Operátor hvězd Hodge - Hodge star operator

v matematika, Operátor hvězd Hodge nebo Hodge hvězda je lineární mapa definované na vnější algebra konečně-dimenzionální orientované vektorový prostor obdařen a nedegenerovat symetrická bilineární forma. Aplikováním operátoru na prvek algebry vznikne Hodge dual prvku. Tuto mapu představil W. V. D. Hodge.

Například v orientovaném 3-dimenzionálním euklidovském prostoru může být orientovaná rovina reprezentována symbolem vnější produkt dvou základních vektorů a jeho Hodgeův duální je normální vektor dané jejich křížový produkt; naopak, jakýkoli vektor je duální vůči orientované rovině kolmé na něj, obdařený vhodným bivektorem. Zobecnění na n-dimenzionální vektorový prostor, Hodgeova hvězda je mapování jedna ku jedné k-vektory do (n - k)-vektory; rozměry těchto prostor jsou binomické koeficienty ${ displaystyle { tbinom {n} {k}} = { tbinom {n} {n-k}}}$.

The přirozenost hvězdného operátora znamená, že může hrát roli v diferenciální geometrii, když je aplikován na kotangens svazek a pseudo-Riemannovo potrubí, a tedy k rozdíl k-formuláře. To umožňuje definici codifferential jako Hodge adjoint z vnější derivace, vedoucí k Operátor Laplace – de Rham. Tím se zobecňuje případ trojrozměrného euklidovského prostoru, ve kterém divergence vektorového pole lze realizovat jako codiferenciální opačný k spád operátor a Operátor Laplace na funkci je divergence jejího přechodu. Důležitou aplikací je Hodgeův rozklad diferenciálních forem na a Zavřeno Riemannovo potrubí.

Formální definice pro k-vektory

Nechat PROTI být n-dimenzionální vektorový prostor s nedgenerovaným symetrickým bilineárním tvarem ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$, zde označovaný jako vnitřní produkt. Tento indukuje vnitřní produkt na k-vektory ${ displaystyle alpha, beta in { textstyle bigwedge} ^ {! k} V}$, pro ${ displaystyle 0 leq k leq n}$, tím, že definuje to na rozložitelné k-vektory ${ displaystyle alpha = alpha _ {1} klín cdots klín alfa _ {k}}$ a ${ displaystyle beta = beta _ {1} klín cdots klín beta _ {k}}$ rovnat se Gram determinant^[1]:14

${ displaystyle langle alpha, beta rangle = det ( left langle alpha _ {i}, beta _ {j} pravý rangle) _ {i, j = 1} ^ {k} }$

rozšířena na ${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {! k} V}$ přes linearitu.

Jednotka n-vektor ${ displaystyle omega in { textstyle bigwedge} ^ {! n} V}$ je definován z hlediska orientovaného ortonormální základ ${ displaystyle {e_ {1}, ldots, e_ {n} }}$ z PROTI tak jako:

${ displaystyle omega : = e_ {1} klín cdots klín e_ {n}.}$

The Operátor hvězd Hodge je lineární operátor na vnější algebra z PROTI, mapování k-vektory do (n – k) -vektory, pro ${ displaystyle 0 leq k leq n}$. Má následující vlastnost, která ji definuje úplně:^[1]:15

${ displaystyle alpha wedge ({ star} beta) = langle alpha, beta rangle , omega}$ pro každý pár k-vektory ${ displaystyle alpha, beta in { textstyle bigwedge} ^ {! k} V.}$

Duálně ve vesmíru ${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {! n} V ^ {*}}$z n-formy (střídavé n-multilineární funkce zapnuta ${ displaystyle V ^ {n}}$), duální na ${ displaystyle omega}$ je objemová forma ${ displaystyle det}$, funkce, jejíž hodnota je zapnuta ${ displaystyle v_ {1} klín cdots klín v_ {n}}$ je určující z ${ displaystyle n krát n}$ matice sestavená ze sloupcových vektorů ${ displaystyle v_ {i}}$ v ${ displaystyle e_ {i}}$-souřadnice.

