenzor napětí (v maticovém zápisu) je uveden jako
V notaci Voigt je zjednodušena na 6-dimenzionální vektor:
Tenzor přetvoření, který je svou povahou podobný tenzoru napětí - oba jsou symetrické tenzory druhého řádu -, je uveden v maticové formě jako
Jeho zastoupení ve Voigtově notaci je
kde , , a jsou technické smykové kmeny.
Výhodou použití různých reprezentací napětí a přetvoření je skalární invariance
je zachována.
Podobně lze trojrozměrný symetrický tenzor čtvrtého řádu snížit na matici 6 × 6.
Mnemonické pravidlo
Jednoduchý mnemotechnické pravidlo pro zapamatování Voigtovy notace je následující:
- Zapište si tenzor druhého řádu do maticové formy (v příkladu tenzor napětí)
- Vyškrtněte úhlopříčku
- Pokračujte třetím sloupcem
- Vraťte se k prvnímu prvku v první řadě.
Voigtovy indexy jsou číslovány postupně od počátečního bodu do konce (v příkladu jsou čísla označena modře).
Mandelova notace
Pro symetrický tenzor druhého stupně
pouze šest komponent je odlišných, tři na diagonále a ostatní jsou mimo diagonální. Lze jej tedy vyjádřit v Mandelově zápisu[3]jako vektor
Hlavní výhodou notace Mandel je umožnit použití stejných konvenčních operací používaných s vektory, například:
Symetrický tenzor 4. úrovně uspokojivý a má 81 komponent v trojrozměrném prostoru, ale pouze 36 komponent je odlišných. V Mandelově zápisu jej tedy lze vyjádřit jako
Aplikace
Zápis je pojmenován po fyzikovi Woldemar Voigt & John Nye (vědec). Je užitečné například při výpočtech zahrnujících konstitutivní modely pro simulaci materiálů, jako je například generalizovaný Hookeův zákon, stejně jako analýza konečných prvků,[4] a Difúzní MRI.[5]
Hookeův zákon má symetrický tenzor tuhosti čtvrtého řádu s 81 složkami (3 × 3 × 3 × 3), ale protože aplikace takového tenzoru 4. stupně na symetrický tenzor 2. stupně musí přinést další symetrický tenzor 2. stupně, ne všech 81 prvků je nezávislých. Voigtova notace umožňuje takový tenzor 4. stupně zastoupeny maticí 6 × 6. Voigtova forma však nezachovává součet čtverců, což má v případě Hookeova zákona geometrický význam. To vysvětluje, proč se zavádějí váhy (aby se mapování stalo izometrie ).
Diskusi o invariantnosti Voigtovy notace a Mandelovy notace lze nalézt v Helnwein (2001).[6]
Reference
- ^ Woldemar Voigt (1910). Lehrbuch der kristallphysik. Teubner, Lipsko. Citováno 29. listopadu 2016.
- ^ Klaus Helbig (1994). Základy anizotropie pro průzkumnou seismiku. Pergamon. ISBN 0-08-037224-4.
- ^ Jean Mandel (1965). „Généralisation de la théorie de plasticité de WT Koiter“. International Journal of Solids and Structures. 1 (3): 273–295. doi:10.1016 / 0020-7683 (65) 90034-x.
- ^ O.C. Zienkiewicz; R.L. Taylor; J.Z. Zhu (2005). Metoda konečných prvků: její základy a základy (6. vyd.). Elsevier Butterworth - Heinemann. ISBN 978-0-7506-6431-8.
- ^ Maher Moakher (2009). „Algebra tenzorů čtvrtého řádu s aplikací na difúzní MRI“. Vizualizace a zpracování tenzorových polí. Matematika a vizualizace. Springer Berlin Heidelberg. str. 57–80. doi:10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN 978-3-540-88377-7.
- ^ Peter Helnwein (16. února 2001). „Několik poznámek ke komprimované maticové reprezentaci symetrických tenzorů druhého a čtvrtého řádu“. Počítačové metody v aplikované mechanice a strojírenství. 190 (22–23): 2753–2770. Bibcode:2001CMAME.190.2753H. doi:10.1016 / s0045-7825 (00) 00263-2.