Dvoubodový tenzor - Two-point tensor

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn.
Najít zdroje: „Dvoubodový tenzor“ – zprávy · noviny · knihy · učenec · JSTOR (prosinec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Ne důvod vyčištění bylo upřesněno. Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

(Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Dvoubodové tenzorynebo dvojité vektory, jsou tenzor -jako veličiny, které se transformují jako euklidovské vektory s ohledem na každý z jejich indexů a jsou použity v mechanika kontinua transformovat mezi referenčními („materiál“) a současnými („konfigurace“) souřadnicemi.^[1] Mezi příklady patří gradient deformace a první Tenzor napětí Piola – Kirchhoff.

Stejně jako u mnoha aplikací tenzorů Einsteinova součtová notace se často používá. K objasnění tohoto zápisu se často používají kapitálové indexy k označení referenčních souřadnic a malá písmena pro současné souřadnice. Tedy dvoubodový tenzor bude mít jeden kapitál a jeden index malých písmen; například, A_jM.

Mechanika kontinua

Konvenční tenzor lze chápat jako transformaci vektorů v jednom souřadnicovém systému na jiné vektory ve stejném souřadnicovém systému. Naproti tomu dvoubodový tenzor transformuje vektory z jednoho souřadnicového systému do druhého. To znamená konvenční tenzor,

{ displaystyle mathbf {Q} = Q_ {pq} ( mathbf {e} _ {p} otimes mathbf {e} _ {q})}

,

aktivně transformuje vektor u na vektor proti takhle

{ displaystyle mathbf {v} = mathbf {Q} mathbf {u}}

kde proti a u jsou měřeny ve stejném prostoru a jejich souřadnicové reprezentace jsou vzhledem ke stejnému základu (označenoE").

Naproti tomu dvoubodový tenzor, G bude zapsán jako

{ displaystyle mathbf {G} = G_ {pq} ( mathbf {e} _ {p} otimes mathbf {E} _ {q})}

a transformuje vektor, U, v E systém na vektor, proti, v E systém jako

{ displaystyle mathbf {v} = mathbf {GU}}

.

Zákon transformace pro dvoubodový tenzor

Předpokládejme, že máme dva souřadnicové systémy, jeden primární a druhý bez základního materiálu a komponenty vektorů se mezi nimi transformují jako

{ displaystyle v '_ {p} = Q_ {pq} v_ {q}}

.

Pro tenzory předpokládejme, že pak máme

{ displaystyle T_ {pq} (e_ {p} mnohokrát e_ {q})}

.

Tenzor v systému ${ displaystyle e_ {i}}$ . V jiném systému nechť je dán stejný tenzor

{ displaystyle T '_ {pq} (e' _ {p} mnohokrát e '_ {q})}

.

Můžeme říct

{ displaystyle T '_ {ij} = Q_ {ip} Q_ {jr} T_ {pr}}

.

Pak

{ displaystyle T '= QTQ ^ { mathsf {T}}}

je rutinní transformace tenzoru. Ale dvoubodový tenzor mezi těmito systémy je spravedlivý

{ displaystyle F_ {pq} (e '_ {p} mnohokrát e_ {q})}

který se transformuje jako

{ displaystyle F '= QF}

.

Nejpozemnější příklad dvoubodového tenzoru

Nejpozemnějším příkladem dvoubodového tenzoru je tenzor transformace, Q ve výše uvedené diskusi. Všimněte si, že

{ displaystyle v '_ {p} = Q_ {pq} u_ {q}}

.

Nyní, psát úplně,

{ displaystyle u = u_ {q} e_ {q}}

a také

{ displaystyle v = v '_ {p} e' _ {p}}

.

To pak vyžaduje Q být ve formě

{ displaystyle Q_ {pq} (e '_ {p} mnohokrát e_ {q})}

.

Podle definice tenzorový produkt,

{ displaystyle (e '_ {p} další časy e_ {q}) e_ {q} = (e_ {q} .e_ {q}) e' _ {p} = 3e '_ {p}}

(1)

Takže můžeme psát

{ displaystyle u_ {p} e_ {p} = (Q_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})) (v_ {q} e_ {q})}

Tím pádem

{ displaystyle u_ {p} e_ {p} = Q_ {pq} v_ {q} (e '_ {p} mnohokrát e_ {q}) e_ {q}}

Začlenění (1), my máme

{ displaystyle u_ {p} e_ {p} = Q_ {pq} v_ {q} e_ {p}}

.

V rovnici následující (1) jsou čtyři q!

Viz také

Reference

^ Humphrey, Jay D. Kardiovaskulární mechanika pevných látek: buňky, tkáně a orgány. Springer Verlag, 2002.

externí odkazy