Přihlašování ${ displaystyle det}$ k výše uvedené rovnici získáme dvojí definici:

${ displaystyle det ( alpha wedge { star} beta) = langle alpha, beta rangle.}$

nebo ekvivalentně, přičemž ${ displaystyle alpha = alpha _ {1} klín cdots klín alfa _ {k}}$, ${ displaystyle beta = beta _ {1} klín cdots klín beta _ {k}}$, a ${ displaystyle star beta = beta _ {1} ^ { star} klín cdots klín beta _ {n-k} ^ { star}}$:

${ displaystyle det ( alpha _ {1} klín cdots klín alfa _ {k} klín beta _ {1} ^ { star} klín cdots klín beta _ {nk} ^ { star}) = det ( langle alpha _ {i}, beta _ {j} rangle).}$

To znamená, že psaní ortonormálního základu k-vektory jako ${ displaystyle e_ {I} = e_ {i_ {1}} klín cdots klín e_ {i_ {k}}}$ ve všech podskupinách ${ displaystyle I = {i_ {1} < cdots$ z ${ displaystyle [n] = {1, ldots, n }}$, Hodge dual je (n - k) -vektor odpovídající doplňkové sadě ${ displaystyle { bar {I}} = [n] setminus I = {{ bar {i}} _ {1} < cdots <{ bar {i}} _ {n-k} }}$:

${ displaystyle { star} e_ {I} = (- 1) ^ { sigma (I)} e _ { bar {I}},}$

kde ${ displaystyle (-1) ^ { sigma (I)}}$ je podepsat permutace ${ displaystyle sigma (I) = i_ {1} cdots i_ {k} { bar {i}} _ {1} cdots { bar {i}} _ {n-k}}$.

Protože Hodgeova hvězda bere ortonormální základ na ortonormální základ, je to izometrie na vnější algebře ${ displaystyle { textstyle bigwedge} V}$.

Geometrické vysvětlení

Hodgeova hvězda je motivována korespondencí mezi podprostorem Ž z PROTI a jeho ortogonální podprostor (s ohledem na vnitřní součin), kde je každý prostor vybaven znakem orientace a číselný faktor měřítka. Konkrétně nenulový rozložitelný k-vektor ${ displaystyle w_ {1} klín cdots klín w_ {k} v textový styl bigwedge ^ {! k} V}$ odpovídá Plücker vkládání do podprostoru ${ displaystyle W}$ s orientovaným základem ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {k}}$, obdařený měřítkem rovným k-dimenzionální objem rovnoběžnostěnu překlenutý tímto základem (rovný Gramian, determinant matice vnitřních produktů ${ displaystyle langle w_ {i}, w_ {j} rangle}$). Hodgeovu hvězdu působící na rozložitelný vektor lze zapsat jako rozložitelnou (n − k)-vektor:

${ displaystyle hvězda (w_ {1} klín cdots klín w_ {k}) , = , u_ {1} klín cdots klín u_ {n-k},}$

kde ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n-k}}$ tvoří orientovaný základ ortogonální prostor ${ displaystyle U = W ^ { perp} !}$. Dále (n − k) - objem ${ displaystyle u_ {i}}$-paralelopiped se musí rovnat k-objem ${ displaystyle w_ {i}}$-paralelopiped, a ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {k}, u_ {1}, ldots, u_ {n-k}}$ musí tvořit orientovaný základ PROTI.

Generál k-vector je lineární kombinace rozložitelných k-vektory a definice Hodgeovy hvězdy je rozšířena na obecnou k-vektory definováním jako lineární.

