Antisymetrický tenzor - Antisymmetric tensor
v matematika a teoretická fyzika, a tenzor je antisymetrický na (nebo s ohledem na) podmnožina indexů pokud se střídá podepsat (+/−), když jsou zaměněny kterékoli dva indexy podmnožiny.[1][2] Podmnožina indexu musí být obvykle buď celá kovariantní nebo všichni protikladný.
Například,
platí, když je tenzor antisymetrický vzhledem k jeho prvním třem indexům.
Pokud se při výměně tenzoru změní znaménko každý pár jeho indexů, pak je tenzor zcela (nebo naprosto) antisymetrický. Zcela antisymetrický kovariantní tenzor objednat p lze označit jako a p-formulář a zcela antisymetrický kontravariantní tenzor lze označit jako a p-vektor.
Antisymetrické a symetrické tenzory
Tenzor A to je na indexech antisymetrické i a j má vlastnost, kterou kontrakce s tenzorem B to je na indexech symetrické i a j je shodně 0.
Pro obecný tenzor U s komponenty a pár indexů i a j, U má symetrické a antisymetrické části definované jako:
(symetrická část) (antisymetrická část).
Podobné definice lze uvést i pro další páry indexů. Jak naznačuje termín „část“, tenzor je součet jeho symetrické části a antisymetrické části pro danou dvojici indexů, jako v
Zápis
Zkrácená notace pro anti-symetrizaci je označena dvojicí hranatých závorek. Například v libovolných dimenzích, pro řád 2 kovarianční tenzor M,
a pro objednávku 3 kovariantní tenzor T,
V jakékoli 2 a 3 dimenzi je lze zapsat jako
kde je zobecněný Kroneckerova delta a používáme Einsteinova notace k součtu přes jako indexy.
Obecněji, bez ohledu na počet dimenzí, antisymetrizace přes p indexy mohou být vyjádřeny jako
Obecně lze každý tenzor 2. úrovně rozložit na symetrický a anti-symetrický pár jako:
Tento rozklad obecně neplatí pro tenzory 3. nebo vyšší úrovně, které mají složitější symetrii.
Příklady
Zcela antisymetrické tenzory zahrnují:
- Triviálně jsou všechny skaláry a vektory (tenzory řádu 0 a 1) zcela antisymetrické (stejně jako zcela symetrické)
- The elektromagnetický tenzor, v elektromagnetismus
- The Riemannova objemová forma na pseudo-Riemannovo potrubí
Viz také
- Symbol Levi-Civita
- Symetrický tenzor
- Antisymetrická matice
- Antisymetrický vztah
- Vnější algebra
- Ricciho počet
Poznámky
- ^ K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Matematické metody pro fyziku a inženýrství. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). Od vektorů po tenzory. Springer. str. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. oddíl §7.
Reference
- J.A. Kolář; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitace. W.H. Freeman & Co. str. 85–86, § 3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
- R. Penrose (2007). Cesta do reality. Vintage knihy. ISBN 0-679-77631-1.