Příklady

Dva rozměry

Ve dvou rozměrech s normalizovanou euklidovskou metrikou a orientací danou objednávkou (X, y), Hodgeova hvězda dál k-formy jsou dány

${ displaystyle { star} , 1 = dx klín dy}$

${ displaystyle { star} , dx = dy}$

${ displaystyle { star} , dy = -dx}$

${ displaystyle { star} (dx wedge dy) = 1.}$

Na komplexní rovině považována za skutečný vektorový prostor se standardem sesquilineární forma jako metrika má Hodgeova hvězda pozoruhodnou vlastnost, pod kterou je neměnná holomorfní změny souřadnic z = X + iy je holomorfní funkce w = u + iv, poté Cauchy – Riemannovy rovnice máme to ∂X/∂u = ∂y/∂proti a ∂y/∂u = –∂X/∂proti. V nových souřadnicích

${ displaystyle alpha = p , dx + q , dy = vlevo (p { frac { částečné x} { částečné u}} + q { frac { částečné y} { částečné u}} pravé) , du + levé (p { frac { částečné x} { částečné v}} + q { frac { částečné y} { částečné v}} pravé) , dv = p_ {1} du + q_ {1} , dv,}$

aby

${ displaystyle { begin {aligned} { star} alpha = -q_ {1} , du + p_ {1} , dv & = - left (p { frac { částečné x} { částečné v }} + q { frac { částečné y} { částečné v}} pravé) du + levé (p { frac { částečné x} { částečné u}} + q { frac { částečné y} { částečné u}} pravé) dv [4pt] & = - q levé ({ frac { částečné x} { částečné u}} du + { frac { částečné x} { částečné v} } dv right) + p left ({ frac { částečné y} { částečné u}} du + { frac { částečné y} { částečné v}} dv pravé) [4pt] & = -q , dx + p , dy, end {zarovnáno}}}$

prokázání nárokované invariance.

Tři rozměry

Běžným příkladem hvězdného operátora Hodge je případ n = 3, když to lze brát jako korespondenci mezi vektory a bivektory. Konkrétně pro Euklidovský R³ se základem ${ displaystyle dx, dy, dz}$ z jednoformátové často se používá v vektorový počet, jeden to najde

${ displaystyle { begin {aligned} { star} , dx & = dy wedge dz { star} , dy & = dz wedge dx { star} , dz & = dx wedge dy. end {zarovnáno}}}$

Hvězda Hodge spojuje vnější a příčný produkt ve třech rozměrech:^[2]

${ displaystyle { star} ( mathbf {u} klín mathbf {v}) = mathbf {u} times mathbf {v} qquad { star} ( mathbf {u} times mathbf {v}) = mathbf {u} klín mathbf {v}.}$

Hodgeova hvězda, aplikovaná na tři rozměry, poskytuje izomorfismus mezi axiální vektory a bivektory, takže každý axiální vektor A je spojen s bivektorem A a naopak, to znamená:^[2] ${ displaystyle mathbf {A} = { star} mathbf {a}, mathbf {a} = { star} mathbf {A}}$Hodgeovu hvězdu lze také interpretovat jako formu geometrické korespondence mezi osou a nekonečně malou rotací kolem osy, s rychlostí rovnou délce vektoru osy. Vnitřní produkt ve vektorovém prostoru ${ displaystyle V}$ dává izomorfismus ${ displaystyle V cong V ^ {*} !}$ identifikace ${ displaystyle V}$ s jeho dvojí prostor a prostor všech lineárních operátorů ${ displaystyle L: V až V}$ je přirozeně izomorfní s tenzorový produkt ${ displaystyle V ^ {*} ! ! otimes V cong V otimes V}$. Tak pro ${ displaystyle V = mathbb {R} ^ {3}}$, mapování hvězd ${ displaystyle textstyle hvězda: V až bigwedge ^ {! 2} ! V podmnožina V otimes V}$ bere každý vektor ${ displaystyle mathbf {v}}$ na bivektor ${ displaystyle star mathbf {v} ve V otimes V}$, což odpovídá lineárnímu operátoru ${ displaystyle L _ { mathbf {v}}: V až V}$. Konkrétně ${ displaystyle L _ { mathbf {v}}}$ je šikmo symetrický operátor, který odpovídá nekonečně malá rotace: to znamená makroskopické otáčení kolem osy ${ displaystyle mathbb {v}}$ jsou dány exponenciální matice ${ displaystyle exp (tL _ { mathbf {v}})}$. S ohledem na základ ${ displaystyle dx, dy, dz}$ z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, tenzor ${ displaystyle dx otimes dy}$ odpovídá matici souřadnic s 1 v ${ displaystyle dx}$ řádek a ${ displaystyle dy}$ sloup atd. a klín ${ displaystyle dx wedge dy , = , dx otimes dy-dy otimes dx}$ je zešikmená symetrická matice ${ displaystyle scriptscriptstyle left [{ begin {pole} {rrr} , 0 ! ! & ! ! 1 & ! ! ! ! 0 ! ! ! ! ! ! [-. 5em] , ! - 1 ! ! & ! ! 0 ! ! & ! ! ! ! 0 ! ! ! ! ! ! [-. 5em] , 0 ! ! & ! ! 0 ! ! & ! ! ! ! 0 ! ! ! ! ! ! End pole }}!!!že jo]}$atd. To znamená, že můžeme hvězdný operátor interpretovat jako:

${ displaystyle mathbf {v} = a , dx + b , dy + c , dz quad longrightarrow quad star { mathbf {v}} cong L _ { mathbf {v}} = left [{ begin {array} {rrr} 0 & c & -b - c & 0 & a b & -a & 0 end {array}} right].}$

Pod touto korespondencí odpovídá křížový produkt vektorů komutátoru Ležící závorka lineárních operátorů: ${ displaystyle L _ { mathbf {u} times mathbf {v}} = L _ { mathbf {u}} L _ { mathbf {v}} -L _ { mathbf {v}} L _ { mathbf {u }}}$.

Čtyři rozměry

V případě n = 4, Hodgeova hvězda funguje jako endomorfismus druhé vnější síly (tj. od té doby mapuje 2 formy na 2 formy) 4 − 2 = 2). Pokud je podpis metrický tenzor je vše pozitivní, tj. na a Riemannovo potrubí, pak je Hodgeova hvězda involuce; pokud je podpis smíšený, pak aplikace dvakrát vrátí argument až na znaménko - viz § Dualita níže. Například v časoprostoru Minkowski kde n = 4 s metrickým podpisem (+ − − −) a souřadnice (t, X, y, z) kde (pomocí ${ displaystyle varepsilon _ {0123} = 1}$):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} star dt & = dx klín dy klín dz hvězda dx & = dt klín dy klín dz hvězda dy & = - dt klín dx klín dz star dz & = dt wedge dx wedge dy end {zarovnáno}}}$

pro jednoformátové zatímco

${ displaystyle { begin {zarovnáno} hvězda (dt klín dx) & = - dy klín dz hvězda (dt klín dy) & = dx klín dz hvězda (dt klín dz) & = - dx wedge dy star (dx wedge dy) & = dt wedge dz star (dx wedge dz) & = - dt wedge dy star (dy wedge dz) & = dt wedge dx end {zarovnáno}}}$

pro 2 formy. Protože jejich determinanty jsou v obou shodné (+ − − −) a (− + + +), znamení Minkowského vesmírného duálního duálního tvaru závisí pouze na zvolené orientaci.^{[je nutné ověření ]}

Pro výše uvedené Hodgeovy operace je snadno zapamatovatelné pravidlo, které je dáno formou ${ displaystyle alpha}$, jeho Hodge dual ${ displaystyle { star} alpha}$ lze získat zapsáním komponent, které nejsou součástí ${ displaystyle alpha}$ v takovém pořadí ${ displaystyle alpha klín ( hvězda alfa) = dt klín dx klín dy klín dz}$.^{[je nutné ověření ]} Znak mínus navíc se zadá, pouze pokud ${ displaystyle alpha}$ neobsahuje ${ displaystyle dt}$. (Druhá konvence vychází z volby (+ − − −) pro metrický podpis. Pro (− + + +), jeden vloží znaménko mínus, pouze pokud ${ displaystyle alpha}$ zahrnuje ${ displaystyle dt}$.)

Příklad: Deriváty ve třech rozměrech

Kombinace ${ displaystyle star}$ provozovatel a vnější derivace d generuje klasické operátory grad, kučera, a div na vektorová pole v trojrozměrném euklidovském prostoru. Funguje to následovně: d vezme 0-formu (funkci) na 1-formu, 1-formu na 2-formu a 2-formu na 3-formu (a vezme 3-formu na nulu). Pro formulář 0 ${ displaystyle f = f (x, y, z)}$, první případ napsaný v komponentách dává:

${ displaystyle df = { frac { částečné f} { částečné x}} , dx + { frac { částečné f} { částečné y}} , dy + { frac { částečné f} { částečné z}} , dz.}$

Vnitřní produkt identifikuje 1-formuláře s vektorovými poli jako ${ displaystyle dx mapsto (1,0,0)}$atd., takže ${ displaystyle df}$ se stává ${ displaystyle mathrm {grad} , f = ({ tfrac { částečné f} { částečné x}}, { tfrac { částečné f} { částečné y}}, { tfrac { částečné f } { částečné z}})}$.

Ve druhém případě vektorové pole ${ displaystyle mathbf {F} = (A, B, C)}$ odpovídá 1-formuláři ${ displaystyle varphi = A , dx + B , dy + C , dz}$, který má vnější derivaci:

${ displaystyle d varphi = vlevo ({ částečné C přes částečné y} - { částečné B přes částečné z} vpravo) dy klín dz + vlevo ({ částečné C přes částečné x } - { částečné A přes částečné z} doprava) dx klín dz + vlevo ({ částečné B přes částečné x} - { částečné A přes částečné y} vpravo) dx klín .}$

Použití Hodgeovy hvězdy dává 1-formu:

${ displaystyle star d varphi = vlevo ({ částečné C přes částečné y} - { částečné B přes částečné z} vpravo) , dx- vlevo ({ částečné C přes částečné x} - { částečné A nad částečné z} pravé) , dy + levé ({ částečné B nad částečné x} - { částečné A nad částečné y} pravé) , dz ,}$

které se stává vektorovým polem ${ displaystyle mathrm {curl} , mathbf {F} = ({ tfrac { částečné C} { částečné y}} - { tfrac { částečné B} { částečné z}}, , - { tfrac { částečné C} { částečné x}} + { tfrac { částečné A} { částečné z}}, , { tfrac { částečné B} { částečné x}} - { tfrac { částečné A} { částečné y}})}$.

Ve třetím případě ${ displaystyle mathbf {F} = (A, B, C)}$ opět odpovídá ${ displaystyle varphi = A , dx + B , dy + C , dz}$. Opětovné použití Hodgeovy hvězdy, exteriérové ​​derivace a Hodgeovy hvězdy:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} star varphi & = A , dy klín dz-B , dx klín dz + C , dx klín dy, d { star varphi} & = left ({ frac { částečné A} { částečné x}} + { frac { částečné B} { částečné y}} + { frac { částečné C} { částečné z}} vpravo) dx wedge dy wedge dz, star d { star varphi} & = { frac { částečné A} { částečné x}} + { frac { částečné B} { částečné y}} + { frac { částečné C} { částečné z}} = mathrm {div} , mathbf {F}. end {zarovnáno}}}$

Jednou z výhod tohoto výrazu je identita d² = 0, což je pravda ve všech případech, shrnuje další dvě, a to zvlnění grad F = 0 a div curl F = 0. Zejména, Maxwellovy rovnice mít obzvláště jednoduchou a elegantní podobu, vyjádřenou externím derivátem a Hodgeovou hvězdou. Výraz ${ displaystyle star d star}$ se nazývá codifferential; je definován v plné obecnosti pro každou dimenzi dále v článku níže.

Jeden může také získat Laplacian ΔF = div gradF z hlediska výše uvedených operací:

${ displaystyle Delta f = hvězda d { hvězda df} = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f } { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}.}$

Laplacian lze také považovat za zvláštní případ obecnějších Operátor Laplace – deRham ${ displaystyle Delta = d delta + delta d}$ kde ${ displaystyle delta = (- 1) ^ {k} hvězda d hvězda}$ je codifferential pro ${ displaystyle k}$-formuláře. Libovolná funkce ${ displaystyle f}$ je 0-forma, a ${ displaystyle delta f = 0}$ a tak se to redukuje na obyčejný Laplacian. Pro 1-formulář ${ displaystyle varphi}$ výše je codifferential je ${ displaystyle delta = - hvězda d hvězda}$ a po několika zástrčka a chug, jeden získá Laplacian působící na ${ displaystyle varphi}$.

Dualita

Dvojnásobné použití Hodgeovy hvězdy zanechává a k-vector beze změny kromě jeho znaménka: pro ${ displaystyle eta in { textstyle bigwedge} ^ {k} V}$ v n-rozměrný prostor PROTI, jeden má

${ displaystyle { star} { star} eta = (- 1) ^ {k (n-k)} s eta,}$

kde s je parita podpis vnitřního produktu na PROTI, to znamená znamení určující matice vnitřního produktu s ohledem na jakýkoli základ. Například pokud n = 4 a podpis vnitřního produktu je buď (+ − − −) nebo (− + + +) pak s = −1. U Riemannovských variet (včetně euklidovských prostorů) to vždy máme s = 1.

Z výše uvedené identity vyplývá, že inverzní k ${ displaystyle star}$ lze uvést jako

${ displaystyle { begin {aligned} { star} ^ {- 1}: ~ & { textstyle bigwedge} ^ {! k} to { textstyle bigwedge} ^ {! nk} & eta mapsto (-1) ^ {k (nk)} ! s { star} eta end {zarovnáno}}}$

Li n je potom zvláštní k(n − k) je dokonce pro všechny k, zatímco pokud n je i tehdy k(n − k) má paritu k. Proto:

${ displaystyle { star} ^ {- 1} = { begin {cases} s { star} & n { text {je zvláštní}} (- 1) ^ {k} s { star} & n { text {is even}} end {cases}}}$

kde k je stupeň operovaného prvku.

Na potrubích

Pro n-rozměrově orientovaný pseudo-Riemannovo potrubí M, aplikujeme výše uvedenou konstrukci na každého kotangensový prostor ${ displaystyle { text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ a jeho vnější síly ${ displaystyle wedge ^ {k} { text {T}} _ {p} ^ {*} M}$, a tedy k diferenciálu k-formuláře ${ displaystyle zeta v Omega ^ {k} (M) = Gamma vlevo ( klín ^ {k} { text {T}} ^ {*} ! M vpravo)}$, globální sekce z svazek ${ displaystyle wedge ^ {k} mathrm {T} ^ {*} ! M až M}$. Metrika Riemanninan indukuje vnitřní produkt na ${ displaystyle wedge ^ {k} { text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ v každém bodě ${ displaystyle p v M}$. Definujeme Hodge dual a k-formulář ${ displaystyle zeta}$, definování ${ displaystyle { star} zeta}$ jako jedinečný (n – k) -forma uspokojivá

${ displaystyle eta klín { star} zeta = langle eta, zeta rangle , omega}$

pro každého k-formulář ${ displaystyle eta}$, kde ${ displaystyle langle eta, zeta rangle}$ je funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle M}$a objemová forma ${ displaystyle omega}$ je indukována Riemannovou metrikou. Integrace této rovnice znovu ${ displaystyle M}$, pravá strana se stává ${ displaystyle L ^ {2}}$ (čtvercově integrovatelný ) vnitřní produkt na k-formuláře a získáváme:

${ displaystyle int _ {M} eta klín { star} zeta = langle ! langle eta, zeta rangle ! rangle.}$

Obecněji, pokud ${ displaystyle M}$ je neorientovaný, lze definovat Hodgeovu hvězdu a k-forma jako (n – k)-pseudo diferenciální forma; tj. diferenciální forma s hodnotami v kanonický svazek řádků.

Výpočet v indexové notaci

Počítáme z hlediska notace tenzorového indexu s ohledem na (ne nutně ortonormální) základ ${ displaystyle {{ tfrac { částečné} { částečné x_ {1}}}, ldots, { tfrac { částečné} { částečné x_ {n}}} }}$ v tečném prostoru ${ displaystyle V = T_ {p} M}$ a jeho dvojí základ ${ displaystyle {dx_ {1}, ldots, dx_ {n} }}$ v ${ displaystyle V ^ {*} = T_ {p} ^ {*} M}$, který má metrickou matici ${ displaystyle (g_ {ij}) = ( langle { tfrac { částečné} { částečné x_ {i}}}, { tfrac { částečné} { částečné x_ {j}}} rangle )}$ a jeho inverzní matice ${ displaystyle (g ^ {ij}) = ( langle dx_ {i}, dx_ {j} rangle)}$. Hodgeův duální rozložitelného k-forma je:

${ displaystyle hvězda vlevo (dx ^ {i_ {1}} klín tečky klín dx ^ {i_ {k}} doprava) = { frac { sqrt {| det [g_ {ab }] |}} {(nk)!}} g ^ {i_ {1} j_ {1}} cdots g ^ {i_ {k} j_ {k}} varepsilon _ {j_ {1} dots j_ { n}} dx ^ {j_ {k + 1}} klín tečky klín dx ^ {j_ {n}}.}$

Tady ${ displaystyle varepsilon _ {j_ {1} tečky j_ {n}}}$ je Symbol Levi-Civita s ${ displaystyle varepsilon _ {1 tečky n} = 1}$, a my implicitně vezměte částku přes všechny hodnoty opakovaných indexů ${ displaystyle j_ {1}, ldots, j_ {n}}$. Faktoriál ${ displaystyle (n-k)!}$ odpovídá za dvojí započítání a není přítomen, pokud jsou součtové indexy omezeny tak ${ displaystyle j_ {k + 1} < tečky$. Absolutní hodnota determinantu je nezbytná, protože může být záporná, stejně jako u tečných prostorů k Lorentzian potrubí.

Lze napsat libovolný diferenciální tvar:

${ displaystyle alpha = { frac {1} {k!}} alpha _ {i_ {1}, dots, i_ {k}} dx ^ {i_ {1}} wedge dots wedge dx ^ {i_ {k}} = součet _ {i_ {1} < tečky$

Faktoriál ${ displaystyle k!}$ je opět zahrnuto do účtu pro dvojí započítání, když povolíme nerostoucí indexy. Chtěli bychom definovat duál komponenty ${ displaystyle alpha _ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ takže Hodgeův duální tvar je dán

${ displaystyle star alpha = { frac {1} {(nk)!}} ( star alpha) _ {i_ {k + 1}, dots, i_ {n}} dx ^ {i_ {k +1}} klín tečky klín dx ^ {i_ {n}}.}$

Použití výše uvedeného výrazu pro Hodgeův dual ${ displaystyle dx ^ {i_ {1}} klín tečky klín dx ^ {i_ {k}}}$, shledáváme:^[3]

${ displaystyle ( star alpha) _ {i_ {k + 1}, dots, i_ {n}} = { frac { sqrt {| det [g_ {ab}] |}} {k!} } alpha ^ {i_ {1}, dots, i_ {k}} , , varepsilon _ {i_ {1}, dots, i_ {n}}.}$

I když lze tento výraz použít na jakýkoli tenzor ${ displaystyle alpha}$, výsledek je antisymetrický, protože kontrakce se zcela anti-symetrickým symbolem Levi-Civita ruší všechny kromě zcela antisymetrické části tenzoru. Je tedy ekvivalentní s antisymetrizací následovanou aplikací Hodgeovy hvězdy.

Formulář jednotkového objemu ${ displaystyle omega = hvězda 1 v klín ^ {n} V ^ {*}}$ darováno:

${ displaystyle omega = { sqrt { vlevo | det [g_ {ij}] vpravo |}} ; dx ^ {1} klín cdots klín dx ^ {n}.}$

Kodiferenciální

Nejdůležitější aplikací Hodgeovy hvězdy na potrubí je definovat codifferential ${ displaystyle delta}$ na k-formuláře. Nechat

${ displaystyle delta = (- 1) ^ {n (k-1) +1} s { star} d { star} = (- 1) ^ {k} , { star} ^ {- 1} d { star}}$

kde ${ displaystyle d}$ je vnější derivace nebo diferenciální a ${ displaystyle s = 1}$ pro Riemannovy rozdělovače. Pak

${ displaystyle d: Omega ^ {k} (M) až Omega ^ {k + 1} (M)}$

zatímco

${ displaystyle delta: Omega ^ {k} (M) až Omega ^ {k-1} (M).}$

Codifferential není antiderivace na vnější algebře, na rozdíl od vnější derivace.

Codifferential je adjoint vnější derivace s ohledem na kvadraticky integrovatelný vnitřní produkt:

${ Displaystyle langle ! langle eta, delta zeta rangle ! rangle = langle ! langle d eta, zeta rangle ! rangle,}$

kde ${ displaystyle zeta}$ je (k + 1)-forma a ${ displaystyle eta}$ A k-formulář. Tato identita vyplývá ze Stokesovy věty o hladkých formách:

${ displaystyle 0 = int _ {M} d ( eta wedge { star} zeta) = int _ {M} left (d eta wedge { star} zeta - eta wedge { star} (- 1) ^ {k + 1} , { star} ^ {- 1} d { star} zeta right) = langle ! langle d eta, zeta rangle ! rangle - langle ! langle eta, delta zeta rangle ! rangle,}$

pokud M má prázdnou hranici nebo ${ displaystyle eta}$ nebo ${ displaystyle hvězda zeta}$ má nulové mezní hodnoty. (Správná definice výše uvedeného vyžaduje specifikaci a topologický vektorový prostor která je uzavřená a úplná v prostoru hladkých forem. The Sobolevův prostor se běžně používá; umožňuje konvergentní posloupnost forem ${ displaystyle zeta _ {i} to zeta}$ (tak jako ${ Displaystyle$) zaměňovat s kombinovanými diferenciálními a integrálními operacemi, takže ${ displaystyle langle ! langle eta, delta zeta _ {i} rangle ! rangle to langle ! langle eta, delta zeta rangle ! rangle}$ a podobně pro sekvence konvergující k ${ displaystyle eta}$.)

Protože diferenciál uspokojuje ${ displaystyle d ^ {2} = 0}$, codifferential má odpovídající vlastnost

${ displaystyle delta ^ {2} = s ^ {2} { star} d { star} { star} d { star} = (- 1) ^ {k (nk)} s ^ {3} { star} d ^ {2} { star} = 0.}$

The Laplace – deRham operátor je dán

${ displaystyle Delta = ( delta + d) ^ {2} = delta d + d delta}$

a leží v srdci Hodgeova teorie. Je to symetrické:

${ displaystyle langle ! langle Delta zeta, eta rangle ! rangle = langle ! langle zeta, Delta eta rangle ! rangle}$

a nezáporné:

${ displaystyle langle ! langle Delta eta, eta rangle ! rangle geq 0.}$

Hvězda Hodge posílá harmonické tvary do harmonických forem. Jako důsledek Hodgeova teorie, de Rhamova kohomologie je přirozeně izomorfní s prostorem harmonické k-formuje se, a tak Hodgeova hvězda vyvolává izomorfismus kohomologických skupin

${ displaystyle { star}: H _ { Delta} ^ {k} (M) až H _ { Delta} ^ {n-k} (M),}$

což zase dává kanonické identifikace pomocí Poincaré dualita z H ^k(M) s jeho dvojí prostor.

Poznámky

Reference

• David Bleecker (1981) Teorie měřidla a variační principy. Addison-Wesley Publishing. ISBN  0-201-10096-7. Chpt. 0 obsahuje zkrácenou recenzi neriemannovské diferenciální geometrie.
• Jurgen Jost (2002) Riemannova geometrie a geometrická analýza. Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2. Podrobná expozice vycházející ze základních principů; nezachází s pseudo-Riemannovým případem.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitace. W.H. Freemane. ISBN  0-7167-0344-0. Základní recenze diferenciální geometrie ve zvláštním případě čtyřrozměrného vesmírný čas.
• Steven Rosenberg (1997) Laplacián na Riemannově potrubí. Cambridge University Press. ISBN  0-521-46831-0. Úvod do rovnice tepla a Atiyah – Singerova věta.
• Tevian Dray (1999) Duální operátor Hodge. Důkladný přehled o definici a vlastnostech hvězdného operátora Hodge.